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等比数列求和公式

时间:2018-06-28


等比数列:是一种特殊数列。它的特点是:从第 2 项起,每一项与前一项的比都是一个常数。 等比数列

例如数列



这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于 2,2198 与 2197 的比也等于 2。如 2 这样后一项与前一项的比称公比,符号为 q。

公比公式
根据等比数列的定义可得:

[编辑]通项公式

可以任意定义一个等比数列 ,公比为 q,则有:

这个等比数列从第一项起分别是 a2 = a1q, a 3 = a 2q = a 1q 2, a 4 = a 3q = a 1q 3, ,

以此类推可得,等比数列 a n = a n ? 1q = a 1q n ? 1, [编辑]求和公式

的通项公式为:

对上所定义的等比数列,即数列 于是把

。将所有项累加。 称为等比数列的和。记为:

如果该等比数列的公比为 q,则有:

(利用等比数列通项公式) (1)
先将两边同乘以公比 q,有:

该式减去(1)式,有: (q ? 1)Sn = a1qn ? a1 (2) 然后进行一定的讨论



时,

而当 q = 1 时,由(2)式无法解得通项公式。 但可以发现,此时:

= na1

综上所述,等比数列

的求和公式为:

经过推导,可以得到另一个求和公式:当 q≠1 时

[编辑]当

时,等比数列无限项之和 等比数列无限项之和
及 n 的值不断增加时,qn 的值便会不

由于当

断减少而且趋于 0,因此无限项之和:

性质

如果数列

是等比数列,那么有以下几个性质:













对于

,若

,则

证明:

∵ ∴

等比中项:在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等 比中项。 即等比数列 中有三项 , , , 其中 ,

则有

在原等比数列中,每隔 k 项 列仍为等比数列。

取出一项,按原来顺序排列,所得的新数

也成等比数列。


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