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江西省乐安县第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

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2015-2016 学年度乐安一中高二下学期期中试卷数学(理科)
一、选择题 1.复数 A. (i 是虚数单位)的虚部是( ) B.
2

C.3

D.1

2.如果函数 f(x)=2x ﹣4(1﹣a)x+1 在区间[3,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣2] B.[﹣2,+∞) C. (﹣∞,4] D.[4,+∞) 3. .4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选法共有( ) A.12 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种

1 1? ? 4.已知在 ? x ? ? 的展开式中,奇数项系数和为 32,则含 2 项的系数是( x x? ?
A.-2 B.20 C.-15 D.15

n



5. 某人射击一次击中目标的概率为 0. 6, 经过 3 次射击, 设 X 表示击中目标的次数, 则 P( X ≥ 2) 等于 ( A.
81 125



B.

54 125

C.

36 125

D.

27 125

6.用数学归纳法证明某命题时,左式为

1 ? cos ? ? cos 3? ? ??? ? cos(2n ? 1)? 2

(? ? kπ, k ? Z , n ? N? ) 在验证 n ? 1 时,左边所得的代数式为( )
1 2 1 C. ? cos ? ? cos 3? 2
A.
5

B.

1 ? cos ? 2 1 D. ? cos ? ? cos 3? ? cos 5? 2

2 5 7.设 ? 2 ? x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a5 x ,那么

a0 ? a2 ? a4 的值为( ) a1 ? a 3
244 241
D. ?1

A. ?

122 121
2

B. ?

61 60

C. ?

x2 y 2 5 8.已知抛物线 y ? ?4 2 x 的焦点到双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线的距离为 , 则该双 a b 5
曲线的离心率为( A. ) B. 2 C.

5 2

10 3

D. 5 ? 1

9.从数字 1,2,3,4,5,6,7 中任取 3 个奇数,2 个偶数,组成一个无重复数字且两个偶数数字不相邻 的五位数,则满足条件的数共有 A.864 个 B.432 个 C.288 个 D.144 个 10. 将三颗骰子各掷一次, 记事件 A= “三个点数都不同” , B= “至少出现一个6点” , 则条件概率 P A B ,

?

?

P ? B A ? 分别是(



1

A.

60 1 , 91 2

B.

1 60 , 2 91

C.

5 60 , 18 91

D.

91 1 , 216 2

?x ? y ? 7 ? 0 ? 11.已知圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? 1 ,平面区域 ? : ? x ? y ? 3 ? 0 .若圆心 C ? ? ,且圆 C 与 x 轴相 ? y?0 ?
2 2
2 2 切,则 a ? b 的最大值为(

) C. 29 D. 5 )

A. 49 12.已知 f ? x ? ?

B. 37

ln x ? ln x, f ? x ? 在 x ? x0 处 取得最大值,以上各式中正确的序号是( x ?1 1 1 ① f ? x0 ? ? x0 ② f ? x0 ? ? x0 ③ f ? x0 ? ? x0 ④ f ? x0 ? ? ⑤ f ? x0 ? ? 2 2

A.①④ B.②④ C.②⑤ D.③⑤ 二、填空题 13.有 5 名数学实习老师,现将他们分配到高二年级的三个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的 分配方案有 种(用数字作答) . 2 14. f(x)=x(x﹣c) 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为 . 15.若 ( x 2 ?

1 9 21 ) (a ? R) 的展开式中 x 9 项的系数为 ? ,则函数 f ( x) ? sin x 与直线 x ? a 、 x ? ?a 及 ax 2


x 轴围成的封闭图形的面积为 16.已知 cos

?

3 2? 1 cos cos ? 5 5 4 ? 2? 3? 1 cos cos cos ? 7 7 7 8

?

?

1 2

根据以上等式,可猜想出的一般结论是____. 三、解答题 17.(10 分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出 现音乐; 每盘游戏击鼓三次后, 出现一次音乐获得 10 分, 出现两次音乐获得 20 分, 出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 分) .设每次击鼓出 现音乐的概率为 音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列. (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?

1 ,且各次击鼓出现 2

18(12 分) .已知在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a,b,c. (I)若 sin(A+ )= cosA,求 A 的值;

(Ⅱ)若 cosA= ,b=3c,求 sinC 的值.

