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2013年山东高考解析几何高考分析

时间:2014-04-01


2013 年解析几何
(9) (5 分)过点(3,1)作圆(x-1)2 + y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为
(A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0

【答案】A
【解析】该切线方程为 y=k(x-3)+1,即 kx-y-3k+1=0,由圆心到直线距离为

| k ? 1 ? 0 ? 3k ? 1| k 2 ? ??1?2

=1,得 k=0

或 A.

4 ?9 3? ,切线方程分别与圆方程联立,求得切点坐标分别为(1,1), ? , ? ? ,故所求直线的方程为 2x+y-3=0.故选 3 ?5 5?

考查的问题:直线与圆相切,圆的切点弦 (11
x2 1 2 ) (5 分)抛物线 C1:y= x (p>0)的焦点与双曲线 C2: ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 于第一象 3 2p
3 8 2 3 3 4 3 3

限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=
A.

3 16

B.

C.

D.

【答案】D
【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为 y ?

3 p x 。 抛 物 线 的 焦 点 为 F (0, ) , 双 曲 线 的 右 焦 点 为 3 2 2 x 1 3 3 3 1 p F2 (2, 0) . y ' ? x ,所以在 M ( x0 , 0 ) 处的切线斜率为 p ,即三点 F (0, ) , ,即 x0 ? ,所以 x0 ? p 3 3 2p 3 p 2 p p p ? ?0 3 p 4 3 F2 (2, 0) , M ( p, ) 共线,所以 2 ,选 D. ? 6 2 ,即 p ? 3 6 3 0?2 3 p 3

考查的问题:抛物线切线,双曲线渐近线。 (22) (13 分) (本小题满分 13 分)
椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭 2 2 a b

圆 C 截得的线段长为 l. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1、PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 p 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2,若 k≠0,试证明

1 1 ? 为定值,并求出这个定值. kk1 kk2

答案
(1)解:由于 c2=a2-b2,将 x=-c 代入椭圆方程

x2 y2 ? =1 , a 2 b2

b2 得y?? , a 2b 2 =1 ,即 a=2b2. 由题意知 a

2013 年解析几何

2013 年解析几何
c 3 ? ,所以 a=2,b=1. a 2 x2 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 .考查:椭圆方程求解 4
又e ? (2)解法一:设 P(x0,y0)(y0≠0). 又 F1( ? 3 ,0),F2( 3 ,0), 所以直线 PF1,PF2 的方程分别为 lPF1:y0x-(x0+ 3 )y+ 3 y0=0, lPF2:y0x-(x0- 3 )y- 3 y0=0. 由题意知

| my0 ? 3 y0 | y0 ? ? x0 ? 3 ?
2 2



| my0 ? 3 y0 | y0 ? ? x0 ? 3 ?
2 2

.

由于点 P 在椭圆上, 所以 所以

x0 2 ? y0 2 ? 1 , 4 |m? 3|
2

?

|m? 3|
2

.角平分线上的点到角的两边的距离等

? 3 ? ? 3 ? x0 ? 2 ? x0 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 因为 ? 3 <m< 3 ,-2<x0<2,
m? 3 3?m ? . 3 3 x0 ? 2 2 ? x0 2 2 3 所以 m= x0 . 4 3 3 因此 ? ? m ? . 2 2
可得 解法二:设 P(x0,y0). 当 0≤x0<2 时,

1? 1? ? ? 3 时,直线 PF2 的斜率不存在,易知 P ? 3, ? 或 P ? 3, ? ? . 2? 2? ? ? 1? ? 若 P ? 3, ? ,则直线 PF1 的方程为 x ? 4 3 y ? 3 ? 0 . 2? ?
①当 x0 ?

|m? 3| ? 3?m, 7 因为 ? 3 <m< 3 ,
由题意得

3 3 . 4 3 3 1? ? 若 P ? 3, ? ? ,同理可得 m ? . 2? 4 ? ②当 x0≠ 3 时,
所以 m ? 设直线 PF1,PF2 的方程分别为 y=k1(x+ 3 ),y=k2(x- 3 ).

2013 年解析几何

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由题意知

| mk1 ? 3k1 | 1 ? k12
2

?

| mk2 ? 3k2 | 1 ? k2 2



1 k12 ?m ? 3 ? ? 所以 . ? m ? 3 ?2 1 ? 1 k2 2 1?

x0 2 因为 ? y0 2 ? 1 , 4 y0
并且 k1= 所以

x0 ? 3
?

,k2=

y0 x0 ? 3



? m ? 3 ?2 ? m ? 3 ?2

4? x0 ? 3 ?2 ? 4 ? x0 2 4? x0 ? 3 ?2 ? 4 ? x0 2
? ? 3 x0 ? 4 ?2 ? 3 x0 ? 4 ?2
. ,



3 x0 2 ? 8 3 x0 ? 16 3 x0 2 ? 8 3 x0 ? 16



m? 3 ? m? 3
3?m

3x0 ? 4 3x0 ? 4
4 ? 3x0

因为为 ? 3 <m< 3 ,0≤x0<2 且 x0≠ 3 , 所以

3 ? m 4 ? 3 x0 3x 整理得 m= 0 , 4 3 3 3 故 0≤m< 且 m≠ . 4 2 3 综合①②可得 0≤m< . 2

?

.

3 <m<0. 2 ? 3 3? 综上所述,m 的取值范围是 ? ? , ? . ? 2 2?
当-2<x0<0 时,同理可得 ? (3)设 P(x0,y0)(y0≠0),则直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0).

? x2 2 ? ? y ? 1, 联立 ? 4 ? y ? y ? k? x ? x ? 0 0 ?
整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4( y0 -2kx0y0+ k x0 -1)=0. 由题意 Δ=0, 即 (4 ? x0 ) k +2x0y0k+1- y0 =0.
2 2
2
2 2 2

x0 2 ? y0 2 ? 1 , 4 2 2 2 所以 16 y0 k +8x0y0k+ x0 =0,


椭圆的切线

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故 k= ? 由(2)知

x0 . 4 y0
1 1 x0 ? 3 x0 ? 3 2 x0 ? ? ? ? , k1 k2 y0 y0 y0

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? kk1 kk2 k ? k1 k2 ? ? 4 y ? 2x =?? 0 ?? 0 = ?8 , ? x0 ? y0
所以 因此

1 1 ? 为定值,这个定值为-8.利用第二问求定值 kk1 kk2

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