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2017届江西省师大附中、临川一中高三1月联考数学(理)试卷(带解析)

时间:2017-04-11


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2017 届江西省师大附中、临川一中高三 1 月联考数学(理) 试卷(带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题
1+

1.若复数 = 1? ,为的共轭复数,则()2017 = ( A. B. ? C. ?22017 D. 22017



2.已知全集 = ,集合 = {|2 ? ? 6 ≤ 0}, = {| +1 ≤ 0},那么集合 ∩ () = ( ) A. [?2,4) B. (?1,3]
?
1 2

4?

C. [?2, ?1]

21

D. [?1,3]

3.若 = ln2, = 5 , =
0

2

cos 的大小关系为( C. < <



A. < <

B. < <

D. < <

4.“微信抢红包”自 2015 年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若 所发红包的总金额为 10 元, 被随机分配为 1.49 元, 1.81 元, 2.19 元, 3.41 元, 0.62 元, 0.48 元,共 6 份,供甲、乙等 6 人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和 不低于 4 元的概率是( ) A.
1 2

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 6 1 2 5 12

5 . 已 知 将 函 数 () = 3sincos + cos2 ? 的 图 像 向 左 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到

= ()的图像,则()在[? 12 , 3]上的值域为 (
A. [? 2 , 1]
1




1 3

B. [?1, 2]

1

C. [?

3 1 2

, 2]

D. [? 2 , 2 ]

6.已知()为奇函数,函数()与()的图像关于直线 = + 1对称,若(1) = 4,则 (?3) =( ) A. ?2 B. 2 C. ?1 D. 4 7.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

试卷第 1 页,总 4 页

A. C.

7 3 8 3

B. D.

8? 3 7? 3

8.按流程图的程序计算,若开始输入的值为 = 3,则输出的的值是 (



=

( + 1)
2

A. 6 B. 21 C. 156 D. 231 9.已知数列{}、{}满足 = log2 , ∈ +,其中{}是等差数列,且9 2009 = 4,则

1 + 2 + 3 +· · ·+2017 =(
A. 2016 B. 2017

) D.
2017 2

C. log2 2017

10.在直角△ 中,∠ = 90? , = = 1,为边上的点 = ,若 · ≥ · ,则的最大值是( ) A.
2+ 2 2

B.

2? 2 2

C. 1

D.

2
2 3

11.已知点 , 是抛物线 = 42 上不同的两点,为抛物线的焦点,且满足∠ = 弦 的中点到直线 : = ? 的距离记为,若| |2 = ·2 ,则的最小值为 (
16 1

, )

A. 3 B. 3 C. 1 + 3 D. 4 3 12.已知() = ? 3 + 2 + (> 0),在区间[0,2]上存在三个不同的实数, , ,使 得以(), (), ( )为边长的三角形是直角三角形,则 的取值范围是 ( ) A. > 4 + 4 2 4+4 2 B. 0 < < 2 + 2 2 C. 4 ? 4 2 < < 4 + 4 2 D. 0 < <

试卷第 2 页,总 4 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13.已知数列{}为等比数列,是它的前项和,若2 ? 3 = 21 ,且4 与27 的等差中 项为4, 则5 等于___________. 14.若 A、B、C、D 四人站成一排照相,A、B 相邻的排法总数为,则二项式(1 ? )的 展开式中含2 项的系数为______________.

5

≤ 15.已知变量, 满足约束条件{ ≤ 2 ,则 = ? 2的取值范围是______________ 6 ≤ +
16.下列说法中错误的是_______(填序号) ① 命 题 “ ?1, 2 ∈ , 1 ≠ 2 , 有 [(1 ) ? (2 )](2 ? 1 ) > 0 ” 的 否 定 是 “ ?1, 2 ? , 1 ≠ 2 ,有[(1 ) ? (2 )](2 ? 1 ) ≤ 0”; ②已知>0,>0, + = 1 ,则 + 的最小值为5 + 2 6;

2 3

③设

,命题“若 = 0,则2 + 2 = 0”的否命题是真命题;
1 3?

