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利用向量方法解决几何问题

时间:2014-03-01


江 西 师 范 大 学2012 届 数 学 与 应 用 数 学 学 士 学 位 论 文

江西师范大学科学技术学院









利用向量方法解决几何问题 Solving Problems in Geometry by Using the Method of Vectors

姓 学 学 专

名: 号: 院: 业:

符扬波 0807019012 科学技术学院 数学与应用数学 杨金波(教授) 2012 年 4 月 20 日

指导老师: 完成时间:

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利用向量方法解决几何问题
符扬波

【摘要】向量是形与数的高度统一,它集几何图形的直观与代数运算的简洁于
一身。向量在几何中的应用主要在平面几何与空间几何两方面。利用向量解决一 些相关数学问题将大大减少解题步骤,大多数学,物理问题,用向量来解决往往 解法简单明快。所以本文先回顾向量的一些基本概念及定理,再分别从平面向量 和空间向量两个方面总结归纳且列举说明向量在解决几何问题中的应用。

【关键词】向量 平面几何 立体几何

I

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Solving Problems in Geometry by Using the Method of Vectors Fu Yang Bo
【 Abstract】 vector is a high uniform of algebra and geometric graph which
integrates the clear version of geometric graph and the concise of algebraic calculation. The application of vector in geometry is mainly of plane geometry and space geometry. It is vector that makes significant contribution to the reduction of calculation process among several mathematical problems which could be used in the majority of mathematical and physical problems. So, this paper will firstly make a review on several basic concepts and theories of vector, and then make summaries as well as the applications of vector in solving geometric problems on the aspects of plane geometry and space geometry.

【Key words】Vector,Plane geometry,Solid geometry

II

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1 引言............................................................ 1 2 向量的基本知识及定理............................................ 1 2.1 平面向量基本知识 ........................................... 1 2.2 空间向量基本知识 ........................................... 3 2.3 向量的基本定理 ............................................. 4 3 利用向量方法解决平面几何问题 ..................................... 6 3.1 利用向量线性关系解决平面几何中的共线问题 ................... 6 3.2 利用向量知识证明平面几何中的平行问题 ....................... 8 3.3 利用向量知识证明平面向量中的垂直问题 ....................... 8 3.4 利用向量知识求平面几何中的夹角问题 ......................... 9 3.5 利用向量知识求解平面几何中的线段长度问题 ................. 11 3.6 利用向量知识解决平面解析几何问题 ......................... 11 3.6.1 求解解析几何中的线段长度............................ 12 3.6.2 利用向量处理解析几何中的夹角问题 .................... 13 3.6.3 平面向量与解析几何中的共线问题 ...................... 14 4 利用向量解决立体几何问题....................................... 15 4.1 利用向量证明立体几何中的线面问题 ......................... 15 4.1.1 线面平行问题 ........................................ 15 4.1.2 线面垂直问题 ........................................ 16 4.1.3 线面夹角问题 ........................................ 16 4.2 利用向量解决空间中异面直线所成角的问题.................... 18 4.3 利用向量知识求解二面角问题 ............................... 19 5 小结........................................................... 22 参考文献......................................................... 23

III

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1

引言
向量是形与数的高度统一,它集几何图形的直观与代数运算的简洁于一身。

是高中数学新增加的内容,在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地 位,但从目前的使用情况来看,向量的作用要远远大于复数。一个复数所对应的 点只能在平面上,而向量却有平面向量和空间向量之分,这一点在与几何(尤其 是立体几何)的联系上表现得更加突出。向量在数学,力学,物理学和工程技术 中应用很广泛,它具有代数形式和几何形式的“双重身份” ,能融数形于一体, 能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合,形成知识交汇点。 向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性, 平面向量就具有较强的 工具性作用,向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某 些问题,还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明(平行、垂直、共线、相 切、角相等)与求值(距离、角、比值等)问题.不难看出向量法应用于平面几 何中时,它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决,体现了 数学中数与形的完美结合。 向量法是将几何问题代数化,用代数方法研究几何问题。用空间向量解决立 体几何中的这些问题,其独到之处,在于用向量来处理空间问题,淡化了传统方 法的有“形”到“形”的推理过程,使解题变得程序化。那么解立体几何题时就 可以用向量方法,对某些传统性较大,随机性较强的立体几何问题,引入向量工 具之后,可提供一些通法。

2

向量的基本知识及定理
向量是形与数的高度统一,它集几何图形的直观与代数运算的简洁于一身,

在解决几何问题中有奇特的功效。 在利用向量解决几何问题前理解向量的基本概 念和掌握向量的基本定理是非常必要的 [10] .

