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江苏省泰州中学2018届高三 二轮复习 小专题 圆锥曲线过定点问题

时间:2018-01-15

圆锥曲线过定点问题:
一、小题自测 1. 无论 k 取任何实数,直线 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (2 ? 14k ) ? 0 必经过一个定点,则这个定点的坐标 为 . .

2. 已知直线 l : 2ax ? by ? a ? b ? 0 ; 圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 1 ? 0 , 则直线 l 与圆 C 的位置关系为

二、几个常见结论: 满足一定条件的曲线上两点连结所得的直线过定点或满足一定条件的曲线过定点,这构成了过定点问题。 1、过定点模型: A, B 是圆锥曲线上的两动点, M 是一定点,其中 ? , ? 分别为 MA, MB 的倾斜角,则有 下面的结论: ①、 MA ? MB 为定值 ? 直线 AB 恒过定点; ③、 ? ? ? ? ? (0 ? ? ? ? ) ? 直线 AB 恒过定点. 斜角,则可以得到下面几个充要的结论:

???? ????

②、 kMA ? kMB 为定值 ? 直线 AB 恒过定点;

2、抛物线中的过定点模型: A, B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两动点,其中 ? , ? 分别为 OA, OB 的倾

OA ? OB ? kOA ? kOB ? ?1 ? ? ? ? ?
3、椭圆中的过定点模型: A, B 是椭圆

?
2

? 直线 AB 恒过定点 (2 p, 0) .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上异于右顶点 D 的两动点,其中 ? , ? 分别 a 2 b2

为 DA, DB 的倾斜角,则可以得到下面几个充要的结论:

DA ? DB ? k DA ? k DB ? ?1 ? ? ? ? ?

?
2

? 直线 AB 恒过定点 (

ac 2 , 0) . a 2 ? b2

三、方法归纳: ★参数无关法:把直线或者曲线方程中的变量 x,y 当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点, 那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部为零,这样就得到一个关于 x,y 的方程 组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 ★特殊到一般法:根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关。 ★关系法:对满足一定条件曲线上的两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题,可设直 线(或曲线)上两点的坐标,利用坐标在直线(或曲线)上,建立点的坐标满足方程(组) ,求出相应的 直线(或曲线) ,然后再利用直线(或曲线)过定点的知识求解。

1

四、例题分析: x2 例 1:过椭圆 ? y 2 ? 1 的左顶点 A 作互相垂直的直线分别交椭圆于 M,N 两点.求证:直线 MN 过定点, 4 并求出该定点坐标. ★证明: 解法一:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,直线 MN : y ? kx ? m .

? y ? kx ? m ? 2 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 ?4 ?8km 4m 2 ? 4 y1 y 则V? 0且x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ,由AM ? AN 得 ? 2 ? ?1 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k x1 ? 2 x2 ? 2
4m 2 ? 4 ?8km ? (km ? 2) ? m2 ? 4 ? 0 , (k ?1) x1x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m ? 4 ? 0 , (k ? 1) 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k m m 2 2 2 化简得: 5m ? 16km ? 12k ? 0, Q k ? 0 ? 5( ) ? 16 ? 12 ? 0 k k m 6 m 6 6 2 解得: ? 或 ? (舍) ,直线 MN : y ? k ( x ? ) ,过定点 (? , 0) . k 5 k 5 5
2 2
2

解法二: (考查极端位置、特殊位置确定出定点,从而转化为一般性证明题) 令

6 2 ? 8k 2 2k 2 ? 8 2 ? 8k 2 6 2 ? ? k ? 1 ? ? ,所以直线 MN 过定点 (? , 0) . , 此时 2 2 2 5 1 ? 4k 4?k 1 ? 4k 5
2

当 k ? 1, kCM

4k 4k ? 2 5 k 4 ? k 2 ? 5k . , kCN ? ? 1 ? 42k ? 2 2 2k ? 8 6 4(1 ? k 2 ) 2 ? 8k 6 4(1 ? k ) ? ? 4 ? k2 5 1 ? 4k 2 5

6 ? kCM ? kCN ,? M , N , C 三点共线,即:直线 MN 过定点 (? , 0) . 5
解法三:设直线 AM : y ? k ( x ? 2)(k ? 0) ,则直线 AM : y ? ?

