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清华概率统计课件(第一章 随机事件)_图文

时间:2011-06-18

前言
概 率 论 与 数 理 统 计

? 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性 的一门数学学科.理论严谨 应用广泛, 理论严谨, 的一门数学学科 理论严谨,应用广泛,发展 迅速,在理论联系实际方面, 迅速,在理论联系实际方面,概率是最活跃的 学科之一. 学科之一 ? “概率与数理统计”又是两个联系紧密而有区 概率与数理统计” 别的概念. 别的概念 ? 概率论 概率论——从数学模型进行理论推导,从同类 从数学模型进行理论推导, 从数学模型进行理论推导 现象中找出规律性. 现象中找出规律性 ? 数理统计 数理统计——着重于数据处理,在概率论理论 着重于数据处理, 着重于数据处理 的基础上对实践中采集得的信息与数据进行概 率特征的推断. 率特征的推断
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概 率 论 与 数 理 统 计

? 《概率论与数理统计》是本科生考研的数学课 概率论与数理统计》 程之一. 程之一 ? 概率——随机事件出现的可能性的量度,其起 概率——随机事件出现的可能性的量度, ——随机事件出现的可能性的量度 源与博弈问题有关. 源与博弈问题有关.使概率论成为数学的一个 伯努利; 分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利;而 概率论的飞速发展则在17 17世纪微积分学说建立 概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立 以后. 以后. ? 概率论是数理统计学的基础,数理统计学是概 概率论是数理统计学的基础, 率论的一种应用. 率论的一种应用 概率统计理论与方法的应用 几乎遍及所有科学技术领域、 几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国 民经济的各个部门中. 民经济的各个部门中

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概 率 论 与 数 理 统 计

? 本课程的教学目的是使学生初步掌握研究随机现 象的数学基本思想和方法, 象的数学基本思想和方法,从而具有一定的分析 及解决问题的能力. 及解决问题的能力 ? 通过本课程的学习,首先,使学生对该学科体系 通过本课程的学习,首先, 有一个全面的认识, 有一个全面的认识,为学生进一步学习其它专业 知识奠定学科基础,并使之具有较完备、 知识奠定学科基础,并使之具有较完备、合理的 知识结构和实践能力. 知识结构和实践能力 ? 最后,还要教会学生理论分析,使他们能够初步 最后,还要教会学生理论分析, 分析社会经济现象的具体事例, 分析社会经济现象的具体事例,并能以报告的形 式给出分析结果和合理化建议. 式给出分析结果和合理化建议

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主要内容
概 率 论 与 数 理 统 计

? ? ? ? ? ? ? ?

概率论的基本概念〔随机事件、样本空间〕 概率论的基本概念〔随机事件、样本空间〕. 随机事件的关系及运算. 随机事件的关系及运算 随机事件的概率及其性质、计算和应用. 随机事件的概率及其性质、计算和应用 随机变量及多维随机变量的分布和性质. 随机变量及多维随机变量的分布和性质 随机变量的数字特征. 随机变量的数字特征 大数定律与中心极限定理等概率论基础知识. 大数定律与中心极限定理等概率论基础知识 数理统计的基本概念〔样本及其抽样分布〕 数理统计的基本概念〔样本及其抽样分布〕. 参数估计和假设检验等数理统计基础知识. 参数估计和假设检验等数理统计基础知识

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常用参考书目
概 率 论 与 数 理 统 计

茆诗松, 茆诗松, 概率论与数理统计教程 浙大——盛骤, 概率论与数理统计教程 盛骤, 浙大 盛骤 北大——章昕, 概率统计辅导 章昕, 北大 章昕 同济大学, 同济大学, 概率统计复习和解题指导

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概 率 论 与 数 理 统 计

第一章

随机事件

第一节

样本空间和随机事件

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一、随机试验和样本空间
人们在生产实践和科学实验中, 人们在生产实践和科学实验中,发现对自然界和社
概 率 论 与 数 理 统 计