2.1 平面向量基本知识
一、向量的基本概念 (1)既有大小又有方向的量称为向量。 (2)向量的表示方法:几何表示法、字母表示法。 (3)相等的向量:方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量或相等向量。 ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? (4)如果 AB ? a ,那么 AB 的长度,叫做 a 的模,记作 a 或者 AB 。


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? (5)长度为零的向量,叫做零向量。记作 0 ,其向量的方向不确定。

? ? ? (6)与非零的向量 a 同方向且长度等于 1 的向量,叫做 a 的单位向量,若 a 的

? ?? ? a ?? ? ?? ? ? ?。 单位向量为 a0 ,则 a0 与 a 的关系是 a0 ? ?? a0
??? ? ??? ? (7)通过有向线段 AB 的直线,叫做向量 AB 的基线。

(8)如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量平行或共线。 二、平面向量的线性运算 (1)向量的加法运算: ??? ? ? ??? ? ? ? ? B ? aB C , b? , ①、 已知向量 a 、b , 在平面上任取一点 A, 作A 再作向量 AC , 则向量 AC 叫做 a 与 b 的和(或和向量) ,记作 a + b 。

? ? ? ? ? ? ②、向量的加法满足交换律: a + b = b + a ,也满足结合律: (a +b )
? ? ? ? + c ? a ? (b ? c) 。
③、向量加法可以使用平行四边形法则和三角形法则。 (2)向量的减法:

? ? ? ①、相反向量:与 a 方向相反且等长的向量叫做 a 的相反向量,记作- a 。
②、向量的减法可以使用三角形法则。 ? ? (3)向量的数乘运算:设 j, k ? R, a, b 是向量,则

? ? ? ①、 (j+k) a =j a +k a ;②、j(k a )=(jk) a ;③、j( a + b )=j a +j b 。
三、平面向量的基本定理及其坐标表示 ?? ?? ? (1)平面向量的基本定理:e1 、e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对
? ?? ?? ? 于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 。

? ? ? ? ? ? (2)两个向量平行的充要条件: a / /b ? a ? ? b(b ? 0) ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。 ? ? ? ? ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 。 (3)两个向量垂直的充要条件: a ? b ? a?

(4)平行四边形对角线定理:对角线的平方等于四边的平方和。即



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? ?2 ? ?2 ?2 ?2 a ? b ? a ? b ? 2( a ? b )
四、平面向量的数量积
? ? ??? ? ? ??? ? ? A aO ?B , b ? , O B (1) 两个非零向量的夹角: 已知非零向量 a 与 b , 作O 则 ?A
? ? ? ? a 与 b 同向; 叫做 a 与 b 的夹角 ( 0 ? ?AOB ? ? ) 。 当 ?AOB =0 时, 当 ?AOB = ? 时,

? ? ? ? ? a 与 b 反向;当 ?AOB = 时, a 与 b 垂直。 2
? ? ( 2 )数 量积 的概念 : 已知 两个 非零 向量 a 与 b ,它 们的 夹角 为 ? ,则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。规定 0?a ? 0 。 a?b ? a? bcos? , a ?b 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)

? ? (3)两个向量的数量积的坐标运算:已知两个向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , ? ? b ? x1 x2 ? y1 y2 。 则 a? ? ? ?2 (4) 平面内两点间的距离公式: 设 a ? ( x1 , y1 ) , 则 a ? x2 ? y 2 或 a ? x2 ? y 2 。
如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) , 那 么

?

? a ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 (平面内两点间的距离公式)

2.2 空间向量基本知识
一、空间向量的定义 (1)定义:空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量。 ? ? (2) 空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a , b ,空间任取一点 O,作
? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? OA ? a, OB ? b , O B 叫做向量 a 与 b 的夹角, 则 ?A 记作 ? a, b? ; 且规定 0 ? ? a, b? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 显然有 ? a, b? ? ?b, a? ;若 ? a, b? ? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 a ? b 。 2 ? ??? ? ? ??? ? ? (3)向量的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的模,记作 a 。

二、空间向量的相关公式
? ? ( 1 ) 空 间 向 量 的 运 算 :? 令 a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ) , 则 ? ? a? b? (
1

a ?1 , b

2

a? ,2 b

3

? ? ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 , ? a, ) 3? ba ? (? a1 , ? a2 , ? a3 ) , a ?

