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必修1函数与方程专题研究含答案

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函数与方程专题研究
一、函数的零点知识梳理
(1)函数零点的定义:对于函数 y=f(x) (x∈D),把使________成立的实数 x 叫做函 数 y=f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系:方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图像与______有交点? 函数 y=f(x)有________. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连 续 不断的一条曲线,并且有 ________________ ,那么函数 y=f(x)在区间 __________内有零点,即存在 c∈(a,b),使得________,这个______也就是 f(x)=0 的根. (4)二分法:对于在区间[a,b]上连续不断且__________________的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间____________,使区间的两个端点逐 步逼近________,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 知识梳理答案:(1)f(x)=0 (2)x 轴 零点 (3)f(a)· f(b)<0 (a,b) f(c)=0 c (4).f(a)· f(b)<0 一分为二 零点

二、函数与方程题型研究
1.设 f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过 程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间________. 2.若函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2-ax-1 的零 点是________. 3.已知函数 f(x)=ln x-x+2 有一个零点所在的区间为(k,k+1) (k∈N*),则 k 的值为______. 4.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 ________. 5.已知函数 f(x)=x2 +x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的取值范围是 ________. 6.(2010· 天津)函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) ( ) D.(1,2)

7.已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c, 则( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b

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2 ?x +2x-3,x≤0, ? 8.函数 f(x)= ?-2+ln x,x>0

的零点个数为 C.1

(

)

A.3

B.2

D.0

9.(2011· 陕西)函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内 ( ) A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 三、二次函数的零点分布问题 10、已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的 范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

11、已知函数 f(x)=4x+m·x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出 2 该零点.

12、m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有一个零点;②有两个零点且 均比-1 大;

13、若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围.

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函数与方程专题研究答案
一、函数的零点知识梳理
(1)函数零点的定义:对于函数 y=f(x) (x∈D),把使________成立的实数 x 叫做函 数 y=f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系:方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图像与______有交点? 函数 y=f(x)有________. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连 续 不断的一条曲线,并且有 ________________ ,那么函数 y=f(x)在区间 __________内有零点,即存在 c∈(a,b),使得________,这个______也就是 f(x)=0 的根. (4)二分法:对于在区间[a,b]上连续不断且__________________的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间____________,使区间的两个端点逐 步逼近________,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 知识梳理答案:(1)f(x)=0 (2)x 轴 零点 (3)f(a)· f(b)<0 (a,b) f(c)=0 c (4).f(a)· f(b)<0 一分为二 零点

二、函数与方程题型研究
1.设 f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过 程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间________.1.(1.25,1.5)

2.若函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2-ax-1 的零 1 1 点是________.-2,-3

3.已知函数 f(x)=ln x-x+2 有一个零点所在的区间为(k,k+1) (k∈N*),则 k 的值为______.3

4.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 ________.a>1

5.已知函数 f(x)=x2 +x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的取值范围是 ________.(-2,0)

6.(2010· 天津)函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是
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( B )

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A.(-2,-1)

B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,2)

7.已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c, 则( B ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b

2 ?x +2x-3,x≤0, ? 8.函数 f(x)= ?-2+ln x,x>0

的零点个数为 C.1

( B ) D.0

A.3

B.2

9.(2011· 陕西)函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内 A.没有零点 C.有且仅有两个零点

( B )

B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点

三、二次函数的零点分布问题 10、已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的 范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.
解 (1)由条件,抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图(1)所示,得

?f?0?=2m+1<0, ?f?-1?=2>0, ?f?1?=4m+2<0, ?f?2?=6m+5>0. ?

? ?m∈R, ?? 1 m<- , 2 ?m>-5. ? 6
1 m<- , 2 1 m>- , 2

5 1 即- <m<- . 6 2

(2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0,1)内,如图(2)所示

列不等式组

? ?f?1?>0, ?Δ≥0, ?0<-m<1. ?
f?0?>0,

? ?m>-1, ?? 2 m≥1+ ?-1<m<0.2或m≤1- ?

2,

1 即- <m≤1- 2. 2

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11、已知函数 f(x)=4x+m·x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出 2 该零点.
解 ∵f(x)=4x+m·x+1 有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·x+1=0 仅有一个实根. 2 2 设 2x=t (t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ>0 时,即 m>2 或 m<-2 时, 当 Δ=0 时,即 m2-4=0, t2+mt+1=0 有两正或两负根, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1(不合题意,舍去),∴2x=1,x=0 符合题意. 即 f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0.

12、m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有一个零点;②有两个零点且 均比-1 大;
解 (1)①f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点?方程 f(x)=0 有两个相等实根?Δ=0, 即 4m2-4(3m+4)=0,即 m2-3m-4=0,∴m=4 或 m=-1. ②方法一 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2,则 x1+x2=-2m,x1·2=3m+4. x

?Δ=4m -4?3m+4?>0 ? 由题意,知??x1+1??x2+1?>0 ??x +1?+?x +1?>0 ? 1 2
∴-5<m<-1. 方法二 由题意,知

2

?m -3m-4>0 ? ??3m+4-2m+1>0 ?-2m+2>0 ?

2

?m>4或m<-1, ? ??m>-5, ?m<1, ?

故 m 的取值范围为(-5,-1).

?Δ>0, ? ?-m>-1, ?f?-1?>0, ?

?m -3m-4>0, ? 即?m<1, ?1-2m+3m+4>0. ?

2

∴-5<m<-1. ∴m 的取值范围为(-5,-1).

13、若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围.
令 f(x)=0,得|4x-x2|+a=0, 即|4x-x2|=-a. 令 g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 作出 g(x)、h(x)的图像. 由图像可知, 当 0<-a<4, 即-4<a<0 时,g(x)与 h(x)的图像有 4 个交点,即 f(x)有 4 个零点.故 a 的取值范围为 (-4,0).

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