1 ( x ? 2) k

? y ? k ( x ? 2) 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k ? 2 2 2 2 2 Q ? 2 x ? , ? x ? , y ? ? (1 ? 4 k ) x ? 16 k x ? 16 k ? 4 ? 0 ?x M M M 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? ? y ?1 ?4 2 ? 8k 2 4k 2k 2 ? 8 ?4k , ) N ( , ) 所以点 M ( , 同理:点 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 4 ? k2 4 ? k2

? kMN

4k 4k ? 2 2 k 2 ? 5k ,直线 MN :, y ? 4k ? 5k ( x ? 2 ? 8k ) ? 1 ? 4k2 4 ? 2 ? 8k 2k 2 ? 8 4(1 ? k 2 ) 1 ? 4k 2 4(1 ? k 2 ) 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k 2 4 ? k 2
6 2 ? 8k 2 16(1 ? k 2 ) ?6(1 ? 4k 2 ) 6 ? ? ? ? ,所以直线 MN 过定点 (? , 0) . 2 2 2 5 1 ? 4k 5(1 ? 4k ) 5(1 ? 4k ) 5

令 y ? 0得 x ?

2

例 2:2017 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 I 卷) 已知椭圆 C :

? ? 3? 3? x2 y 2 1? , P3 ? ?1, ? , P4 ?1, ? 中恰有三点 1? , P2 ? 0 , ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? ,四点 P 1 ?1, 2 ? ? ? 2 ? 2 ? a b ? ? ?

在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程; (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A 、 B 两点,若直线 P2 A 与直线 P2 B 的斜率的和为 ?1 , 证明: l 过定点. ★分析:出现 kPA ? kPB ? k , kPA ? kPB ? k ( P 是曲线上一动点, A, B 是曲线另外两点),可以得到直线

AB 过定点。
P P4 三点 ★解:(1)根据椭圆对称性,必过 P3 、 P4 ,又 P4 横坐标为 1,椭圆必不过 P1 ,所以过 P2 , 3 ,

?1 ? b2 ? 1 ? 3? x2 ? 2 2 1? ,P3 ? ? 1 , C ? 将 P2 ? 0 , 代入椭圆方程得 , 解得 , ∴椭圆 的方程为: ? y2 ? 1 . a ? 4 b ? 1 ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ?1 ?1 ? 2? 4 b2 ?a ? yA ? (2) ① 当斜率不存在时,设 l : x ? m ,A ? m ,y A ? ,B ? m ,

yA ? 1 ? yA ? 1 ?2 ? ? ? ?1 ,得 m ? 2 ,此时 l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足. m m m B ? x2 ,y2 ? ② 当斜率存在时,设 l∶y ? kx ? b ? b ? 1? , A ? x1 ,y1 ? , kP2 A ? kP2 B ?
? y ? kx ? b ?8kb 4b2 ? 4 2 2 2 x ? x ? 1 ? 4 k x ? 8 kbx ? 4 b ? 4 ? 0 联立 ? 2 ,整理得 , , ,则 x ? x ? ? ? 1 2 1 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0

8kb 2 ? 8k ? 8kb 2 ? 8kb 8k ? b ? 1? y ? 1 y2 ? 1 x2 ? kx1 ? b ? ? x2 ? x1 ? kx2 ? b ? ? x1 1 ? 4k 2 k P2 A ? k P2 B ? 1 ? ? ? ?1 , ? ? 2 x1 x2 4 ? b ? 1?? b ? 1? x1 x2 4b ? 4 1 ? 4k 2 又 b ? 1 ? b ? ?2k ? 1 此时 ? ? ?64k ,存在 k 使得 ? ? 0 成立. ? 1? . ∴直线 l 的方程为 y ? kx ? 2k ? 1 ,当 x ? 2 时, y ? ?1 ,所以 l 过定点 ? 2 ,