? ? a a a a / / b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ? 1 ? 2 ? 3 b1 b2 b3




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? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0



? ? ? 2 2 a ? a?a ? a12 ? a2 ? a3



? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ;?空间两点间的距离公式: cos? a, b? ? ? ? ? 2 2 2 2 a b a1 ? a2 ? a3 ? b12 ? b2 ? b32
d ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 。
? (2) 法向量: 若向量 a 所在直线垂直于平面 ? , 则称这个向量垂直于平面 ? , ? ? ? 记作 a ? ? ,如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量。

四、共线向量和共面向量 (1)共线向量:空间向量的有向线段所在的直线互相平行或者重合,则这些 ? ? ? ? 向量叫做共线向量或平行向量。 a 平行于 b ,记作 a / / b 。
?? ? ? ? ? (2)共面向量:如果两个向量 a , b 不共线, p 与向量 a , b 共面的充要条

? ? ? ? 件是存在实数 x,y 使 p ? xa ? yb 。

2.3 向量的基本定理
定理 1 向量加法满足下述运算律 ? ? ? ? ? ? 结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
? ? ? ? 交换律: a ? b ? b ? a
? ? ? ? ? 可逆律: a ? (?a) ? (?a) ? a ? 0

定理 2 数乘向量运算有以下运算律 设 ?? ? R ,则
? ? ? (1) (? ? ? )a ? ? a ? ? a ? ? (2) ? ( ? a) ? (?? )a ? ? ? ? (3) ? (a ? b) ? ? a ? ? b
? ? ? ? ? ? 定理 3 如果 a ? 0 ,那么 b / / a 的充要条件是存在惟一的实数 x,使 b ? xa 。
?? ? ? 定理 4 如果平面内两个非零向量 a , b 不平行,那么对于该平面内的任一向量 p

? ? ? ? 都存在惟一的实数对 ( x, y ) ,使 p ? xa ? yb 。

定理 5 两个向量的和在数轴上的射影的数量等于每个向量在轴上射影的数量和。


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? ? ? 定理 6 对任意向量 a, b, c 和 ? ? R 。则向量内积运算满足如下算律:

? ? ? ? b ? b?a (1) a?
? ? ? ? b) (2) a ?(? b) ? ? (a ? ? ? ? ? ? ? ? b ? a? c (3) a?(b ? c) ? a?

定理 7 两向量(与坐标轴不平行)平行的充要条件是:它们相对应的坐标成比 例。 定理 8 两向量垂直的充要条件是他们的内积为 0。 ? ? 定理 9 两个非零向量 a ? ?X 1 , Y1 , Z1?, b ? ?X 2 , Y2 , Z 2 ? 共线的充要条件是对应成比 例,即
X 1 Y1 Z1 ? ? X 2 Y2 Z 2
? ? ? 定理 10 三个非零向量 a ? ?X 1 , Y1 , Z1?, b ? ?X 2 , Y2 , Z 2 ?和 c ? ?X 3 , Y3 , Z 3 ?共面的充要

条件是
X1 X3 Y1 Y3 Z1 Z2 ? 0 Z3 X 2 Y2

定理 11 点 M ( X , Y , Z ) 与平面 Ax+By+Cz+D=0 间的距离为

d?

Ax ? By ? Cz ? D A2 ? B 2 ? C 2

定理 12 设两平面的方程为

?1 : A1 x ? B1 y ? C1 z ? D1 ? 0

(1) (2)

? 2 : A2 x ? B2 y ? C2 z ? D2 ? 0
则两平面(1)与(2)相交的充要条件是:
A1 : B1 : C1 ? A2 : B2 : C2 ;

平行的充要条件是:
A1 B1 C1 D1 ? ? ? ; A2 B2 C 2 D2

重合的充要条件是:
A1 B1 C1 D1 ? ? ? ; A2 B2 C 2 D2


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垂直的充要条件是:
A1 A2 ? B1 B2 ? C1C2 ? 0 .

定理 13 设两直线 l1 与 l2 的方程为
l1 : x ? x1 y ? y1 z ? z1 ? ? x1 y1 z1 x ? x2 y ? y2 z ? z2 ? ? x2 y2 z2

l2 :

则两直线 l1 , l2 的夹角的余弦为
cos ?(l1 , l2 ) ? ? X 1 X 2 ? Y1Y2 ? Z1Z 2
2 2 X 12 ? Y12 ? Z12 ? X 2 ? Y25 ? Z 2

两异面直线 l1 , l 2 间的距离为

x1 ? x2 X1
D=

y1 ? y2 Y1 Y2

z1 ? z 2 Z1 Z2

X2 Y1 Y2 Z1 Z2
2

?

Z1 Z2

X1 X2

2

?

