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(课堂设计)2014-2015高中数学 2.3 幂函数学案2 新人教A版必修5

时间:2017-01-03


2.3

幂函数

幂函数要点导学 一、知识导引 α 1.幂函数定义:形如 y=x 的函数叫幂函数(α 为常数). 1 重点掌握 α =1,2,3, ,-1 时的幂函数. 2

1 2.图象:当 α =1,2,3, ,-1 时的图象如右图. 2 3.性质 (1)当 α >0 时, 幂函数图象都过(0,0)点和(1,1)点, 且在第一象限都是增函数; 当 0<α <1 时曲线上凸;当 α >1 时,曲线下凹:α =1 时为过(0,0)点和(1,1)点的直线. (2)当 α <0 时,幂函数图象总过(1,1)点,且在第一象限为减函数. α 0 (3)当 α =0 时,y=x =x ,表示过(1,1)点平行于 x 轴的直线(除(0,1)点). 1 (4)当 α =1,2,3, ,-1 时的函数的性质同学们可自行研究. 2 二、重点和难点 重点:幂函数的定义、图象和性质. 难点:幂函数图象的位置和形状变化. 三、典型例题剖析 α 例 1 不论 α 取何值,函数 y=(x-1) -2 的图象都通过 A 点,求 A 点的坐标. α 解 因为幂函数 y=x 的图象恒通过(1,1)点, α 所以 y=(x-1) 的图象恒通过(2,1)点. α 所以 y=(x-1) -2 的图象恒通过(2,-1)点. 2 1 -4 例 2 将幂函数:①y=x ;②y=x ;③y=x ; 3 3 1 1 4 1 5 ④y=x- ;⑤y=x ;⑥y=x ;⑦y=x- ;⑧y=x 的题号填入下面对应的图象中的 3 4 3 2 3 括号内.

1

解析 先根据图象是否经过原点区分幂指数 n 的正负:图象 A,B,C,D,H 的幂指数大 于零;而图象 E,F,G 的幂指数小于零. 再考察函数的定义域和值域.图象 A 对应的幂函数的定义域为[0,+∞),对应函数为 1 1 ⑤y=x ;图象 E 对应的幂函数的定义域为(0,+∞),对应函数为⑦y=x- ;图象 D,H 4 2 4 对应的幂函数的值域为[0,+∞),再注意到图象分布规律,D 对应函数为⑥y=x ,H 对应 3 2 -4 函数为①y=x ;图象 G 对应的幂函数的值域为(0,+∞),对应的函数为②y=x . 3 1 5 1 余下的图象 B,C,F 依次对应函数为③y=x ,⑧y=x ,④y=x- . 3 3 3 点评 以上分析只是提供了一种思考对应的方法, 对幂函数图象熟悉以后, 可以对每个 幂函数的分析直接将题号填入相应的括号内. 幂函数常见错误剖析 本文就同学们在学习“幂函数”中的一些常见错误加以剖析,供同学们参考. 一、概念不清 例 3 下列函数中不能化为幂函数的是( ) 0 2 2 A.y=x B.y=2x C.y=x D.y= x 错解 选 A,或选 C,或选 D α 剖析 错解主要是对幂函数的概念不清,造成错误.由幂函数的定义: y=x (α ∈R) 称为幂函数,因此,A,C,D 中的函数均可化为幂函数,而 B 中的函数不能化为幂函数. 正解 B 二、忽视隐含条件 例 4 作出函数 y=4log2x 的图象. 2 2 错解 y=4log2x? y=22log2x? y=2log2x ? y=x . 故函数的图象如图所示.

剖析 在将函数式 y=4log2x 变形为 y=2log2x ,即 y=x 时,定义域扩大了. 2 2 正解 y=4log2x(x>0)? y=22log2x(x>0)? y=2log2x (x>0)? y=x (x>0). 2 作出幂函数 y=x (x>0)的图象,如图所示,即为函数 y=4log2x 的图象.