★小结:此类问题的解题步骤: 第一步:设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,联立曲线方程得根与系数的关系,用 ? ? 0 求出参数的取值范围; 第二步:由 AP 与 BP 的关系,得到一次函数 k ? f (m) 或者 m ? f (k ) ; 第三步:将 k ? f (m) 或者 m ? f (k ) 代入 y ? kx ? m ,得 y ? k ( x ? x定 ) ? y定

例 3:已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E(1, 2 3 ).过点 P(1,1)分别作斜率为 k1,k2 的椭圆的 3
3

动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标. ★分析:第(3)问,可有一般的情形:过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦,则两动 弦的中点所在直线过定点.

? ? ★解:依题设 c=1,且右焦点 F? (1,0).所以,2a= EF ? EF? = (1 ? 1) ? ? 2 3 ? ? 2 3 ? 2 3 , 3 ? 3 ?
2

2

2 y2 2 2 2 b =a -c =2,故所求的椭圆的标准方程为 x ? ?1. 3 2

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y2 ),则 ②-①,得 所以,k1=

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1 ①, 2 ? 2 ? 1 ②. 3 2 3 2

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? ? 0. 3 2

y2 ? y1 2( x2 ? x1 ) 4x ?? ? ? P ? ? 2 . (3)依题设,k1≠k2. x2 ? x1 3( y2 ? y1 ) 6 yP 3

设 M( xM , yM ),直线 AB 的方程为 y-1=k1(x-1),即 y=k1x+(1-k1),亦即 y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得 于是, xM ?
2 (2 ? 3k12 ) x2 ? 6k1k2 x ? 3k2 ?6 ?0.

?3k1k2 2k2 , yM ? . 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12

同理, xN ?

?3k1k2 2k1 , yN ? . 2 2 2 ? 3k2 2 ? 3k2

当 k1k2≠0 时,直线 MN 的斜率 k= 直线 MN 的方程为 y ? 即
y?

2 ? k2 k1 ? k12 ) 10 ? 6k2 k1 yM ? yN 4 ? 6(k2 = . ? ?9k2 k1 (k2 ? k1 ) xM ? xN ?9k2 k1

2k2 10 ? 6k2 k1 ?3k1k2 ? (x ? ), ?9k2 k1 2 ? 3k12 2 ? 3k12

10 ? 6k2 k1 10 ? 6k2 k1 3k1k2 2k 2 x?( ? ? ) ,亦即 ?9k2 k1 ?9k2 k1 2 ? 3k12 2 ? 3k12

y?

10 ? 6k2 k1 x? 2 . ?9k2 k1 3

此时直线过定点 (0, ? 2 ) .当 k1k2=0 时,直线 MN 即为 y 轴,此时亦过点 (0, ? 2 ) . 3 3 综上,直线 MN 恒过定点,且坐标为 (0, ? 2 ) . 3 ★小结:此类问题的解题步骤: (交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤) 第一步:设其中一条直线的斜率为 k1 ,求出直线方程; 第二步:直线与曲线进行联立,出现韦达定理的形式,或者直接求出坐标,表示这条弦的中点,并且类比 出另外一条的中点坐标; 第三步:由上述两步,根据点斜式写出两个中点所在直线的方程; 第四步:化直线为点斜式,确定定点坐标。 ★拓展:若过抛物线的某定点作两条直线,这两条直线的斜率之和(积)为定值,那么两条线的中点连线必 过一定点。 五、练习反馈:

4

1.如图,已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l: x ? 4 ,A,B 是长轴的两端点,M 是椭圆上异于 A,B 的任意一 4

点, 设直线 AM 交直线 l 于点 P, 直线 BM 交直线 l 于点 Q, 则以 PQ 为直径的圆 C 经过定点

.

x2 y 2 ? ? 1 的上顶点为 A ,直线 l : y ? kx ? m 4 2 交椭圆于 P, Q 两点,设直线 AP, AQ 的斜率分别为 k1 , k2 . (1)若 m ? 0 时,求 k1k 2 的值;
2.已知椭圆 C : (2)若 k1k2 ? ?1时,证明:直线 l : y ? kx ? m 过定点. A

y M O B

P

x Q

l:x=4

3.已知椭圆 C :

3? x2 y 2 ? 它的左焦点为 F ? ?c ,0? , 直线 l1 : y ? x ? c 与椭圆 C 交 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 经过点 ? 1 , ? , 2 2? a b ?