X1

Y1

2

X 2 Y2

3 利用向量方法解决平面几何问题
向量作为中学数学的必修内容,在知识体系中占的比例也较大。向量在中学 平面几何中也有着广泛的运用。向量的加法运算与全等、平行,向量的数量积与 相似,距离、夹角之间有着密切的联系。因此,利用向量可以解决中学平面几何 中的相关问题。

3.1 利用向量线性关系解决平面几何中的共线问题
用向量解决平面几何中点共线问题的基本思想是将点共线转换为向量共 ? ? 线。结合两个非零向量间存在形如 a ? ?b 的相等关系,即可解决点共线问题。 例1 如图 1,A、B 为两条定直线 AX、BY 上的定点,P、R 为射线 AX 上两点,Q、
AP AR ? 为定比,M、N、T 分别为线段 AB、PQ、RS 上的点, BQ BS

S 为射线 BY 上两点,



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AM PN RT ? ? 为另一定比。问 M、N、T 三点的位置关系如何?证明你的结论。 MB NQ TS

??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ?? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解:设 AB ? a, AR ? B, AS ? C , AM ? mAB, AP ? nAR ,

则 ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? MT ? MA ? AR ? RT ? ?mAB ? b ? mRS ? ?ma ? b ? m(c ? b) ? m(c ? a ) ? (1 ? m)b ;
???? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? MN ? MA ? AP ? PN ? ma ? n AR ? mPN ? ?ma ? nb ? m( PA ? AB ? BQ ) ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ma ? nb ? m(?n AR ? a ? nBS ) ? ?ma ? nb ? mnb ? ma ? mn(c ? a ) ? ? ? ???? ? ? nMT ? n? m ( c ? a ) ? (1 ? m ) b ? ?

故 M 、 N 、 T 三点共线。 例 2 如图 2,已知△ABC 两边 AB、AC 的中点分别为 M、N,在 BN 延长线上取点 P,使 NP=BN,在 CM 延长线上取点 Q,使 MQ=CM。求证:P、A、Q 三点共线。

??? ? ? ???? ? 解: 设 AB ? a, AC ? b ,则

???? 1 ? ???? ? 1? ???? ??? ? 1 ? ? ???? ? ???? ? 1? ? AN ? b, AM ? a 。由此可得 BN ? NP ? b ? a , CM ? MQ ? a ? b 2 2 2 2 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ?? PA ? AN ? NP, PA ? ?(b ? a) ? a ? b



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???? ???? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ? AQ ? AM ? MQ, AQ ? ?(b ? a) ? a ? b
??? ? ???? ??? ? ???? 即 PA ? AQ ,故有 PA ? AQ ,且它们有公共点 A,所以 P、A、Q 三点共线。

3.2 利用向量知识证明平面几何中的平行问题
证明平面几何中的平行问题,常用向量平行(共线)的充要条件: ? ? ? ? a // b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。 例 3 已知 AD , BE , CF 是 ?ABC 的三条高, DG ? BE 于 G , DH ? CF 于 H ,求 证: HG // EF .

证明:? DG ? BE, AE ? BE
? DG // AE ???? ??? ? ???? ??? ? 设 DG ? ? AE (? ? 0) ,那么 DO ? ? OA

又 DH ? CF , AB ? CF
? DH // AB
???? ? ??? ? 即 ?DHO 与 ?AFO 相似,于是 DH ? ? AF
???? ???? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? 因此, HG ? DG ? DH ? ? ( AE ? AF ) ? ? FE
???? ??? ? ? HG / / FE 即 HG // EF ???? ??? ? 点评: 将平面几何问题转化为向量问题, 欲证 HG // EF ,只需证 HG ? ? FE 即

可。

3.3 利用向量知识证明平面向量中的垂直问题


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一般来说,中学数学中用向量知识证明平面几何中的垂直问题的思想是: ? ? ? ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 来证明几何中的垂直 利用向量垂直的充要条件 a ? b ? a? 问题。 例 4 . 如 图 4 所 示 , O 为 △ ABC 的 外 心 , E 为 三 角 形 内 一 点 , 满 足 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? BC 。 O E? O A ? O? B O。求证: C
??? ? ???? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 分析:要证 AE ? BC ,即证 AE ?BC ? 0 ,选取 {OB, OC} ,将 AE , BC 表示出

即可。

??? ? ??? ? ??? ? 证明: ? AE ? OE ? OA
??? ? ??? ? ???? ??? ? = (OA ? OB ? OC ) ? OA

??? ? ???? = OB ? OC ??? ? ???? ??? ? BC ? OC ? OB
∴ AE ?BC ? ? OC ? OB ??? OC ? OB ? = OC ? OB
??? ?2 ??? ?2
??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ?