会所观察到的现象大体分为两类: 会所观察到的现象大体分为两类: 一类是事前可以预料的, 一类是事前可以预料的,即在一定条件下必然发 生或必然不发生的现象,称之为必然现象或 生或必然不发生的现象,称之为必然现象或确定性 必然现象 现象;如标况下,水加热到100摄氏度时必沸腾. 现象;如标况下,水加热到100摄氏度时必沸腾. 100摄氏度时必沸腾 另一类是事前不可预料的, 另一类是事前不可预料的,即在相同条件下重 复进行观察或试验时,有时出现有时不出现的现象, 复进行观察或试验时,有时出现有时不出现的现象, 称之为偶然现象或随机现象. 称之为偶然现象或随机现象.如观察某时段某交通 偶然现象 路口机动车的数目. 路口机动车的数目.
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关于随机现象的说明
概 率 论 与 数 理 统 计

随机现象有其偶然性的一面,也有其必然性的 随机现象有其偶然性的一面,也有其必然性的 偶然性的一面 必然性 一面, 一面,这种必然性表现在大量重复实验或观察中呈 现出的固有规律性,称为随机现象的统计规律性. 现出的固有规律性,称为随机现象的统计规律性. 统计规律性 概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学 科.

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在一定条件下, 在一定条件下,对某种现象的观察或实 统称为一个试验 用大写英文字母E表示 试验. 表示. 验,统称为一个试验.用大写英文字母 表示.
概 率 论 与 数 理 统 计

例如: 例如: 寿命试验 掷骰子试验 例如, 掷硬币试验 例如, 测试在同一工艺条件下生 掷一颗骰子, 掷一颗骰子, 掷一枚硬币, 观察出现的点数 掷一枚硬币,观察出正还是 产出的灯泡的寿命。 产出的灯泡的寿命。 H T 反. 上面这些例子,尽管内容各异,但它们 面这些例子,尽管内容各异, 有着共同的特点。我们有以下的定义. 有着共同的特点。我们有以下的定义.
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概 率 论 与 数 理 统 计

随机试验: 随机试验: 如果试验可以在相同条件下重复进行; 如果试验可以在相同条件下重复进行;试 验所发生的结果是不只一个且是已知的; 验所发生的结果是不只一个且是已知的;但每 次试验的结果事前是不能确定的, 次试验的结果事前是不能确定的,这样的试验 称为随机试验 随机试验. 称为随机试验. 我们把随机试验的每个基本结果称为 样本点,记作e 或ω. 全体样本点的集合称 样本点,记作 . 为样本空间.样本空间用S或 表示. 为样本空间.样本空间用 或 表示.
?



只含一个样本点的事件 称为基本事件。 称为基本事件。
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如果试验是将一枚硬币抛掷两次, 如果试验是将一枚硬币抛掷两次,则样 本空间由如下四个样本点组成: 本空间由如下四个样本点组成:
概 率 其中 论 与 数 (H,H): 理 统 (H,T): : 计

第1 次
H H T T

第2 次
H T H T

(T,H): : (T,T): :
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样本空间在如下 意义上提供了一个理 想试验的模型: 想试验的模型: 在每次试验中 有且仅有一个样本 点出现 .

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二 、随机事件
在随机试验中, 在随机试验中,对某些现象或某种情况 的描述称为随机事件,简称事件.用 的描述称为随机事件,简称事件. 随机事件 事件
概 率 论 与 数 理 统 计

[A,B,C……]表示。 ]表示。 不可能事件——在一次试验中不可能发生的 不可能事件——在一次试验中不可能发生的 —— 事件, 事件,常用Φ表示 . 必然事件——在试验中必定发生的事件, 必然事件——在试验中必定发生的事件, ——在试验中必定发生的事件 常用S或 表示; 常用 或 表示; 例如, 掷出点数小于7”是必然事件; 例如,“掷出点数小于7”是必然事件; 7”是必然事件 而“掷出点数8”则是不可能事件. 掷出点数8”则是不可能事件. 8”则是不可能事件
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第二节 事件的关系与运算
概 率 论 与 数 理 统 计

为了研究事件的需要, 为了研究事件的需要,下面介绍事件间的几种 主要关系以及事件的运算. 主要关系以及事件的运算.
设?为样本空间,A, B , C , Ai为事件,

1、包含关系

若A发生 ? B发生,
则称A为 的子事件 的子事件. 则称 为B的子事件.

?

A

B

记作:A ? B .
特别地,若A ? B , 且B ? A, 则A = B .
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2、和事件
概 率 论 与 数 理 统 计

A发生或B发生,即A, B至少有一个发生,

称为A, B的和事件(并). ?