④已知 : 2 + 2 ? 3 > 0 , : (?∞, ?3) ∪ (1,2) ∪ [3, +∞). 评卷人 得分

> 1 ,若命题 ( ? ) ∧ 为真命题,则 的取值范围是

三、解答题
1

17.已知向量 = (cos, ?1), = ( 3sin, ? 2),函数() = ( + ) · ? 2. (1)求函数()的最小正周期及单调递增区间; (2)在中,三内角,,的对边分别为, , ,已知函数()的图象经过点(,? 2),
1

、、 成等差数列,且 ? = 9,求的值.
18.某理科考生参加自主招生面试,从 7 道题中(4 道理科题 3 道文科题)不放回地依 次任取 3 道作答. (1)求该考生在第一次抽到理科题的条件下,第二次和第三次均抽到文科题的概率; (2)规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题,该考生答对理科题的概率均为3, 答对文科题的概率均为4,若每题答对得 10 分,否则得零分.现该生已抽到三道题(两 理一文) ,求其所得总分的分布列与数学期望(). 19. 如图 1, 在中, = 2, ∠ = 900 , ∠ = 300 , 是边的中点, 现把沿折成 如图 2 所示的三棱锥 ? ,使得 = 10. (1)求证:平面 ⊥平面; (2)求平面与平面夹角的余弦值.
试卷第 3 页,总 4 页
1 2

20. 已知右焦点为的椭圆 : 2+ (1)求椭圆 的方程;

2

2
3

= 1( > 3)与直线 =

3 7

?相交于、 两点, 且 ⊥ .

(2) 为坐标原点, , , 是椭圆上不同的三点, 并且为的重心, 试探究的面 积是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,说明理由.

21.已知函数() = 2 2,() = ln. (1)若曲线 = () ? ()在 = 1处的切线的方程为6 ? 2 ? 5 = 0,求实数的值; (2)设() = () + (),若对任意两个不等的正数1 ??,2 ,都有 立,求实数的取值范围; (3)若在[1,e]上存在一点0 ,使得′ (0 ) + 范围. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中,已知曲线: { = 3cos(为参数) ,在以原点为极点,轴 = sin 的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 的极坐标方程为 2 cos( + 4) = ?1. (1)求曲线的普通方程和直线 的直角坐标方程; (2)过点 (?1,0)且与直线 平行的直线 1 交于,两点,求点 到,两点的距离之 积. 23.选修 4-5:不等式选讲 (1) 设函数() = | ? 2| + | + |, 若关于的不等式() ≥ 3在上恒成立, 求实数的 取值范围; (2)已知正数, , 满足 + 2 + 3 = 1,求 + + 的最小值.
3 2 1 2 1

1

(1 )?(2 ) 1 ?2

> 2恒成

′ (0 )

< (0 ) ? ′ (0 )成立,求实数的取值



试卷第 4 页,总 4 页

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参考答案 1.B 【解析】 解析:因 = 1? =
1+ (1+ )2 2

= ,则 = ? ,故()2017 = (? )2017 = ? ,应选答案 B。

2.D 【解析】 解 析 : 因 = {| ? 2 ≤ ≤ 3}, = {| < ?1 或 ≥ 4} , 故 = {| ? 1 ≤ < 4} , 所 以 ∩ () = {| ? 1 ≤ ≤ 3},应选答案 D。 3.A 【解析】解析:因 = ln2 > ln = , =
2 1 1 5

< 1, = (sin ? sin0) = ,故 > > ,应选
2 2 2

1



1

答案 A。 4.C 【解析】 解析:因甲乙两人从六份红包中随机取两份的可能有2 6 = 15种,其中金额之和大于等于4的 可能有(0.62,3.41), (1.49,3.41), (1.81,2.19), (1.81,3.41), (2.19,3.41),共五种,故甲、乙二人抢到 的金额之和不低于 4 元的概率是 = 15 = 3,应选答案 C。 5.B 【解析】 解析:因() =

3 2 5 1

sin2 + cos2 = sin(2 + ),故() = sin[2( + ) + ] = sin(2 + ) =
2 6 12 6

1



5



?sin2,因? 12 ≤ ≤ 3,故? 6 ≤ 2 ≤ 案 B。 6.A 【解析】





2 3

,则? 2 ≤ sin2 ≤ 1,所以?1 ≤ () ≤ 2,应选答

1

1

解析: 由题意设(1,4)关于 = + 1的对称点/ (, ), 则{

+ 5 = + 1 + 2 = 3 ? 4 = ?( ? 1) ,解之得{ = 2,

则/ (3,2)在函数 = ()的图像上,故(3) = 2,则(?3) = ?2,应选答案 B。 7.B 【解析】 解析: 由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉以半圆锥的组 合体,其体积 = × 2 × 2 × 2 ? × 1 =
3 3 1 1 8? 3