??? ? ??? ? ∵O 为外心,∴ OC ? OB

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 即 AE ?BC ? 0 , AE ⊥ BC 。

3.4 利用向量知识求平面几何中的夹角问题
? ? a? b 求夹角问题,往往利用向量的夹角公式: cos ? ? ? ? 或结合三角函数的 a b



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知识。如利用面积公式 s ? 值。

1 ? ? a b sin A 求三角形的面积,可用夹角公式求 sin A 的 2

例 5.如图 5 所示,在△ ABC 中,已知 AB ? 的中线 BD = 5 。求 sin ?BAC 的值。

4 6 6 , cos ?ABC ? , AC 边上 3 6

??? ? 解:以点 B 为坐标原点, BC 为 X 轴正向建
立直角坐标系,且不妨设点 A 位于第一象限。
? 6? ? = 30 由 sin ?ABC = 1 ? cos ?ABC = 1 ? ? ? 6 ? 6 ? ?
2

2

??? ? ?4 6 ? ?4 4 5? 4 6 cos ? ABC , sin ? ABC 则 BA ? ? ? ? 3 ??? ?3, 3 ? ? 3 ? ? ? ?
??? ? ??? ? ? 4 ? 3x 2 5 ? 设 BC ? ? x, 0 ? ,则 BD ? ? ,由条件得 ? 6 , 3 ? ? ? ?
2 ??? ? 14 ? 4 ? 3x ? ? 2 5 ? BD ? ? ? 5 ,从而有 x ? 2, x ? ? (舍去) ? ? ?? ? ? 3 ? 6 ? ? 3 ? 2

??? ? ??? ? ??? ? ? 2 4 5? 故 CA ? BA ? BC ? ? ?? 3, 3 ? ? ,于是有 ? ?
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ?AC BA? CA cos ?BAC ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? AB ? AC BA ?CA 8 80 ? 14 9 9 ?3 14 16 80 4 80 ? ? ? 9 9 9 9 ?

10

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∴ sin ?BAC = 1 ? cos2 A ?

70 14

3.5 利用向量知识求解平面几何中的线段长度问题
求几何中的线段长度或相等问题,通常运用向量的模来解决。 求线段的长度或相等,可以利用向量的模。 例 6.如图 6,平行四边形 ABCD 中,已知 AD=1,AB=2,对角线 BD=2,求对 角线 AC 的长。 分析:本题是求线段长度的问题,可以转化为向量的模来解决。

???? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? 解:设 AD ? a, AB ? b ,则有 BD ? a ? b , AC ? a ? b

??? ? ? ? 而 BD ? a ? b ?

?2 ? ? ?2 a ? 2a ? b ? b

?2 ? ? ?2 = a ? 2a ? b ? b

? ? = 1 ? 4 ? 2a ? b

= 5 ? 2a ? b
??? ?2 ? ? ? ? ∴ BD ? 5 ? 2a ? b , 即有 2a ? b ? 1
又∵ AC ? a ? b ? a ? 2a ? b ? b

? ?

??? ?2

? ?2

?2

? ? ?2

?2 ? ? ?2 = a ? 2a ? b ? b
=1 ? 1 ? 4

∴ AC ? 6

???? 2

=6 ???? ∴ AC ? 6 即 AC= 6

3.6 利用向量知识解决平面解析几何问题
11

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在高中数学新课程教材中,平面向量和解析几何二者知识整合不多,而用向 量方法解决解析几何问题思路清晰,过程简单,有意想不到的神奇效果。

3.6.1 求解解析几何中的线段长度
利用向量中的等量运算关系解决解析几何中的一些线段长度问题。 例 7 图 7 所示,已知定点 A(-1,0)和 B(1,0),P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4 上的一动 点,求 PA ? PB 的最大值和最小值。
2 2

??? ? ??? ? ???? ? 分析:因为 O 为 AB 的中点,所以 PA ? PB ? 2 PO, 故可利用向量把问题转化为求

??? ? 向量 OP 的最值。
??? ? ??? ? 解:设已知圆的圆心为 C,由已知可得: OA ? {?1, 0}, OB ? {1, 0}

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? OA ? OB ? 0, OA? OB ? ?1 又由中点公式得 PA ? PB ? 2 PO

??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 PA ? PB ? ( PA ? PB)2 ? 2PA ? PB
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (OB ? OP) = (2 PO) 2 ? 2(OA ? OP)?