记作:A + B 或 A U B .
3、积事件

B

A

A, B同时发生, 同 称为A, B的积事件(交).
记作:A B 或 A I B .
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?

B

AB A

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4、差事件

?

A发生,但B不发生,
概 率 论 与 数 理 统 计

AS

称为A, B的差事件. 记作:A ? B .

B

注意:A ? B = A ? AB = A I B .
5、互斥事件 事件A与事件 不能同时发生 事件 与事件B不能同时发生, 与事件 不能同时发生, 则称A与 为互斥事件或互 则称 与B为互斥事件或互 不相容事件. 不相容事件即 AB=Φ . = 注意:P ( AB ) = 0 ? A、B互斥.
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?

A B

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6、对立事件 若事件A与事件 满足条件 若事件 与事件B满足条件 与事件
概 率 论 与 数 理 统 计

A

AB = Φ , 且A U B = ?
则称事件A与事件 为对立事件 则称事件 与事件B为对立事件. 与事件 为对立事件.

B

记作:B = A
补充说明: 补充说明: 由于事件是用集合表示的, 由于事件是用集合表示的,所以事件的关系与运 算与集合完全相同. 算与集合完全相同. 进而可以得到事件的运算定律. 进而可以得到事件的运算定律.
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事件的运算定律: 事件的运算定律: 1、交换律 A + B = B + A,
概 率 论 与 数 理 统 计

AB = BA

2、结合律

( A + B ) + C = A + ( B + C );

( A B) C = A ? ( B C )
3、分配律

A( B + C ) = AB + AC , A + ( B C ) = ( A + B) ( A + C )

4、对偶律
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A U B = AB ,

AB = A U B
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例1
概 率 论 与 数 理 统 计

设A,B,C是三个事件,则 , 是三个事件, 是三个事件

发生而B, 都不发生 可表示为: 都不发生” (1) “A发生而 ,C都不发生”可表示为: 发生而

ABC ,

或 A ? B ? C.

发生而C不发生”可表示为: (2) “A与B发生而 不发生”可表示为: 与 发生而

ABC ,

或AB ? C , 或AB ? ABC .

三个事件至少发生两个” (3) “A,B,C三个事件至少发生两个”可表示为: , , 三个事件至少发生两个 可表示为:

ABC + ABC + ABC + ABC , 或 AB + AC + BC .

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例2. 向 一 目 标 射 击 3枪 , 分 别 用 A1 , A2 , A3表 示 第 1, 2, 3 枪 命 中 目 标 , 试 用 A1 , A2 , A3表 示 下 列 各 事 件 .
概 (1) 只有第1枪命中; (2) 至少有1枪命中; 率 (4) 3枪都没有命中. 论 (3) 至少有 2枪命中; 与 数(1) A1 A2 A3 或 A1 ? A2 ? A3 ; 理 统 (2) A1 + A2 + A3 ; 计 (3) A A A + A A A + A A A + A A A ,
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

或 (4)

A1 A2 + A2 A3 + A3 A1 ;
或 A1 + A2 + A3 .
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A1 A2 A3 ,

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概 率 论 与 数 理 统 计

补充说明 1.事件的运算类似与代数式的运算 事件的运算类似与代数式的运算, 1.事件的运算类似与代数式的运算,因为有相同 的运算定律; 的运算定律; 2.事件的运算的结果又不同于代数式的运算, 2.事件的运算的结果又不同于代数式的运算,因为 事件的运算的结果又不同于代数式的运算 它们运算的意义不同. 事件是用集合表示的〕 它们运算的意义不同.〔事件是用集合表示的〕 见下面的例子

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例3 计算 ( A + B )( A + B )( A + B )
概 率 论 与 数 理 统 计

= ( AA + AB + B A + BB )( A + B )

= ( Φ + AB + B A + B )( A + B )
= B( A + B )

= BA + BB

= AB .

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思考: 思考: A + B ? B = A = A ? B + B 吗?
概 率 论 与 数 理 统 计

A + B ? B = ( A + B ) ? B = A ? B.
A ? B + B = ( A ? B ) + B = A + B.

?

AS

B

所以, A + B ? B ? A ? A ? B + B .

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概 率 论 与 数 理 统 计

课后作业

P5? 6 ? 4、6

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