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2017高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.4二次函数与幂函数课时练理

时间:2017-03-05


2017 高考数学一轮复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.4 二 次函数与幂函数课时练 理
时间:60 分钟 基础组 1.[2016·冀州中学周测]已知幂函数 f(x)=(n +2n-2)x 称,且在(0,+∞)上是减函数,则 n 的值为( A.-3 C.2 答案 B 解析 由于 f(x)为幂函数,所以 n +2n-2=1,解得 n=1 或 n=-3,经检验只有 n= 1 适合题意,故选 B. 2.[2016·冀州中学热身]若函数 f(x)=x +bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数
2 2 2 2

n -3n

(n∈Z)的图象关于 y 轴对

) B.1 D.1 或 2

f′(x)的图象是(

)

答案 A 解析

? b 4c-b ?,则-b>0.f′(x)=2x 2 函数 f(x)=x +bx+c 图象的顶点坐标为?- , 4 ? 2 ? 2 ?
b

2

+b, 令 f′(x)=0, 得 x=- >0, 即导函数 f′(x)的图象与 x 轴的交点位于 x 轴正半轴上, 2 且斜率为正,故选 A. 3. [2016·枣强中学周测]定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x), 且当 x∈[0,1] 时,f(x)=x -x,则当 x∈[-2,-1]时,f(x)的最小值为( 1 A.- 16 1 C.- 4 答案 A 解析 设 x∈[-2, -1], 则 x+2∈[0,1], 则 f(x+2)=(x+2) -(x+2)=x +3x+2, 1 2 3 又 f(x+2)=f[(x+1)+1]=2f(x+1)=4f(x),∴f(x)= (x +3x+2)∴当 x=- 时,取 4 2 1 到最小值为- . 16
2 2 2

)

1 B.- 8 D.0

1

4. [2016·冀州中学预测]对任意实数 a,b 定义运算“?”:a?b=?

?b,a-b≥1, ? ?a,a-b<1. ?



f(x)=(x2-1)?(4+x),若函数 y=f(x)+k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点,则 k 的取值
范围是( ) B.[0,1] D.[-2,1)
2

A.(-2,1) C.[-2,0) 答案 D 解析

解 不 等 式 x - 1 - (4 + x)≥1 , 得 x≤ - 2 或 x≥3. 所 以 f(x) =

? ?x+4,x∈?-∞,-2]∪[3,+∞?, ? 2 ?x -1,x∈?-2,3?. ?

其图象如下图实线所示,由图可知,当-2≤k<1 时,函数 y=f(x)+k 的图象与 x 轴恰 有三个不同交点,故选 D.

5.[2016·衡水中学期末]幂函数 f(x)=x 的图象过点(2,4),那么函数 f(x)的单调递 增区间是( ) B.[-1,+∞) D.(-∞,-2)
α 2

α

A.(-2,+∞) C.[0,+∞) 答案 C

解析 因为函数过点(2,4), 所以 4=2 , α =2, 故 f(x)=x , 单调增区间为[0, +∞), 选 C. 6. [2016·武邑中学期中]设函数 f(x)=ax +bx+c(a, b, c∈R), 若 a=c, 则函数 f(x) 的图象不可能是( )
2

答案 D 解析 由 A、B、C、D 四个选项知,图象与 x 轴均有交点,记两个交点的横坐标分别为
2

c x1,x2,若只有一个交点,则 x1=x2.因为 a=c,所以 x1x2= =1,比较四个选项,可知选项 a
D 的 x1<-1,x2<-1,所以 D 不满足.故选 D. 1 3 1 7. [2016·衡水中学期中]已知函数 f(x)=asinx- cos2x+a- + (a∈R,a≠0),若 2 a 2 对任意 x∈R 都有 f(x)≤0,则 a 的取值范围是( ) B.[-1,0)∪(0,1] D.[1,3]

? 3 ? A.?- ,0? ? 2 ?
C.(0,1] 答案 C

3 2 2 解析 化简函数得 f(x)=sin x+asinx+a- .令 t=sinx(-1≤t≤1),则 g(t)=t

a

3 +at+a- ,问题转化为使 g(t)在[-1,1]上恒有 g(t)≤0,即

a

3 g?-1?=1- ≤0, ? ? a ? 3 g?1?=1+2a- ≤0, ? ? a

解得 0<a≤1,故选 C.

8.[2016·枣强中学猜题]若二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1,则

f(x)的表达式为(
2 2

) B.f(x)=-x +x-1 D.f(x)=x -x+1
2 2

A.f(x)=-x -x-1 C.f(x)=x -x-1 答案 D
2

解析 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0),由题意得
?c=1, ? ? 2 2 ?a?x+1? +b?x+1?+c-?ax +bx+c?=2x. ?

2a=2, ? ? 故?a+b=0, ? ?c=1,
2

a=1, ? ? 解得?b=-1, ? ?c=1,
2

则 f(x)=x -x+1.故选 D. 9.[2016·衡水中学月考]“a=1”是“函数 f(x)=x -4ax+3 在区间[2,+∞)上为 增函数”的( ) B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 -4a = 2 A.必要不充分条件 C.充分必要条件 答案 B 解析 函数 f(x)=x -4ax+3 在区间[2,+∞)上为增函数,则满足对称轴-
2 2

2a≤2,即 a≤1,所以“a=1”是“函数 f(x)=x -4ax+3 在区间[2,+∞)上为增函数” 的充分不必要条件.