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? = 4 PO ? 2OA? OB ? 2 OP ? 2OP? (OA ? OB)
??? ?2 = 2 OP ? 2
???? 又因为 OC ? {3, 4} 点 P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4 上,

??? ? ??? ? 所以 OC ? 5, CP ? 2,

??? ? ??? ? ??? ? 且 OP ? OC ? CP

???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 所以 OC ? CP ? OP ? OC ? CP ? OC ? CP

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??? ? 即 3 ? OP ? 7
2 2

??? ? 2 ??? ?2 ??? ?2 故 20 ? PA ? PB ? 2 OP ? 2 ? 100

所以 PA ? PB 的最大值为 100,最小值为 20。 点评:有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现,但如果运用向 量知识来解决,也会显得自然、简便,而且易入手。

3.6.2 利用向量处理解析几何中的夹角问题
? ? 若 两 个 非 零 向 量 a =( x1 , y1 ), b =( x 2 , y 2 ) 的 夹 角 为 ? , 由 夹 角 公 式 ? ? x1 x2 ? y1 y2 a? b 知,cos? 的正负直接由分子 x1 x2 ? y1 y2 来确定的。 co? s ? ? ? ? 2 2 2 a b x1 ? y 12 x 2 ?y 2

? ? b ? 0 ;当 ? 为钝角时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 当 ? 为锐角时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 a ? ? ? ? ? a? b ? 0 ;当 ? 为直角时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 a ? b ?0。

例 8 (200 年全国高考 14 题)椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 、F2 ,点 P 为其上一动 9 4

点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点 P 的横坐标的取值范围是多少?

解:易知 a=3,b=2,故 c ? 32 ? 2 2 ? 5 。
? F1 (? 5 ,0), F2 ( 5 ,0)
???? ???? ? 设 P(x,y) ,则 PF1 ? (? 5 ? x, ? y ), PF2 ? ( 5 ? x, ? y) ,由 ?F1 PF2 是钝角,


???? ???? ? PF1 ?PF2 ? 0
13

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? (? 5 ? x)( 5 ? x) ? y 2 ? 0 ,即 x 2 ? y 2 ? 5 ? 0

又点 P(x,y)在椭圆上,所以由 x 2 ? y 2 ? 5 ? 0 和
x2 ? 9 5

x2 y2 ? ? 1 解得 9 4

??

3 5 3 5 ?x? 。 5 5

3.6.3 平面向量与解析几何中的共线问题
三点共线是解析几何中的常见问题之一, 用向量法解决共线问题的思路显得 直接了当。一般方法是根据向量共线的充要条件,只要在三点中任意两点间存在 ? ??? ? ??? ? ???? ??? 倍数关系就行了。就是说三点 A、B、C 共线,仅要 AB ? ? AC 或 AB ? ? BC (? ? R) 成 立 . 用 坐 标 表 示 , 如 果 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) 三 点 共 线 , 有
( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ? ? ( x3 ? x1 , y3 ? y1 ) ,消去 ? 得 ( x2 ? x1 )( y3 ? y1 ) ? ( x3 ? x1 )( y2 ? y1 ) ? 0



x2 ? x1 y2 ? y1 ? ( x3 ? x1 , y3 ? y1 ) 。 x3 ? x1 y1 ? y 1

例 9 (2001 年全国高考 19 题)设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,经过点 F 的 直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC//x 轴,求证:直线 AC 经过原点 O 。

p p 解:如图 9,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), F ( ,0) ,由 BC//x 轴得 C (? , y2 ) 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ???? p p p ? FA ? ( x1 ? , y1 ), FB ? ( x2 ? , y2 ), OA ? ( x1 , y1 ), OC ? (? , y2 ) 2 2 2 ? ??? ? ??? ? FA 与 FB 共线
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y2 y2 p p ? ( x1 ? ) y2 ? ( x2 ? ) y1 ? 0 ,而 x1 ? 1 , x2 ? 2 代入上式得 y1 y2 ? ? p 2 2p 2p 2 2

p y2 p yy p p p 又? x1 y2 ? (? ) y1 ? 1 y2 ? y1 ? 1 2 y ? y1 ? ? y1 ? y1 ? 0 2 2p 2 2p 2 2 2
??? ? ???? ? OA 与 OC 是共线向量,即 A、 O 、C 三点共线

? 直线 AC 经过原点 O 。

4 利用向量解决立体几何问题
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线 线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、 点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。本节通过以下几个实例来讲 解空间向量与立体几何的一些问题。

4.1 利用向量证明立体几何中的线面问题
4.1.1 线面平行问题
例 10 如图 10,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是 AB 上的点, F 是 AC 上的点, 且 A1 E ? 2 EB , CF ? 2FA ,求证: EF // 平面 A1 B1CD .

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 证明: EF ? EB ? BA ? AF · · · · · · ·? ,
??? ? ???? ???? ? ???? ??? ? EF ? EA1 ? A1 D ? DC ? CF · · · · · ·? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 有?×2+?且 EA1 ? ?2 EB, CF ? ?2 AF , BA ? ? DC 得

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??? ? 1 ???? ? 1 ???? EF ? A1 D ? DC 3 3

而 EF ? 平面 A1 B1CD

? EF //平面 A1 B1CD

4.1.2 线面垂直问题
例 11 如图 11, m, n 是平面 ? 内的两条相交直线.如果 l ? m, l ? n , 求证:l ? ? .