2

2

三、思维片面 2 2 例 5 幂函数 f(x)=(m -m-1)xm -2m-1 在区间(0,+∞)上是增函数,求实数 m 的取 值集合. 错解 由幂函数的定义, α 可知 f(x)可以写成 f(x)=x 的形式, 2 所以 m -m-1=1, 解得 m=-1 或 m=2.
2

剖析 求得 m 的值后,未检验是否符合题意. 正解 由幂函数的定义, α 可知 f(x)可以写成 f(x)=x 的形式, 2 所以 m -m-1=1, 解得 m=-1,或 m=2. 2 当 m=-1 时,f(x)=x 在(0,+∞)上是增函数; -1 当 m=2 时,f(x)=x 在(0,+∞)上不是增函数,舍去. 故所求实数 m 的取值集合为{-1}. 四、单调性理解不透彻 -1 -1 例 6 若(a+1) <(3-2a) ,求实数 a 的取值范围. -1 错解 考查幂函数 f(x)=x , 因为该函数为减函数, -1 -1 所以由(a+1) <(3-2a) , 2 得 a+1>3-2a,解得 a> . 3 2 故实数 a 的取值范围是( ,+∞). 3 -1 剖析 函数 f(x)=x 在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,但在(-∞,0)∪(0, +∞)上不具有单调性,错解中错用了函数单调性,从而导致错误. -1 正解 考查幂函数 f(x)=x ,由于该函数在(-∞,0)及(0,+∞)上均为减函数, ? ?a+1<0, -1 -1 所以由(a+1) <(3-2a) ,得? ?3-2a>0, ? 或 a+1>3-2a>0, 或 3-2a<a+1<0, 2 3 解得 a<-1 或 <a< . 3 2 2 3 故实数 a 的取值范围是(-∞,-1)∪( , ). 3 2

幂函数的“杀手锏” 一、对幂函数的定义要掌握准确 α 形如 y=x 的函数叫幂函数(系数是 1,α 为实常数). 2 例 1 如果 f(x)=(m-1)xm -4m+3 是幂函数,则 f(x)在其定义域上是( ) A.增函数 B.减函数 C.在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数 D.在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数 解析 要使 f(x)为幂函数,则 m-1=1,即 m=2. 2 -1 当 m=2 时,m -4m+3=-1,∴f(x)=x . ∴f(x)在(-∞,0)上是减函数, 在(0,+∞)上也是减函数. 答案 D 二、幂函数在第一象限的图象与幂指数 α 的大小关系 从 x 轴的正方向按逆时针旋转到 y 轴的正方向所经过的幂函数图象所对应的幂指数逐渐
3

增大.

1 1 α 如图为 y=x 在 α 取-2,2,- , 四个值时的图象,则对应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 2 2 1 1 α 的值依次为 2, ,- ,-2,其规律为在直线 x=1 的右侧“指大图高”. 2 2 三、抓住幂函数的奇偶性,利用第一象限图象画出整个幂函数图象,进而利用数形结合 进行解题

2 2 例 2 若(a+1)- <(3-2a)- ,求 a 的取值范围. 3 3 2 解 y=x- 为偶函数,其图象如图所示. 3 2 ∴|a+1|>|3-2a|,∴ <a<4. 3 图象帮你定大小 在涉及指数、对数和幂函数的有关问题中,经常会遇到确定有关底数、指数的大小等问 题,此类问题,如果巧妙转化,有效利用图象,问题便可迎刃而解.以下试举几例说明运用 图象的直观性. 1 1 例 3 已知实数 a、b 满足等式 a =b ,下列五个关系式: 2 3 ①0<b<a<1; ②-1<a<b<0; ③1<a<b; ④-1<b<a<0; ⑤a=b. 其中可能成立的式子有________.

1 1 1 1 解析 首先画出 y1=x 与 y2=x 的图象(如图所示),已知 a =b =m,作直线 y=m. 2 3 2 3 如果 m=0 或 1,则 a=b; 如果 0<m<1,则 0<b<a<1; 如果 m>1,则 1<a<b. 从图象看一目了然,故成立的是①③⑤. 答案 ①③⑤

例 4 函数 y=x , y=x , y=x 的图象如图所示, 则 m, n, p 的大小关系是____________.
4

m

n

p

解析 结合题目给出的幂函数图象,我们可以将其转化成指数问题解决,作直线 x= a(0<a<1),可得直线与 3 个函数图象交点纵坐标的大小关系是 an<am<ap,根据指数函数 y= ax(0<a<1)是单调减函数可得 n>m>p. 答案 n>m>p 点评 以上几例,教同学们学会如何分析问题、转化问题,数形结合使所学知识融会贯 通,使所谓的某些“规律”直观地、立体地呈现在函数的图象中,减轻记忆的负担. 三种数学思想在幂函数中的应用 一、分类讨论的思想 1 1 例 5 若(a+1)- <(3-2a)- ,试求 a 的取值范围. 3 3 1 分析 利用函数 y=x- 的图象及单调性解题,注意根据 a+1,3-2a 是否在同一单调 3 区间去分类.