于 A , B 两点, △ ABF 的周长为 a 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 P 是直线 l2 : y ? x ? 3c 上的一个动点,过点 P 作椭圆 C 的两条切线 PM 、 PN , M ,N 分别为切 点,求证:直线 MN 过定点,并求出此定点坐标.(注:经过椭圆 C : 的椭圆的切线方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 上一点 ? x0 ,y0 ? a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1 ). a2 b

5

4.已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )过点 P(?2 , 。过点 P 作两条互相垂直的直 1) ,且离心率为 2 a b 2

线分别交椭圆于 A 、 B 两点( A 、 B 与点 P 不重合) 。求证:直线 AB 过定点,并求该定点的坐标。

5.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,离心率 e ? (1)求椭圆 C 的方程;

1 2 2 ,且其中一个焦点与抛物线 y ? x 的焦点重合. 4 2

(2)过点 S ? ? , 0 ? 的动直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点 T , 使得无论 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过点 T ?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.

? 1 ? 3

? ?

6

6.已知 F1 、 F2 分别为椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、下焦点,其中 F1 也是抛物线 C2 : x 2 ? 4 y 的焦点, a 2 b2

点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 | MF1 |? (1)求椭圆 C1 的方程.

5 . 3

(2)已知点 P(1,3) 和圆 O : x 2 ? y 2 ? b2 ,过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A, B ,在线段 AB 上取 ??? ? ??? ? ???? ??? ? 一点 Q ,满足: AP ? ?? PB , AQ ? ? QB ,( ? ? 0 且 ? ? ?1 ).求证:点 Q 总在某定直线上.

7

圆锥曲线过定点问题答案:
一、小题自测答案: 1、(2,2) 2、相交 五、练习反馈答案: 1、设直线 AM : y ? k ( x ? 2)(k ? 0) ,易得直线 BM : y ? ? 圆 C: ( x ? 4) ? ( y ? 6k )( y ?
2

1 1 ( x ? 2) ,? P(4, 6k ), Q(4, ? ) 4k 2k
y A Q O x l

1 ) ? 0 ,整理得: 2k

( x ? 4) 2 ? y 2 ? (

1 ? 6k ) y ? 3 ? 0 2k

?( x ? 4)2 ? y 2 ? 3 ? 0 由? 得定点为 (4 ? 3,0) . ?y ? 0
2、解: (1)设 P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) P

k1k2 ?

y0 ? 2 ? y0 ? 2 y02 ? 2 1 ? ? ?? 2 x0 ? x0 x0 2

(2)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , k1 ? k2 ?

( y1 ? 2)( y2 ? 2) k 2 x1 x2 ? k (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? (m ? 2)2 ? ? ?1 x1 x2 x1 x2

? y ? kx ? m ? (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 4 ? 0 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 4
(k 2 ? 1) 2m 2 ? 4 ?4km ? k (m ? 2) 2 ? (m ? 2) 2 ? 0 ? 3m2 ? 2 2m ? 2 ? 0 2 2k ? 1 2k ? 1

所以 m ? ? 3、

2 2 ,直线 l : y ? kx ? m 过定点 (0, ? 或m ? 2 (舍) ) 3 3

(2)由题意得:错误!未找到引用源。,设错误!未找到引用源。, 则直线错误!未找到引用源。,直线错误!未找到引用源。, 又错误!未找到引用源。在上述两切线上,∴错误!未找到引用源。, ∴直线错误!未找到引用源。,

8

即:错误!未找到引用源。,由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。, ∴直线错误!未找到引用源。过定点,且定点坐标为错误!未找到引用源。.

