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2016届高三七校联考文科数学试题[审核版]

时间:2015-08-09


七校联合体 2016 届高三第一次联考试卷 文科数学
命题人 宝安中学陶金娥 审题人 中山一中艾龙彪

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上 要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.复数 ? 3i -1? i 的共轭复数 是( .... A. 3 ? i ) B. 3 ? i C. ?3 ? i

?3 ? i D.


2 2.已知集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0}, B ? {x | y ? ln( 1 ? x)}, 则 A ? B ? (

A. ?1,2? 3.

B. ?1,2?

C. ?? 1,1?

D. ?? 1,1?

已知向量 a= ,b= (3, m) ,若向量 a,b 的夹角为 (, 1 3) A. 2 3 B. 0 C.

? ,则实数 m=( 6
D. ? 3 )

)

3

x 4.已知函数 f ( x ) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? e ,则 f (?1) ? (

A.

1 e

B. ?

1 e

C. e

D. ?e

5.如图是某几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图 是腰长为 2 的等腰直角三角形, 则该几何体的体积是( ). A.
8 3

B.

8 2 3

C.

4 3

D.

4 2 3

6.等比数列 {a n } 中, a1a4 ? 10 ,则数列 {lg an } 的前 4 项和等于( A.4 B.3 C.2 D.1



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7.已知 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 3 ,且 ?ABC 的面积为 A. 150
?

3 ,则 ?BAC ? ( 2
?



B. 120

?

C. 60 或 120

?

?

D. 30 或 150

?

8. 如图,大正方形的面积是 34,四个全等直角三角形围成一个小正方 形, 直角三角形的最短边长为 3, 向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵, 则小花朵落在小正方形内的概率为( ) A. 1 17 2 B. 17 3 C. 17 4 D. 17

9. 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y2 ? 4 10x 的焦点重合,且双曲线的离心 2 a b
)

率等于

10 ,则双曲线的方程为( 3
y2 ?1 9
B. x 2 ? y 2 ? 1 5

A. x ?
2

C.

x2 y 2 ? ?1 9 9


D.

x2 ? y2 ? 1 9

10.函数 y ? x 2 ? 4x ? 8 ? x 2 ? 4x ? 5 的最大值是( A.1 B.3 C.

1 3

D. 2 2 ? 5

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题.)

11.函数 y ? (2 x ? 1) 3 的图象在 (0,?1) 处的切线的 斜率是__________.
12. 右图是一个算法的流程图,则最后输出的________ 13. 由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ( x ? 3) ? y ? 1引切线,
2 2

开始 S=0, n=1 否

则切线长的最小值为__________ 14. (坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参数方程为

n≤6 是 S = S-n n=n+2

? x ? a ? 4cos ? ( ? 是参数, a ? 0 ),直线 l 的极坐标方 ? y ? 1 ? 4sin ? ?
程为 3? cos ? ? 4? sin ? ? 5 , 若曲线 C 与直线 l 只有一个

输出 S 结束

公共点,则实数 a 的值是 _____ . 15. (几何证明选讲选做题)如图,⊙ O 上一点 C 在直径 AB 上的射 影为 D ,且 CD ? 4 , BD ? 8 ,则⊙ O 的半径等于 _______ .

C A
O D·

B

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三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) 。 (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递减区间。

17.(本题满分 12 分)某数学老师对本校 2014 届高三学生的高考数学成绩按 1:200 进行分 层抽样抽取了 20 名学生的成绩,并用茎叶图记录分数如图所示,但部分数据不小心丢失, 同时得到如下所示的频率分布表: 分数段(分) [50,70) 频数 频率 [70,90) [90,110) [1 10,130) [130,150) 总计

b a
0.25

(1)求表中 a,b 的值及分数在[90,100)范围内的学生人数,并估计 这次考试全校学生数学成绩的及格率(分数在[90,150)内为及格) : (2)从成绩大于等于 110 分的学生中随机选两人, 求这两人成绩的平均 分不小于 130 分的概率.

18.(本小题满分 14 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面为平行四边形, PD⊥平面 ABCD,M 为 PC 中点. (1)求证:AP∥平面 MBD; (2)若 AD⊥PB,求证:BD⊥平面 PAD;

19.(本小题满分 14 分)已知点 M ( 4 , 0) 、 N (1, 0) ,若 动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | NP | . (1)求动点 P 的轨迹 C ; (2)在曲线 C 上是否存在点 Q ,使得 ?MNQ 的面积 S ?MNQ 标,若不存在,说明理由.

???? ? ????

??? ?

?

3 ?若存在,求点 Q 的坐 2

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20. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 的 相 邻 两 项 an , an ?1 是 关 于 x 的 方 程

1 n? ? ? (1)求证: 数列 ?an ? ? 2 ? 是等比数列; a1 ? 1. x2 ? 2n x ? b ) n ?0 ( n ? N 的两根,且 3 ? ?
(2)设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,求 Sn ;
?