? ?? ? ? ? 证明:在 ? 内作任一直线 g ,分别在 l , m, n, g 上取非零向量 l , m, n, g .
?? ? 因为 m 与 n 相交,所以向量 m , n 不平行.由向量共面的充要条件知,存在唯

? ? ?? ? 一的有序实数对(x,y),使 g ? xm ? yn

? 将上式两边与向量 l 作数量积,得
? ? ? ? ?? ? ? l ? g ? xl ? m ? yl ? n , ? ?? ? ? 因为 l ? m ? 0, l ? n ? 0 ,
? ? ? ? ? ? 所以 l ? g ? 0 ,所以 l ? g 即 l ? g .这就证明了直线 l 垂直于平面 ? 内的任意
一条直线,所以 l ? ? . 方法思路:找直线的方向向量(在两直线上取两点得一向量)及平面的法向 量,只需证明两向量平行,则可证线面垂直.

4.1.3 线面夹角问题
设 直 线 l 与 面 ? 所 成 的 角 为 ? , 若 A, B ? l , m 是 面 ? 的 法 向 量 , 则 有
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??? ? ?? sin ? ? cos AB, m .
例 12 如图 12,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90?, 侧棱 AA1=2,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G.求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小(结果用余弦值表示);

解析:如图 12 所示,建立坐标系,坐标原点为 C,设 CA ? 2a ,则 A(2a,0,0) ,
B(0,2a,0) , D(0,0,1) , A1 (2a,0,2) , E (a, a,1) , G (

∵ GE ? ? a , ? a , ? 2 ,
3 3 3
??? ? BD ? ? 0, ?2a,1? ,

??? ?

?

?

2a 2a 1 , , ), 3 3 3

GE ? BD ?

2 2 2 a ? ? 0, 3 3
??? ?

∴ a ? 1 , GE ? ? 1 , ? 1 , ? 2 ,
3 3 3
???? A1 B ? ? ?2, 2, ?2 ?

?

?

???? ??? ? ??? ? A1B ? GE ∵ GE 为平面 ABD 的法向量,且 cos? A1B, GE? ? ???? ??? ? ? A1B GE
2 . 3

???? ??? ?

2 . 3

∴ A1B 与平面 ABD 所成角的余弦值是

方法思路:找直线的方向向量与平面的法向量,转化为向量的夹角问题,再 套公式(注意线面角与两向量所在直线夹角互余).

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4.2 利用向量解决空间中异面直线所成角的问题
a,b 是 两 异 面 直 线 , A, B ? a, C, D ? b , a , b 所 成 的 角 为 ? , 则 有
AB ? CD AB ? CD

cos? ? cos? AB, CD? ?

.

例 13 如图 13 所示,三棱锥 A-BCD,AB ? 平面BCD, BD ? CD, 若 AB=BC=2BD,求二面 角 B-AC-D 的大小.

解: 如图 13 建立空间直角坐标系 O-xyz, ∵AB=BC=2BD,设 BD=1 则 AB=BC=2,DC= 3 A(1,0,2),B(1,0,0),C(0, 3 ,0),D(0,0,0) ??? ? ??? ? ???? ??? ? AB ? (0, 0, ?2), BC ? (?1, 3, 0), DC ? (0, 3, 0), DA ? (1, 0, 2) ?? 设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 AB ?n1 ? 0 ? z1 ? 0
??? ? ?? BC.n1 ? 0 ? ? x1 ? 3 y1 ? 0
??? ? ??

取平面 ABC 的法向量 n1 ? ( 3,1, 0) 设平面 ACD 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 则 DC ?n2 ? 0 ? y2 ? 0
???? ?? ? ?? ?

??

??? ? ?? ? DA?n2 ? 0 ? x2 ? 2 z2 ? 0
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? 取法向量 n ? (?2,0,1) ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 3 ? (?2) ? 1? 0 ? 0 ?1 15 cos n1 , n2 ? ?? ?? ?? ? ? 5 3 ?1? 0 ? 4 ? 0 ?1 n1 n2
?? ?? ? 15 ? n1 , n2 ? ? ? arccos 5 ?? ?? ? ? 二面角 B ? AC ? D 与 n1 , n2 互补,

? 所求二面角B ? AC ? D的大小的arccos

15 . 5

方法思路:找两异面直线的方向向量,转化为向量的夹角问题,套公式(但 要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补).

4.3 利用向量知识求解二面角问题
?? ?? ? ? 的法向量 n1 , n2 (都取向上 方法一:构造二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面 ? 、

的方向,如右图所示) ,则 1 若二面角 ? ? l ? ? 是“钝角型”的如图 14 甲所示,那么其大小等于两法 ○
?? ?? ? n ? n2 ? . 向量 n1 , n2 的夹角的补角,即 cos ? ? ? ?? 1 ??