3

10.[2016·武邑中学周测]已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 满足条件: 1 1 ①f(3-x)=f(x);②f(1)=0;③对任意实数 x,f(x)≥ - 恒成立. 4a 2 则其解析式为 f(x)=________. 答案 x -3x+2
2

2

? 3?2 解析 依题意可设 f(x)=a?x- ? +k, ? 2?
1 1 由 f(1)= a+k=0,得 k=- a, 4 4

? 3?2 a 1 1 从而 f(x)=a?x- ? - ≥ - 恒成立, ? 2? 4 4a 2
a 1 1 则- ≥ - ,且 a>0, 4 4a 2
即 1 a 1 a -2a+1 + - ≤0,即 ≤0,且 a>0,∴a=1. 4a 4 2 4a
2

? 3?2 1 2 从而 f(x)=?x- ? - =x -3x+2. ? 2? 4
11. [2016·冀州中学月考]已知二次函数图象的对称轴为 x=- 2, 截 x 轴所得的弦长 为 4,且过点(0,-1),求函数的解析式. 解
2

∵二次函数图象的对称轴为 x=- 2,∴可设所求函数的解析式为 f(x)=a(x+

2) +b.∵二次函数 f(x)的图象截 x 轴所得的弦长为 4,∴f(x)过点(- 2+2,0)和(- 2 -2,0).又二次函数 f(x)的图象过点(0,-1),
? ?4a+b=0 ∴? ?2a+b=-1 ?

1 ? ?a= ,解得? 2 ? ?b=-2

.

1 2 ∴f(x)= (x+ 2) -2. 2 1 2 即 f(x)= x + 2x-1. 2 12.[2016·衡水中学周测]已知函数 f(x)=ax -2ax+2+b(a≠0)在区间[2,3]上有最 大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-2 x 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. 解 (1)f(x)=a(x-1) +2+b-a.
?f?3?=5, ? ?f?2?=2, ?
2 2

m

①当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数,故?
?9a-6a+2+b=5, ? ∴? ?4a-4a+2+b=2, ? ?a=1, ? ?b=0. ?

∴?

4

②当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,故?
? ?9a-6a+2+b=2, ∴? ?4a-4a+2+b=5, ? ? ?a=-1, ?b=3. ?

?f?3?=2, ? ?f?2?=5, ?

∴?

∴a=1,b=0 或 a=-1,b=3. (2)∵b<1,∴a=1,b=0, 即 f(x)=x -2x+2,g(x)=x -2x+2-2 x=x -(2+2 )x+2. 2+2 2 +2 m m 若 g(x)在[2,4]上单调, 则 ≤2 或 ≥4, ∴2 ≤2 或 2 ≥6, 即 m≤1 或 m≥log26. 2 2 故 m 的取值范围是(-∞,1]∪[log26,+∞). 能力组 13.[2016·枣强中学一轮检测]已知函数 f(x)=(m-1)x +2mx+3 为偶函数,则 f(x) 在区间(-5,-3)上( A.先减后增 C.单调递减 答案 D 解析 当 m=1 时,f(x)=2x+3 不是偶函数;当 m≠1 时,f(x)为二次函数,要使其为 偶函数,则其对称轴应为 y 轴,故需 m=0,此时 f(x)=-x +3,其图象的开口向下,所以 函数 f(x)在(-5,-3)上单调递增,故选 D. 14.[2016·武邑中学模拟]函数 f(x)=ax +ax-1 在 R 上恒满足 f(x)<0,则 a 的取值 范围是( A.a≤0 C.-4<a<0 答案 D 解析 当 a=0 时,f(x)=-1 在 R 上恒有 f(x)<0; 当 a≠0 时,∵f(x)在 R 上恒有 f(x)<0, ∴?
? ?a<0 ?a +4a<0 ?
2 2 2 2 2 2

m

2

m

m

m

) B.先增后减 D.单调递增

) B.a<-4 D.-4<a≤0

,∴-4<a<0.

综上可知:-4<a≤0. 15.[2016·冀州中学预测]当 0<x<1 时,函数 f(x)=x ,g(x)=x ,h(x)=x 的大 小关系是________. 答案 h(x)>g(x)>f(x) 解析 如图所示为函数 f(x), g(x), h(x)在(0,1)上的图象, 由此可知, h(x)>g(x)>f(x).
1.1 0.9 -2

5

16.[2016·枣强中学周测]是否存在实数 a,使函数 f(x)=x -2ax+a 的定义域为[- 1,1]时,值域为[-2,2]?若存在,求 a 的值;若不存在,说明理由. 解

2

f(x)=(x-a)2+a-a2.
? ?f?-1?=1+3a=-2, ?f?1?=1-a=2 ?

当 a<-1 时,f(x)在[-1,1]上为增函数, ∴? ? a=-1(舍去);
2

? ?f?a?=a-a =-2, 当-1≤a≤0 时,? ?f?1?=1-a=2 ?

? a=-1;

当 0<a≤1 时,
?f?a?=a-a =-2, ? ? ?f?-1?=1+3a=2 ?
2

? a 不存在;

当 a>1 时,f(x)在[-1,1]上为减函数, ∴?
? ?f?-1?=1+3a=2, ? ?f?1?=1-a=-2

? a 不存在.

综上可得 a=-1.

6


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