a+1>0, ? ? 解 分类讨论?3-2a>0, ? ?a+1>3-2a

a+1<0, ? ? 或?3-2a<0, ? ?a+1>3-2a

? ?3-2a>0, 2 3 或? 解得 a<-1 或 <a< . 3 2 ?a+1<0, ? 点评 考虑问题要全面,谨防考虑不周导致错误,本题是根据 a+1,3-2a 是否在同一 单调区间去分类.用分类讨论的思想解题时应做到标准明确,不重不漏. 二、数形结合的思想 1 2 例 6 已知 x >x ,求 x 的取值范围. 3

1 1 3 3 所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小, 确定自变量的范围, 即为 x 的取值范 围,如图所示,可得 x 的取值范围是 x<0 或 x>1. 点评 数形结合是一类重要的数学思想方法,它把抽象的关系与直观的图形结合起来, 使复杂的问题一目了然. 三、转化的数学思想 x2+4x+5 2 例 7 指出函数 f(x)= 2 的单调区间,并比较 f(-π )与 f(- )的大小. x +4x+4 2 解

α x2 与 x 有相同的底数, 不同的指数, 因此其模型应为幂函数 y=x (其中 α =2, ),



因为 f(x)=

x2+4x+4+1 x2+4x+4

1 -2 =1+ 2=1+(x+2) , ?x+2? -2 所以其图象可由幂函数 y=x 向左平移 2 个单位,再向上平移 1 个单位得到,如图所

5

示. 所以 f(x)在(-2,+∞)上是减函数,在(-∞,-2)上是增函数,且图象关于直线 x =-2 对称. 又因为-2-(-π )=π -2, 2 2 - -(-2)=2- , 2 2 2 , 2 故-π 距离对称轴更近, 2 所以 f(-π )>f(- ). 2 点评 通过化简、 变形等, 可将复杂的、 不熟悉的函数转化为简单的、 熟悉的函数形式, 进而用其性质来解题. 所以 π -2<2- 联想加分析 “联想”加“分析”是正确求解数学问题的关键. 有时面对一道题, 从该题的某个条件 上看出某一类问题的“影子”, 于是“联想”便展开了. 很快有了基本思路, 再运用“分析” 使思路严谨化,解题过程就诞生了,请看下面两例: -1 -1 例 8 若(a+2) >(4-a) ,求实数 a 的取值范围. -1 联想 这是一道涉及幂函数 y=x 的应用问题,我们知道此函数在(-∞,0)及(0,+ ∞)上均为减函数,

a+2>0, ? ? 故?4-a>0, ? ?a+2<4-a a+2>0, ? ? 由?4-a>0, ? ?a+2<4-a a+2<0, ? ? 由?4-a<0, ? ?a+2<4-a

a+2<0, ? ? 或?4-a<0, ? ?a+2<4-a.
? -2<a<1;

? a∈?,

则实数 a 的取值范围为(-2,1).
? ?a+2>0, 分析 此题又不同于幂函数,我们可以看出,当? 即 a>4 时不等式也成立; ?4-a<0, ? 于是本题的正确求解要分三种情况. 正确的结果是实数 a 的取值范围为(-2,1)∪(4,+∞). 例 9 若函数 f(x)>0 且满足 f(xy)=f(x)·f(y), 若 x>1 时, f(x)>1, 求使 f(x-3)<f(2x -5)成立的 x 的范围. n 联想 由于 f(x)=x 在(0,+∞)上满足“f(x)>0 且 f(xy)=f(x)·f(y)”,于是想到 这是一道与幂函数有关的抽象函数问题. 令 x=y=1 得 f(1)=1. 1 1 又 f(1)=f(x· )=f(x)·f( ),

x

x

1 所以 f( )=

1

x

f?x?

.

6

x 1 1 f?x? 则 f( )=f(x· )=f(x)·f( )= . y y y f?y?
设 0<x1<x2,则 >1.

x2 x1

x2 f?x2? >1. x1 f?x1? 故 f(x2)>f(x1).所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增.
由已知得 f( )>1,即

x-3>0, ? ? 因此,由 f(x-3)<f(2x-5)? ?2x-5>0, ? ?2x-5>x-3

? x>3.