,应选答案 B。

8.D 【解析】 解析:从题设中提供的算法流程图可以看出:当 = 3时,运行结果是 = 6;当 = 6时,运 行结果是 = 21;当 = 21时,运行结果是 = 231 > 100,结束算法,应选答案 D。 9.B 【解析】 解析:由题设可得log2 9 + log2 2009 = 2,即9 + 2009 = 2,由等差数列的通项的性质可得

9 + 2009 = 1 + 2017 = 2, 所以1 + 2 + 3 +· · ·+2017 =
答案第 1 页,总 6 页

2017(1 +2017 ) 2

= 2017, 应选答案 B。

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10.C 【解析】 解 析 : 因 = ? = ? , = ? = ? , 故 由 ? ≥ ? 可 得 2 ? 1 ≥ ?2(1 ? ), 即2 ? 1 ≥ ?2 + 22, 也即2 ? 2 ≤ ? 2, 解之得1 ? 由于点 ∈ ,所以1 ?
2 2 1 2 2 2 2

≤ ≤ 1 +



≤ ≤ 1,应选答案 C。

11.A 【解析】 2 解析: 设= | |, = ||, 则抛物线的定义及梯形中位线的性质可得2 = + , | |2 = +

2 + ,所以由题设可得 =

2 4( +2 + )

( +)2

= 4 ? ( ,因为(+ )2 ≥ 4,即( ≤ 1,所 +)2 +)2

4

4

以 ≥ 4 ? 1 = 3,应选答案 A。 12.D 【解析】 解析:因/ () = 32 ? 3 = 3( + 1)( ? 1),故当 ∈ (0,1)时,/ () < 0,函数()单调递 减 ; 当 ∈ (1,2) 时 , / () > 0 , 函 数 () 单 调 递 增 , 故 min () = 1 ? 3 + 2 + = ,又 2 2 (0) = 2 + , (2) = + 4 , 所 以 max() = 4 + , 由 题 设 可 得 (+ 4) > 2 , 解 之 得 4 ? 4 2 < < 4 + 4 2,又由于> 0,所以0 < < 4 + 4 2,应选答案 D。 13.31 【解析】
3 解析: 由题设2 即4 = 2, 则27 = 2 × ? 2, 即7 = ? 1 = , 所以5 = 1 = 21 , 4 4 4 5 5 1 16(1? 5 )
2 1 1? 2 1

= 31,

应填答案31。 14.
11 24

【解析】
12? 12? 12? 解 析 : 由 题 设 = 23 = ,则由题设 3 = 12 , 所 以 +1 = 12 (? ) 12 (? )
12 12



1

12 ? = 2 ? = 10,所以2 项的系数为10 12 122 = 66 × 122 = 24,应填答案24。 15.(?∞, ?3] 【解析】 解析:画出不等式组表示的区域,结合图形可知当动直线 = ? 经过定点(3,3)时,动
2 2 1 1

1

1

11

11

直 线 = 2 ? 2 在 轴 上 的 截 距 ? 2 取 最 小 值 , 取 最 大 值 max = 3 ? 6 = ?3 ; 动 直 线

1

1

1

= 2 ? 2 在轴上的截距? 2 取不到最大值,故取不到最小值,则 = ? 2的取值范围
是(?∞, ?3],应填答案(?∞, ?3]。 16.①④ 【解析】 解析: 因“?1, 2 ∈ , 1 ≠ 2 ,有[(1 ) ? (2 )](2 ? 1 ) > 0”的否定是“?1, 2 ∈ , 1 ≠ 2 , 有 1 ? 2

1

1

1

2 ? 1 ≤ 0”, 故①是错误的; 因 + = ( + )( + ) = 2 + 3 +
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2

3

2

3

3



+

2





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5 + 2 6,故②是真命题;命题“若

,则

”的否命题是“若2 + 2 ≠ 0,
1 3?

则 ≠ 0”,故③是真命题;因? : 2 + 2 ? 3 ≤ 0 ? ?3 ≤ ≤ 1,:

> 1 ? ( ? 3)( ?