4 1 c a 2 ? b2 2 4、 【解答】依题意,有 2 ? 2 ? 1 ,且 ? 。 ? a b a a 2 2 2 解得 a ? 6 , b ? 3 。 x2 y 2 ? ? 1。 ∴ 椭圆 C 的方程为 6 3 易知直线 AB 斜率存在,设 AB 方程为 y ? kx ? m 。

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 ,得 ? ? 1 ? 3 ? 6 2 2 (2k ? 1) x ? 4mkx ? 2m2 ? 6 ? 0 ……… ① 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,
4mk 2m 2 ? 6 x x ? , 。 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 uu r uur 由 PA ? PB 知, PA ? PB ? 0 。 ∴ ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? ( y1 ?1)( y2 ?1) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? (kx1 ? m ?1)(kx2 ? m ?1) ? 0 ,
则 x1 ? x2 ? ? 即 (k 2 ? 1) x1x2 ? (km ? k ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 ? 2m ? 5 ? 0 。 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴

2m 2 ? 6 4mk ? (km ? k ? 2) ? (? 2 ) ? m2 ? 2m ? 5 ? 0 。 2 2k ? 1 2k ? 1 2 2 3m ? 8mk ? 4k ? 2m ? 1 ? 0 。 (3m ? 2k ? 1)(m ? 2k ? 1) ? 0 。由直线 AB 不过点 P(?2 , 1) ,知 m ? 2k ? 1 ? 0 。 2 1 2 1 3m ? 2k ? 1 ? 0 , m ? k ? ,直线 AB 方程化为 y ? kx ? k ? 。 3 3 3 3 2 1 ? )。 直线 AB 过定点 D ( ? , 3 3 (k 2 ? 1) ?

x2 y 2 2 c 2 5、解: (1)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率 e ? ,—1 分 , ? b a 2 a 2
又抛物线 y ?

1 2 x 的焦点为 ? 0,1? ,所以 c ? 1, a ? 2, b ? 1 , 4

——2 分

? 椭圆 C 的方程是 x 2 ?

y2 ? 1. 2
2 2

——3 分

(2)若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x ? y ? 1,若直线 l 垂直于 x 轴,

1? 16 ? 则以 AB 为直径的圆是 ? x ? ? ? y 2 ? . 3? 9 ?
? x 2 ? y 2 ? 1, ? x ? 1, ? 2 由 ?? 即两圆相切于点 ?1,0 ? . 1? 16 解得 ? 2 ? y ? 0. ?? x ? ? ? y ? , 3? 9 ??

2

——4 分

— —5 分

9

因此所求的点 T 如果存在,只能是 ?1,0 ? . 当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线 l : y ? k ? x ? ? .

——6 分

[来源:Z§xx§k.Com]

? ?

1? 3?

——7 分

? 1? ? y ? k ? x ? ?, ? 2 2 1 2 3? ? ? 2 2 由? 消去 y 得 ? k ? 2 ? x ? k x ? k ? 2 ? 0 . ——8 分 2 3 9 ? x 2 ? y ? 1, ? ? 2
2 ? ? k2 ? x ?x ? 3 , ? ? 1 2 k2 ? 2 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 ? 1 2 ? k ?2 ?xx ? 9 . 1 2 ? k2 ? 2 ? ??? ??? 又因为 TA ? ? x1 ?1, y1 ? , TB ? ? x2 ?1, y2 ? ,

——9 分

??? ??? ?TA ? TB ? ? x1 ?1?? x2 ?1? ? y1 y2
1 ?1 ? ? ? k 2 ? 1? x1 x2 ? ? k 2 ? 1? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? 1 9 ?3 ? 1 2 2 k ?2 ? k2 1 1 ? ? ? ? k 2 ? 1? ? 9 2 ? ? k 2 ? 1? ? 23 ? k 2 ? 1 k ?2 ?3 ? k ?2 9
? 0,
? TA ? TB ,即以 AB 为直 径的圆恒过点 T ?1,0? .
故在坐标平面上存 在一个定点 T ?1,0? 满足条件. 6、解:方法 1:由 C2 : x 2 ? 4 y 知 F1 (0,1) ,设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) , 因 M 在抛物线 C2 上,故 x0 2 ? 4 y0 …① 又 | MF1 |?

