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1.3.2函数的奇偶性1

时间:2011-03-12


在日常生活中,有非常多的轴对称现象, 在日常生活中,有非常多的轴对称现象, 如人与镜中的影关于镜面对称, 如人与镜中的影关于镜面对称,请同学们举几 个例子。 个例子。 除了轴对称外, 除了轴对称外,有 些是关于某点对称,如 些是关于某点对称, 风扇的叶子,如图: 风扇的叶子,如图: 它关于什么对称? 它关于什么对称?

y

0

x

观察下图,思考并讨论以下问题: 观察下图,思考并讨论以下问题:
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗? (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?

f(x)=x2
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)

f(x)=|x|
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)

实际上,对于 内任意的一个 都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 内任意的一个x,都有 实际上,对于R内任意的一个 都有 这时我们称函数y=x2为偶函数 偶函数. 这时我们称函数

1.偶函数 .
一般地,对于函数 的定义域内的任意一个x, 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个 , 的定义域内的任意一个 都有f(- 就叫做偶函数 都有 -x)=f(x),那么 就叫做偶函数. ,那么f(x)就叫做偶函数.
2 例如,函数 f (x) = x +1, f (x) = x2 +1 都是偶函数,
2

它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.

观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象 下图 ,你能发 和 的图象(下图 观察函数 的图象 下图),
两个函数图象有什么共同特征吗? 现两个函数图象有什么共同特征吗?

f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

实际上,对于 内任意的一个 都有f(-x)=-x=-f(x),这时 内任意的一个x,都有 实际上,对于R内任意的一个 都有 这时 我们称函数y=x为奇函数 我们称函数 为奇函数.

2.奇函数 .
一般地,对于函数 的定义域内的任意一个x, 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个 , 的定义域内的任意一个 都有f(- 都有 -x)= - f(x),那么 就叫做奇函数. ,那么f(x)就叫做 函数. 注意: 注意: 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性是函数的整体性质 整体性质; 函数的奇偶性是函数的整体性质; 2、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的 由函数的奇偶性定义可知, 一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x, 一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 ,则 也一定是定义域内的一个自变量( -x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关 也一定是定义域内的一个自变量 于原点对称). 于原点对称).

3、奇、偶函数定义的逆命题也成立,即 偶函数定义的逆命题也成立, 有成立. 若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)有成立. f(x)为奇函数, 为奇函数 有成立. 若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)有成立. f(x)为偶函数, 为偶函数 有成立 4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我 、如果一个函数 是奇函数或偶函数, 是奇函数或偶函数 们就说函数f(x)具有奇偶性 具有奇偶性 们就说函数 具有奇偶性.

例5、判断下列函数的奇偶性:
(1 ) (3) f (x) = x
4

(2) (4)

f (x) = x5 1 f (x) = x2

1 f (x) = x + x

(1)解:定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)

(2)解:定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x) 即f(-x)=-f(x)

∴f(x)偶函数 ∴f(x)奇函数 (3)解:定义域为{x|x≠0} (4)解:定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=-f(x) 即f(-x)=f(x) ∴f(x)奇函数 ∴f(x)偶函数

\

\

(5). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3] 解: (6)∵定义域不关于原点 y 对称 ∴f(x)为非奇非偶函数 -1 o 3 x

奇函数

说明:根据奇偶性, 说明:根据奇偶性
函数可划分为四类: 函数可划分为四类

偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数

3.用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1)、先求定义域,看是否关于原点对称; 、先求定义域,看是否关于原点对称; (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立 、再判断 是否恒成立. 或 是否恒成立

课堂练习
判断下列函数的奇偶性: 判断下列函数的奇偶性:

1 (1) f ( x) = x ? x (3) f ( x) = 5 (5) f ( x) = x +1

(2) f ( x) = ?x +1
2

(4) f ( x) = 0

3.奇偶函数图象的性质
1、性质:奇函数的图象关于原点对称。 性质:奇函数的图象关于原点对称。 偶函数的图象关于y轴对称。 偶函数的图象关于 轴对称。 轴对称 如果一个函数的图象关于原点对称 原点对称, 2、如果一个函数的图象关于原点对称,那么 这个函数是奇函数。 这个函数是奇函数。 奇函数 如果一个函数的图象关于y轴对称, 如果一个函数的图象关于 轴对称,那么 轴对称 这个函数是偶函数。 这个函数是偶函数。 偶函数 奇偶函数图象的性质可用于: 注:奇偶函数图象的性质可用于: 判断函数的奇偶性。 简化函数图象的画法。 ①.判断函数的奇偶性。 ②.简化函数图象的画法。 判断函数的奇偶性 简化函数图象的画法
③. 求函数的解析式 ④.判断函数的单调性 判断函数的单调性

是偶函数, 例3、已知函数 、已知函数y=f(x)是偶函数,它在 轴右边的图 是偶函数 它在y轴右边的图 象如下图,画出在y轴左边的图象 轴左边的图象. 象如下图,画出在 轴左边的图象 解:画法略 y

相等 0 x

y 相等 0 x

本课小结
1、两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(-x)=-f(x) - 如果都有f(-x)=f(x) - 2、两个性质: 为奇函数 ? f(x)为奇函数 为偶函数 ? f(x)为偶函数

? 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 ? 它的图象关于y轴对称
一个函数为奇函数

2.奇偶函数图象的性质: 2.奇偶函数图象的性质: 奇偶函数图象的性质
奇函数的图象关于原点对称. ⑴ 奇函数的图象关于原点对称 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称 如果一个函数的图象关于原点对称, 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数为奇函数. 那么这个函数为奇函数 偶函数的图象关于y轴对称 轴对称. ⑵ 偶函数的图象关于 轴对称 反过来,如果一个函数的图象关于 轴对称, 如果一个函数的图象关于y轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于 轴对称 那么这个函数为偶函数. 那么这个函数为偶函数
注:奇偶函数图象的性质可用于: 奇偶函数图象的性质可用于: ①.判断函数的奇偶性。 ②.简化函数图象的画法。 判断函数的奇偶性。 简化函数图象的画法。 判断函数的奇偶性 简化函数图象的画法
③. 求函数的解析式 ④.判断函数的单调性 判断函数的单调性

课外思考题: 课外思考题
1.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性: (1). F(x)=f(x)+f(- x) 2.判断函数 f (
x) =

(2).F(x)=f(x)-f(-x)
1- x 2 x+ 2 - 2

的奇偶性:


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