2) < 0 ? 2 < < 3,故由条件可知 ∈ ,即该命题是错误的,应填答案①④。 17.(1) [ ? 3 , + 6]( ∈ ) (2) = 3 2 【解析】 试题解析:


() = ( + ) · ? 2 = ||2 + ? ? 2 = cos2 +
(1)最小正周期: =

2 2

1 2

3 sin2 = sin(2 + ) 2 6

= ,


由2 ? 2 ≤ 2 + 6 ≤ 2 + 2 ( ∈ )得: ? 3 ≤ ≤ + 6 ( ∈ ) 所以()的单调递增区间为:[ ? , + ]( ∈ );
3 6





(2)由() = sin(2 + 6) = 2可得:2 + 6 = 6 + 2或 又因为, , 成等差数列,所以2 = + , 而 ? = cos = 2 = 9, ∴ = 18 ∴ cos = =
2 1 (+ )2 ?2 2 1



1





5 6

+ 2( ∈ )所以 = 3,



?1=
95 6

42 ?2 36

?1=

2
12

? 1, ∴ = 3 2.

18.(1)

1 5

(2) () =

【解析】 试题解析: (1) 记“该考生在第一次抽到理科题”为事件, “该考生第二次和第三次均抽到文科题” 为事件,则() = 7 , () = 35, 所以该考生在第一次抽到理科题的条件下,第二次和第三次均抽到文科题的概率为 () 1 (|) = = () 5 (2)的可能取值为 0,10,20,30, 则( = 0) = 3 × 3 × 4 = 12
2 ( = 10) = 1 2 × × × +( ) × = 1 2 ( = 20) = 2 2 × (3) × 4 +2 × 3 × 3 × 4 = 9 2 3 1 2 1 4 1 1 3 1 4 4

2 3

1 3

3 4

1 3

1 13 4 36

( = 30) = 1 ? 12 ? 36 ? 9 = 9
所以的分布列为
答案第 3 页,总 6 页

1

13

4

1

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0 1 12

10 13 36

20 4 9

30 1 9

所以,的数学期望() = 19.(1 详见解析,(2)
65 13

95 6

【解析】 试题解析: (1)在图 1 中,取的中点,连接交于,则 ⊥ , 在图 2 中,取的中点,连接,,因为 = = = 2, 所以 ⊥ ,且 = 3, 在中,由余弦定理有2 = 12 + (2 3)2 ? 2 × 1 × 2 3cos300 = 7, 所以2 + 2 = 10 = 2,所以 ⊥ . 又 ⊥ , ∩ = ,所以 ⊥平面, 又 ?平面,所以平面 ⊥平面

(2)因为 ⊥平面,且 ⊥ ,故可如图建立空间直角坐标系,则 (0,0,0), (1,0,0), (0,0, 3), (?1,0,0), (?2, 3, 0), = (?2, 3, ? 3), = (1,0, ? 3), = 0得= ( 3, 3,1); 设平面的法向量为= (, , ),则由{? → ? = 0 同理可求得平面的法向量为 = (? 3, ?1,1), 故所求角的余弦值cos = |cos < , > | = | 20.(1)
2
4 ? 5 13 →

|=

65 13

.

+

2
3

= 1 (2)

9 2

【解析】 试题解析: (1)设( , 0),( , )?,则(? , ) ,
7 7 3 3

∴ 2 + 7 = 1?,即 2 = 7 2 ,① ∵ ⊥ ,∴
3 7

2

3

4

?
4

·? ? ? = ?1,即 2 ? 2 = ? 7,②
9

3 7

9

∴由①②得 2 ? 7 2 = ? 7,
答案第 4 页,总 6 页

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又2 ? 2 = 3,∴ 2 = 4, ∴椭圆 的方程为 +
4

2

2
3

= 1.

(2)设直线方程为: = + ?,
2 1 + 2 = 3+42 + = 1 得(3 + 42 )2 + 8 + 4 2 由{ 4 ? 12 = 0,∴ { 3 6 ? 1 + 2 = 3+42 = + ? 2
?8

? ∵ 为重心,∴ = ?( + )? = ( ∵ 点在椭圆上,故有 3+4
4 2 可得4 = 42 + 3, (
8 2 2)

8

3+42 3+42

,

?6

),

+ ??