——10 分

——11 分

——12 分

2 6 2 5 5 ,则 y0 ? 1 ? ……②, 由①②解得 x0 ? ? , y0 ? 3 3 3 3

椭圆 C1 的两个焦点 F1 (0,1) , F2 (0, ?1) ,点 M 椭圆上, 由椭圆定义 2a ?| MF1 | ? | MF2 |? (?

2 6 2 2 6 2 ? 0)2 ? ( ? 1)2 ? (? ? 0)2 ? ( ? 1) 2 ? 4 3 3 3 3
y2 x2 ? ? 1. 4 3

∴ a ? 2 ,又 c ? 1 ,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , ∴椭圆 C1 的方程为

方法 2:由 C2 : x 2 ? 4 y 知 F1 (0,1) ,设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) ,因 M 在抛物线 C2 上,故 x0 2 ? 4 y0 …①

10

又 | MF1 |?

2 6 2 5 5 ,则 y0 ? 1 ? ……②, 由①②解得 x0 ? ? , y0 ? . 3 3 3 3

2 2 6 2 ( )2 ( ) 4 8 而点 M 椭圆上,故有 32 ? 32 ? 1 即 2 ? 2 ? 1 …③, 又 c ? 1 ,则 b2 ? a 2 ? 1 …④ a b 9a 3b
由③④可解得 a 2 ? 4 , b2 ? 3 ,∴椭圆 C1 的方程为 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , Q ( x, y ) ,

y2 x2 ? ?1 4 3

??? ? ??? ? ? ? x1 ? ? x2 ? 1 ? ?......⑤ 由 AP ? ?? PB 可得: (1 ? x1 ,3 ? y1 ) ? ?? ( x2 ? 1, y2 ? 3) ,即 ? ? ? y1 ? ? y2 ? 3(1 ? ? )......⑥

???? ??? ? ? ? x1 ? ? x2 ? (1 ? ? ) x......⑦ 由 AQ ? ? QB 可得: ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ? ( x2 ? x, y2 ? y) ,即 ? ? ? y1 ? ? y2 ? (1 ? ? ) y......⑧
⑤ ? ⑦得: x12 ? ? 2 x22 ? (1 ? ? 2 ) x ⑥ ? ⑧得: y12 ? ? 2 y22 ? 3 y(1 ? ? 2 ) 两式相加得 ( x12 ? y12 ) ? ? 2 ( x22 ? y22 ) ? (1 ? ? 2 )( x ? 3 y) 又点 A, B 在圆

x2 ? y 2 ? 3 上,且 ? ? ?1 ,所以 x12 ? y12 ? 3 , x22 ? y22 ? 3 即 x ? 3 y ? 3 , ∴点 Q 总在定直线 x ? 3 y ? 3 上.

11


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高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全).doc

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答...若过 定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由....【云南省玉溪第一中学 2018 届高三上学期第三次月...

2017届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中地定点定值....doc

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圆锥曲线中有关过定点及定值问题教学反思.doc

圆锥曲线中有关过定点及定值问题教学反思解析几何...例 3: (江苏省苏北四市 2011 届高三第一次调研)...2014届高三数学二轮复习... 5页 1下载券 喜欢...

高考圆锥曲线之动弦过定点的问题.doc

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圆锥曲线第二天动弦过定点的问题.doc

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圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型_图文.doc

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圆锥曲线中圆过定点问题(共14张PPT)_图文.ppt

圆锥曲线中圆过定点问题 老师姓名: 1 圆过定点解题思路 圆过定点解题思路的应用

高三数学解答题难题突破圆锥曲线中直线过定点问题探究.doc

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例说圆锥曲线中证明(求)直线过定点的问题.doc

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高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)..doc

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高考数学专题42巧解圆锥曲线中的定点和定值问题黄金解....doc

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圆锥曲线中动直线过定点问题(共14页) - 图文 - 百度文库.ppt

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2013届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练17 与圆锥....doc

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高考必备圆锥曲线中恒过定点的研究.doc

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