?? ?? ?

| n1 | ? | n2 |

2 若二面角 ? ? l ? ? 是“锐角型”的如图 14 乙所示,那么其大小等于两法 ○
?? ?? ? n ?n2 ?? ? ?n1 向量 n1 , n2 的夹角,即 cos ? ? ??1 ??

?? ?? ?

| n1 |? | n2 |

? 内求出 方法二:在二面角的棱 l 上确定两个点 A、B ,过 A、B 分别在平面 ? 、

?? ?? ? ?? ?? ? 与 l 垂 直的向量 n1 , n2 ,则二面角 ? ? l ? ? 的大小等于向量 n1 , n2 的夹角,即
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?? ?? ? n1 ?n2 ? 。 cos ? ? ?? ?? | n1 |? | n2 |

例 14 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BC=4,AA1=2,点 Q 是 BC 的中点,求此 时二面角 A—A1D—Q 的大小。

解:如图 15 所示,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 依题意:A1(0,0,2) , Q(2,2,0) ,D(0,4,0) , ???? ???? ∴ A1Q ? (2, 2, ?2), QD ? (?2, 2, 0) , 面 AA1D 的法向量 n1 ? (1,0,0) , 设面 A1DQ 的法向量 n2 ? (a1 , a 2 , a3 ) ,
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?? ? ???? ? ? a2 ? a1 , ?n2 ? A1Q ? 2a1 ? 2a2 ? 2a3 ? 0, ?? 则 ? ?? ? ???? ? a3 ? 2 a1 , ? ?n2 ? QD ? ?2a1 ? 2a2 ? 0,
∴ n 2 ? (a1 , a1 ,2a1 ) , 令 a1=1,则 n 2 ? (1,1,2) ,

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 6 ? ? ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? , n1 n2 1? 6 6
?二面角的平面角为锐角,
∴二面角 A—A1D—Q 的大小为 arccos
6 . 6

此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中若
?? ?? ? 6 令 a1 ? ?1 ,则 n 2 ? ( ?1,?1,?2) ,∴ cos ? n1 , n2 ?? ? ,∴二面角 A—A1D—Q 的 6
?? ?? ? 6 6 大小 是 ? n1 , n2 ? ? ? ? arccos 的补角 arccos .所以在计算之前不妨先依题 6 6

意直观判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角”或取“补角”.

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5 小结
由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份” ,使向量与几何之间有着 密切联系。向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一,它既是几何对象也是 代数对象,因而成为数形结合的桥梁,成为沟通代数、几何、三角的得力工具。 向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来,反过来,它的理论 和方法又成为解决生活实际问题和物理学重要工具.它之所以有用,关键是它具 有一套良好的运算性质,可以使复杂问题简单化、直观化,使代数问题几何化、 几何问题代数化。正是由于向量所特有的数形二重性,使它成为中学数学知识的 一个交汇点,成为联系多项内容的媒介,在高中数学教学内容中有广泛的应用。 用向量坐标法求角时要注意善于利用已知几何体的特点,寻找直线与平面的 垂直关系,再设法在平面内找到直线与直线垂直,以便建立空间直角坐标系后方 便求相关点的坐标。 从上面的例子我们可以看到,向量解题的优势就在于只运用了向量公式的 简单变形就解决了一个通过繁琐的立体几何分析方能解决的问题。 这是对笛卡尔 “变实际问题为数学问题,再变数学问题为方程问题,然后只需求解方程便可使 问题得以解决”这一数学哲学思想的完美体现。 用向量法解决立体几何问题的方式有两种:一是直接用向量的代数式运算, 二是用向量的坐标运算。一般来说,向量的坐标运算,思维量更少,运算技巧更 低,更容易掌握,因此这也是我们常用的向量方法。若所给图形不容易建立空间 直角坐标系, 我们也可以用向量的代数式运算来解决问题, 但其技巧性相对较高, 对学生逻辑推理能力的要求也提高了。 用向量坐标运算解题步骤: (1)建立空间直角坐标系。注意尽可能用已经存在的过同一个点的两两垂直的 三线,如果没有三线,也尽量找两线垂直,然后作出第三线和两线垂直,按右手 系建立坐标系。注意所写点的坐标要与所建立的坐标系相一致。 (2)写出需要用到的点的坐标。注意要仔细再仔细,此步若错,全题皆错。 (3)写出所要用到的向量坐标。注意必须终点坐标减始点坐标。 (4)通过计算解决具体问题。注意公式要记对,运算要仔细。

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