(

3+42

?6 2 )

3

= 1?,

而|| =

1 + 2 (3+42 )2 ? 4( 3+42 )2 =
|3 | 1+2

?8

2 4 ?12

4 1+2 3+42

2 122 + 9 ? 3 ?,

点到直线的距离 =
1 6| |

(是原点到距离的 3 倍得到) ,
6| |
2 4

2 ∴ = 2 || · = 3+42 122 + 9 ? 3 =

2 2 12 ? 3 = 2, 9

9

当直线斜率不存在时,|| = 3, = 3?, = 2, ∴ 的面积为定值2. 21.(1) = ?2 (2) [1, +∞)(3)(?∞, ?2) ∪ ( e?1 , +∞) 【解析】 试题解析: (1)由 = () ? () = 2 ? ln,得′ = ? ,
2 1 e2 +1 9



由题意,1 ? = 3,所以 = ?2. (2)() = () + () = 2 2 + ln, 因为对任意两个不等的正数1 ??,2 ,都有
(1 )?(2 ) 1 ?2
1

> 2,

设1 > 2 ,则(1 ) ? (2 ) > 2(1 ? 2 ),即(1 ) ? 21 > (2 ) ? 22恒成立, 问题等价于函数() = () ? 2,即() = 2 + ln ? 2在(0, +∞)为增函数.
2 1

所以′ () = + ? 2 ≥ 0在(0, +∞)上恒成立,即 ≥ 2 ? 2在(0, +∞)上恒成立, 所以 ≥ (2 ? 2 )max = 1,即实数的取值范围是[1, +∞). (3)不等式′ (0 ) + 整理得0 ? ln0 +
1



′ (0 )

< (0 ) ? ′ (0 )等价于0 +

1

0

< ln0 ? ,

0

1+

0

< 0. ,由题意知,在[1,e]上存在一点0 ,使得 (0 ) < 0.
答案第 5 页,总 6 页

设 () = ? ln +

1+



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′ 由 () = 1 ? ?



1+



2

=

2 ? ?(1+) 2

=

(?1?)(+1)

2



′ 因为 > 0,所以 + 1 > 0,即令 () = 0,得 = 1 + . ① 当1 + ≤ 1,即 ≤ 0时, ()在[1,e]上单调递增, 只需 (1) = 2 + < 0,解得 < ?2. ② 当1 < 1 + ≤ e,即0 < ≤ e ? 1时, ()在 = 1 + 处取最小值.

令 (1 + ) = 1 + ? ln(1 + ) + 1 < 0,即 + 1 + 1 < ln( + 1),可得 考查式子 ?1 < ln , 因为1 < ≤ e,可得左端大于 1,而右端小于 1,所以不等式不能成立. ③ 当1 + > e,即 > e ? 1时, ()在[1,e]上单调递减, 只需 (e) = e ? +
1+ e

+1+1

< ln( + 1).

+1

< 0,解得 >

e2 +1 e?1


e2 +1

综上所述,实数的取值范围是(?∞, ?2) ∪ ( e?1 , +∞). 22.(1) ? + 2 = 0 (2)1 【解析】 试题解析: (Ⅰ)曲线化为普通方程为: + 2 = 1,
3

2

由 cos( + ) = ?1,得cos ? sin = ?2,
2 4

2



所以直线 的直角坐标方程为 ? + 2 = 0. (2)直线 1 的参数方程为{
2

= ?1 + =
2 2

2 2

,

.

( 为参数) ,

代入 3 + 2 = 1化简得:2 2 ? 2 ? 2 = 0, 设, 两点所对应的参数分别为 1 , 2 ,则 1 2 = ?1, ∴| | ? | | = | 1 2 | = 1. 23.(1) ≤ ?5 或 ≥ 1 (2) 16 + 8 3 【解析】 (1) () = | ? 2| + | + | ≥ | ? 2 ? ? | = | + 2| ∵原命题等价于()min ≥ 3, 所以| + 2| ≥ 3,∴ ≤ ?5 或 ≥ 1. (2)由于, , > 0,所以 + + = ( + 2 + 3)( + + ) ≥ ( 当且仅当 3 =


3

2

1

3

2

1

3



+ 2

2



+ 3

1 2 ) = ( 3 + 2 + 3)2 = 16 + 8 3





2
2

=

3
1

,即: : = 3: 3: 1时,等号成立.





∴ + + 的最小值为16 + 8 3.


3

2

1

答案第 6 页,总 6 页


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