(3)问是否存在常数 ? ,使得 bn ? ? Sn ? 0 对任意 n ? N 都成立,若存在,求出 ? 的取值 范围; 若不存在,请说明理由.

1 2 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= x -2 a ln x+(a-2)x, a ∈R. 2 (1)当 a =1 时,求函数 f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 a <0 时讨论函数 f(x)的单调性; (3)是否存在实数 a ,对任意的 x1 , x2 ∈ (0,+∞)且 x1≠x2 有 立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

f ( x2 ) ? f ( x1 ) > a 恒成 x2 ? x1

2016 届高三七校联考测试题答案 DCCDA
11. 6

CDBDA
12. -9 13.

7

14. 7

15. 5

三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) ? f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x)
解:(1) ? sin 2 x ? 2 cos x ? sin 2 x ? cos2 x ? 1
2

???????????.2 分

? 2 sin(2 x ?

?
4

) ?1
???????????.6

∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ?

2? ? ? ??????????.7 分 2

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(2)∵函数 f ( x) ? sin x 的单调递减区间为 ?2k? ? 由 2k? ? 得 k? ?

? ?

?
2

,2k? ?

3? ? (k ? z ) 。 2? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

3? ,k ? z , 2

3? 7? ? x ? k? ? (k ? z ) ???????????????.10 分 8 8

∴函数 f ( x) 的单调递减区间为 ?k? ?

? ?

3? 7? ? , k? ? (k ? z ) ??????.12 分 8 8 ? ?

17. (本小题满分 12 分) 解:(1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有 2 人,在[110,130) 范围内的有 3 人,

?a ?

2 ? 0.1, b ? 3 20

????2 分

分数在[70,90)内的人数 20×0.25=5,结合茎叶图可得分数在 [70,80)内的人数为 2,所以分数在[90,100)范围内的学生人数为 4, 故数学成绩及格的学生为 13 人,??4 分 所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为 13 ×100%=65%. ????6 分 20 (2)设 A 表示事件“从成绩大于等于 110 分的学生中随机选两人,两人成绩的平 均分不小于 130 分”,由茎叶图可知成绩大于等于 110 分的学生有 5 人,?8 分

记这 5 人为 a,b,c,d,e,
则选取学生的所有可能结果为 (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,C),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)基本事件为 10,事件 A 包含的结果有

????10 分

(118,142) , (128,136) (128,142) (136,142)共 4 种,
? P( A) ? 4 2 ? 10 5

所以两人成绩的平均分不小于 130 分的概率为 2
5

???12 分

18. (本小题满分 14 分) 解:(1)连接 AC 交 BD 于点 O,连 OM,因为底面 ABCD 是平行四边形,所以 O 为 AC 的中点,又 M 为 PC 中点,所以 OM

// PA ????4 分

?OM ? 平面MBD, AP ? 平面MBD,? AP // 平面MBD ???.6 分
(2)? PD ? 平面ABCD, AD ? 平面ABCD, ? PD ? AD ??.8 分

? AD ? PB, PD ? PB ? P, PD ? 平面PBD, PB ? 平面PBD,
? AD ? 平面PBD

? BD ? 平面PBD,? AD ? BD

????.10 分 ????.12 分

? PD ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD, ? PD ? BD

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又? BD ? AD, AD ? PD ? D, AD ? 平面PAD, PD ? 平面PAD,
? BD ? 平面PAD
19. (本小题满分 14 分) 解: (1)设动点 P( x , y ) ,又点 M ( 4 , 0) 、 N (1, 0) , ∴ MP ? ( x ? 4 , y ) , MN ? ( ? 3 , 0) , NP ? ( x ?1, y ) . ??? 3 分 ????.14 分

????

???? ?

??? ?

[来源: http://wx.jtyjy.com/ HTTP://WX.JTYJY.COM/]

2 2 由 MN ? MP ? 6 | NP | ,得 ?3( x ? 4 ) ? 6 (1 ? x ) ? ( ? y ) , ??? 4 分

???? ? ????

??? ?

∴ ( x2 ? 8x ? 16) ? 4( x2 ? 2x ? 1) ? 4 y 2 ,故 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ,即 ∴轨迹 C 是焦点为 ( ? 1, 0) 、长轴长 2a ? 4 的椭圆;

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
??? 7 分

评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣 1 分. (2)设曲线 C 上存在点 Q( x0 , y0 ) 满足题意,则 S ?MNQ ? ∴

3 . 2

??? 9 分 ??? 11 分

1 3 | MN | ? | y0 | ? ,又 | MN | ? 3 ,故 | y0 | ? 1 . 2 2



x0 2 y0 2 y2 1 8 ? ? 1 ,故 x0 2 ? 4(1 ? 0 ) ? 4(1 ? ) ? . 4 3 3 3 3

??? 12 分

∴ x0 ? ?