故使 f(x-3)<f(2x-5)成立的 x 的范围为(3,+∞). 分析 表面上看没有任何问题,但深入想一下可以发现:条件中并没有 x-3>0 及 2x- 5>0 的限制,这个是求解时强加的,是片面的,应该这样来解: 令 x=y=-1 得 f(-1)=1, 则 f(-x)=f(x)·f(-1)=f(x). 即 f(x)为偶函数. 于是由 f(x-3)<f(2x-5)及 f(x)在(0,+∞) 上单调递增得|x-3|<|2x-5| 2 2 ∴(x-3) <(2x-5) ∴(3x-8)(x-2)>0 8 ∴x<2 或 x> 即为所求. 3 可以看出: 丰富的联想再加上必要的分析是产生正确结论的保障! 但愿这两点你都拥有. 三类抽象函数问题的解法 大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得. 解题时, 若能从 研究抽象函数的背景入手,通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数,常可找到解题 的切入点,进而加以解决. 一、以正比例函数为模型的抽象函数 例 10 已知 f(x)的定义域为实数集 R,对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2,求 f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值. 分析 由条件 f(x+y)=f(x)+f(y)联想正比例函数 f(x)=kx,其中 k<0,满足已知条 件.由此猜想函数 f(x)是区间[-3,3]上的减函数且又为奇函数,这样问题的解决就有了方 向. 解 因为对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),于是取 x=0,可得 f(0)=0, 同时设 y=-x,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),所以 f(x)+f(-x)=0,即 f(-x)=-f(x), 知函数 f(x)为奇函数. 下面证明它是减函数: 任取-3≤x1<x2≤3,则 x2-x1>0, 又 x>0 时,f(x)<0,即 f(x2-x1)<0, f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0. 所以函数 f(x)在区间[-3,3]上是减函数. 当 x=-3 时,函数 f(x)取最大值; 当 x=3 时,函数 f(x)取最小值. f(x)max=f(-3)=-f(3)=-f(1+2) =-[f(1)+f(2)]=-[f(1)+f(1)+f(1)] =-3f(1)=6; f(x)min=f(3)=3f(1)=-6.
7

点评 本题求解有两个特点:一是赋值;二是在求最值时,反复运用条件.这是求解抽 象函数问题时常用的方法. 二、以指数函数为模型的抽象函数 例 11 设函数 f(x)的定义域为实数集 R,满足条件:存在 x1≠x2,使得 f(x1)≠f(x2), 对任意 x 和 y,有 f(x+y)=f(x)·f(y). (1)求 f(0); (2)对任意 x∈R,判断 f(x)值的正负. x 解 由已知猜想 f(x)是指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)的抽象函数,从而猜想 f(0)=1 且 f(x)>0. (1)将 y=0 代入 f(x+y)=f(x)·f(y), 得 f(x)=f(x)·f(0),于是有 f(x)[1-f(0)]=0. 若 f(x)=0,则对任意 x1≠x2,有 f(x1)=f(x2)=0, 这与已知题设矛盾,所以 f(x)≠0,从而 f(0)=1. 2 (2)设 x=y≠0,则 f(2x)=f(x)·f(x)=[f(x)] ≥0, 又由(1)知 f(x)≠0,所以 f(2x)>0, 由 x 为任意实数,知 f(x)>0. 故对任意 x∈R,都有 f(x)>0. 点评 从已知条件联想到指数函数模型,为问题的解决指出了方向.但在推导过程中, 说理的严密性是很重要的,如不能由 f(x)[1-f(0)]=0,直接得出 f(0)=1,这是求解有关 抽象函数问题时必须注意的地方. 三、以对数函数为模型的抽象函数 例 12 设函数 f(x)是定义域(0,+∞)上的增函数,且 f( )=f(x)-f(y). (1)求 f(1)的值; 1 (2)若 f(6)=1,求不等式 f(x+3)+f( )≤2 的解集.

x y

x



由已知猜想 f(x)是对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的抽象函数.

