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2[1].1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质

时间:2013-09-24


2.1.2 求曲线的方程

解析几何主要讨论以下两个问题: (1) 根据已知条件, 求出表示曲线的方程. (2) 通过曲线的方程, 研究曲线的性质.

例题
设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等于1, 求点M轨迹方程并用方程研究轨迹(曲线)的性质. 解: 求动点 M 轨迹方程: (1) 建立直角坐标系.取已知的两条互相垂直的直线为坐 标轴,建立平面直角坐标系 xOy. y (2) 设动点M的坐标为 (x,y); (3) 把几何条件转化为坐标表示. 过M分别做x轴,y轴的垂线, 垂足分别为E,F.于是有
点M是轨迹上的点?|ME||MF|=1 转化为方程表示 |x||y|=1 F M

o

E

x

(4) 证明(略).

例 设动点M与两条互相垂直的直线的距 离的积等于1,求点M轨迹方程并用方程研 究轨迹(曲线)的性质.
利用方程研究曲线的性质

M的轨迹方程
(1) 曲线的组成

x y=1或x y=1

y
M E

(2) 曲线与坐标轴的交点 (3) 曲线的对称性质. (4) 曲线的变化情况

F

o

x

(5) 画出方程的曲线

问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.

如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求. 1 7 ? (?1) 解:∵ kAB ? ? 2 ,∴所求直线的斜率 k = ? 3 ? (?1) 2 ?1 ? 3 ?1 ? 7 , ) 即(1,3) 又∵线段 AB 的中点坐标是 (

2 2 1 ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1) . 2 法二:若没有现成的结论怎么办? 即 x+2y-7=0

──需要掌握一般性的方法

问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程. 我们的目标就是要找x与y的关系式
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
2 2

需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
2 2

坐标化 ∴ ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7) ∴ x2 ? 2x ? 1 ? y2 ? 2 y ? 1 ? x2 ? 6x ? 9 ? y 2 ?14 y ? 49 化简
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程 x ? 2 y ? 7 ? 0 的解;

∴ x ? 2 y ? 7 ? 0 (Ⅰ)

证明

⑵设点 M 1 的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 ? 2 y1 ? 7 ? 0 ∵上面变形过程步步可逆,∴ ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 ? ( x1 ? 3)2 ? ( y1 ? 7)2 M1 A ? M1B

综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x ? 2 y ? 7 ? 0 .

例题
例1、设A、B两点的坐标是(-1 , -1 )、( 3 , 7 ) 求线段 AB 的垂直平分线的方程. 法一:求 AB 的中点,再求所求直线的斜率

法二:设所求直线上任一点 P ( x , y ) ① 由题意得:
( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7)
2 2 2 2



∴ x +2y -7 = 0



? 线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-7=0

总结
求曲线方程的一般步骤:

1. 建系:建立适当的坐标系;
2. 设点:用 M(x,y) 表示曲线上任意一点;

3. 列方程:把几何条件转化为坐标表示;
4. 化简:化方程为最简形式;

5. 证明:验证化简过的方程所表示的曲
线是否是已知点的轨迹.( 查漏除杂 )

例题
例3、已知一条曲线是与两个定点 O ( 0 , 0 )、
1 A ( 3 , 0 ) 的距离之比为 的点的轨迹,求这 2

个曲线的方程. 解:设所求曲线方程上任一点 M ( x , y )
| OM | 1 则 ? ? | AM | 2
1 ? . 2 ( x ? 3) 2 ? y 2 x ?y
2 2

∴ x 2 + y 2 + 2x -3 = 0.

练习
1、求到坐标原点的距离等于 2 的轨迹方程.

x2+y2=4
2、已知点 M 与 x 轴的距离和它与点 F ( 0 , 4 ) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程. x 2 -8y + 16 = 0

3、求证:到点 P ( 0 , 1 ) 和直线 ? :y = -1 1 2 距离相等的点的轨迹方程是 y = x 4

例题
例4 已知一条曲线在 x轴的上方,它上面的每 一点到点 A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的 差都是 2,求这条曲线的方程.
y

A o B

M x

例题
例2 过P(2,4)作互相垂直的直线l1 、

l2,若l1交x轴于A, l2交x轴于B,求

线段AB中点M的轨迹方程.


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