8 2 6 ?? . 3 3

??? 13 分

∴曲线 C 上存在点 Q( ? 20. (本小题满分 14 分)

3 2 6 , ? 1) 使得 ?MNQ 的面积 S ?MNQ ? .?? 14 分 2 3

?an ? an?1 ? 2n (1)证明:? an , an ?1 是方程 x ? 2 x ? bn ? 0(n ? N ) 两根,? ? ?1 分 ? bn ? an an?1
2 n ?

1 1 1 an?1 ? ? 2n?1 2n ? an ? ? 2n?1 ?(an ? ? 2n ) 3 3 3 ? ? ? ? ?1 ??3 分 1 n 1 n 1 n an ? ? 2 an ? ? 2 an ? ? 2 3 3 3
故数列 ?an ?

? ?

2 1 1 n? ? 2 ? 是等比数列,首项 a1 ? ? , 公比为-1 的等比数列??4 分 3 3 3 ? 1 n 1 n 1 2 ? (?1) n ? ? 2 ? ? (?1) n ?1 ,即 an ? ? ? ? ??5 分 3 3 3

(2)由(1)得 an ?

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Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
? 1 1 1 2 3 n (2 ? 22 ? 23 ? ? 2n ) ? ? ?(?1) ? (?1) ? (?1) ? ? ? (?1) ? ? ??6 分 3

?

?

(?1)n ? 1? 1 ? 2(1 ? 2n ) ?1[1 ? (?1) n ] ? 1 ? n?1 = ? = ?2 ? 2 ? ??7 分 ? 2 ? 3 ? 1? 2 1 ? (?1) ? ? ? 3?
(3) bn ? an an ?1 ?

1 n 1 2 n ?1 ? 2 ? (?1) n ? ?? 2n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? ? 2 ? (?2) n ? 1? ? ? ? ? ? ? ??8 分 9 9

要使 bn ? ? Sn ? 0 对任意 n ? N ? 都成立, 即

1 2 n ?1 ? ? n ?1 (?1) n ? 1 ? n ? ? ? 2 ? ( ? 2) ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 0 (*)对任意 n ? N 都成立 ? 3? 9? 2 ? ?
1 2 n ?1 ? (2 ? 2n ? 1) ? (2n ?1 ? 1) ? 0 9 3

①当 n 为正奇数时,由(*)得 即

1 n ?1 ? (2 ? 1)(2n ? 1) ? (2n ?1 ? 1) ? 0 9 3

? 2n?1 ? 1 ? 0,
1 n (2 ? 1) 对任意正奇数 n 都成立。 3 1 n 当且仅当 n ? 1 时, (2 ? 1) 有最小值 1,? ? ? 1 ??11 分 3 1 2 n ?1 ? ? 2n ? 1) ? (2n ?1 ? 2) ? 0 ②当 n 为正偶数时,由(*)得 (2 9 3 1 2 n ?1 2? n ? 1)(2n ? 1) ? (2 ? 1) ? 0 即 (2 9 3 1 ? 2n?1 ? 1 ? 0, ? ? ? (2n ?1 ? 1) 对任意正偶数 n 都成立。 6 1 n ?1 3 3 当且仅当 n ? 2 时, (2 ? 1) 有最小值 ,? ? ? ??13 分 2 2 6 ?? ?
综上所述,存在常数 ? ,使得使得 bn ? ? Sn ? 0 对任意 n ? N 都成立,
?

? 的取值范围是 (??,1)
21. (本小题满分 14 分)

??14 分

解 f′(x)=x-

2a

x

+a-2=

( x ? 2)( x ? a ) (x>0). x

(1)当 a=1 时,f′(x)=

( x ? 2)( x ? 1) ,f′(1)=-2,??2 分 x

∴所求的切线方程为 y-f(1)=-2(x-1),
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即 4x+2y-3=0.
(2)①当-a=2,即 a=-2 时,

??

4分

f′(x)=

?x-2?2

x

≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.??5 分

②当-a<2,即-2<a<0 时, ∵0<x<-a 或 x>2 时,f′(x)>0; -a<x<2 时,f′(x)<0,

f(x)在(0,-a),(2,+∞)上单调递增,在(-a,2)上单调递减;??7 分
③当-a>2,即 a<-2 时, ∵0<x<2 或 x>-a 时,f′(x)>0; 2<x<-a 时,f′(x)<0,

f(x)在(0,2),(-a,+∞)上单调递增,在(2,-a)上单调递减.??9 分
(3)假设存在这样的实数 a 满足条件,不妨设 x1<x2. 由

f ( x2 ) ? f ( x1 ) >a 知 f(x2)-ax2>f(x1)-ax1 成立, x2 ? x1
????.12 分

1 2 令 g(x)=f(x)-ax= x -2aln x-2x, 2 则函数 g(x)在(0,+∞)上单调递增, 2a ∴g′(x)=x- -2≥0,

x

即 2a≤x -2x=(x-1) -1 在(0,+∞)上恒成立. 1 ∴a≤- ,故存在这样的实数 a 满足题意, 2 1? ? 其范围为?-∞,- ?. 2? ? ????.14 分

2

2

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