(1)将 x=y=1 代入 f( )=f(x)-f(y), 得 f(1)=f(1)-f(1),所以 f(1)=0. (2)因为 f(6)=1,所以 2=f(6)+f(6), 1 1 x+3 于是 f(x+3)+f( )≤2 等价于 f(x+3)-f(6)≤f(6)-f( ),即 f( )≤f(6x), x x 6 而函数 f(x)是定义域(0,+∞)上的增函数,

x y

x+3 ? ? 6 ≤6x 所以? x+3 ? 6 >0 ?

3 ,解得 x≥ , 35

3 因此满足已知条件的不等式解集为[ ,+∞). 35 点评 (1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处; (2)本题是增函数概念“若 x1<x2, 则 f(x1)<f(x2)”的逆用. 利用这个性质可以去掉函数 的符号“f”,从而使问题得以解决. 例谈函数模型法 例 13 定义在实数集 R 上的函数 y=f(x)具有下列两条性质: ①对于任意 x∈R 都有 f(x ) 3 =[f(x)] ; ②对于任意 x1,x2∈R,当 x1≠x2 时,都有 f(x1)≠f(x2).则 f(-1)+f(0)+f(1)的值
8
3

为(

) A.1 B.2 C.-1 D.0 分析 通过性质①可以看出此函数应为幂函数, 性质②则要求这个幂函数必须是一个单 调函数. 3 解析 根据题设条件设 f(x)= x, 则可以求得 f(-1)+f(0)+f(1)=0,答案为 D. 答案 D 例 14 已知 f(x)是 R 上的增函数,且 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),若 f(2)=4,则 f(2x +1)>8 的解集是________. m+n m n 分析 性质 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)类似于指数函数的性质 a =a ·a ,故可以构建 指数函数模型. x 解析 设 f(x)=a (a>1),则由 f(2)=4 可得 a=2, x 所以 f(x)=2 . 2x+1 由 f(2x+1)>8,则 2 >8,解得 x>1. 故不等式 f(2x+1)>8 的解集是(1,+∞). 答案 (1,+∞) 例 15 已知函数 f(x)是定义域为 R 的增函数,且值域为(0,+∞),则下列函数中为减 函数的是( ) A.f(x)+f(-x) B.f(x)-f(-x) f?-x? C.f(x)·f(-x) D. f?x? x 分析 指数函数 y=a (a>0,a≠1)中,在 a>1 的情况下,函数满足题设的条件①定义域 为 R;②增函数;③值域为(0,+∞). f?-x? 1 x x 解析 不妨设 f(x)=2 ,通过观察四个选项,可以得出 =( ) 符合题意,故选 f?x? 4 D. 答案 D

幂函数高考考点透视 ?一?考情分析 本节知识在高考中很少单独出现,一般是与指数函数、对数函数联合命题,因此在学习 1 α 上要注意知识的结合点.借助 y=x (α =1,2,3, ,-1)的图象和性质研究多项式函数, 2 分式函数、简单的无理函数是高考考查的重点,考试题多以填空题为主. ?二?考题例析 1 2(x∈R)的值域为( 1+x A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1) 1 2 解析 ∵1+x ≥1,∴0< 2≤1 1+x 1 ∴f(x)= 2的值域是(0,1]. 1+x 1.(陕西高考)函数 f(x)= )

9

答案 C 2.(课标全国高考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( 3 A.y=x B.y=|x|+1 2 -|x| C.y=-x +1 D.y=2 3 解析 ∵y=x 在定义域 R 上是奇函数,∴A 不对. y=-x2+1 在定义域 R 上是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数,故 C 不对. 1 |x| -|x| D 中 y=2 =( ) 虽是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数,只有 B 对. 2 答案 B 1 3.(北京高考)函数 f(x)= x+1- 的定义域为______________. 2-x 1 解析 要使函数 f(x)= 1+x- 有意义, 2-x

)

?x+1≥0 ?x≥-1, ? ? 则必须有? ?? 即 x∈[-1,2)∪(2,+∞). ?2-x≠0 ?x≠2 ? ? 答案 [-1,2)∪(2,+∞) 1 -1 2 4 . ( 山东高考 ) 设函数 f1(x) = x , f2(x) = x , f3(x) = x ,则 f3(f2(f1(2 007))) = 2 ________. 1 解析 f3(f2(f1(2 007)))=f3(f2(2 007 )) 2 1 1 -1 =f3(2 007- )=2 007 = . 2 2 007 1 答案 2 007

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