2

19(12 分) .设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N .设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和,已知 b1≠0, * 2bn–b1=S1?Sn,n∈N . (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? bn ? lon3 an ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn;

*

20 . ( 12 分)如图 , 四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形 , 且 AB ? 1 , BC ? 2 ,

?ABC ? 600 , E 为 BC 的中点, AA1 ? 平面 ABCD .

(Ⅰ)证明:平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ; (Ⅱ)若 DE ? A1 E ,试求二面角 E ? AC 1 ? D 的余弦值.

21. (本小 题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 单调区间;

1 2 1 x ? a ln x ? (a ? R ) 2 12

(Ⅱ)若 a ? ?1 ,求证:当 x ? 1 时, f ( x) ?

2 3 x . 3

22.已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,离心率等于

,且过点(1,

) .

3

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过椭圆 C 的右 焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于 M 点,若 证:λ 1+λ 2 为定值. =λ
1





2

,求

4

答题卡(理科) 一选择题(60 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二 填空题

13.

14

15 三 解答题 17(10 分)

16

18

5

19

20

6

21

22

7

参考答案理科 1.B 2.B 3. B 4.D 5.A 6.B 7.B 8. C 13. 90 15. 2 ? 2 cos 2 14 .6 16. cos

9. D 10.A 11.B

12.B

?
2n ? 1
1 2

cos

2? 3? n? 1 cos ? cos ? n 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2
3 , 8

17 试题解析: (1)X 可能的取值为 10,20,100,-200.
1 1 2 根据题意,有 P(X=10)= C3 ? ( ) ? (1 ? ) ?

1 2

1 1 3 , 2 2 8 1 3 1 0 1 3 P(X=100)= C3 ? ( ) ? (1 ? ) ? , 2 2 8
2 2 1 P(X=20)= C3 ? ( ) ? (1 ? ) ?

. 所以 X 的分布列为: X P 10 20 100 -200

3 8

3 8

1 8

1 8 3 3 1 1 5 +20× +100× -200× =- 8 8 8 8 4 1 . 8

X 的数学期望为 EX=10×

(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3) ,则 P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=P(X=-200)= 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为

1 511 ?1? 1-P(A1A2A3)= 1 ? ? ? ? 1 ? . ? 512 512 ?8?
因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 18.解: (I)∵sin(A+ ∴ sinA+ cosA= )= cosA, ,

3

511 . 512

cosA,解得:tanA= .

∴由 A∈(0,π ) ,可得:A= (Ⅱ)∵cosA= ,b=3c, ∴a =b +c ﹣2bccosA=8c , ∴a= c,而 sinA=
2 2 2 2

=



由正弦定理得: ∴sinC= .



19(Ⅰ)∵an+1=3an, ∴{an}是公比为 3,首项 a1=1 的等比数列, n–1 ∴通项公式为 an=3 . ∵2bn–b1=S1?Sn, ∴当 n=1 时,2b1–b1=S1?S1, ∵S1=b1,b1≠0,∴b1=1. ∴当 n>1 时,bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1,∴bn=2bn–1, ∴{bn}是公比为 2,首项 a1=1 的等比数列, n–1 ∴通项公式为 bn=2 . n–1 n–1 n–1 (Ⅱ)cn=bn?log3an=2 log33 =(n–1)2 , 0 1 2 n–2 n–1 Tn=0?2 +1?2 +2?2 +?+(n–2)2 +(n–1)2 ??① 1 2 3 n–1 n 2Tn= 0?2 +1?2 +2?2 +??+(n–2)2 +(n–1) 2 ??② 0 1 2 3 n–1 n ①–②得:–Tn=0?2 +2 +2 +2 +??+2 –(n–1)2 n n n =2 –2–(n–1)2 =–2–(n–2)2 n ∴Tn=(n–2)2 +2. .20. (Ⅰ)依题意 BE ? EC ?

1 BC ? AB ? CD, ∴ ?ABE 是正三角形, ?AEB ? 60? , 2

? ?CED ? ?CDE ?

1 ?180? ? ?ECD ? ? 30?, 2 ??AED ? 180? ? ?CED ? ?AEB ? 90?? DE ? AE

∵ AA1 ⊥平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,? DE ? AA1,

? AA1 ? AE ? A, ?DE ? 平面 A1AE,
? DE ? 平面 A1DE ,∴平面 A1AE ? 平面 A1DE .
(Ⅱ)连接 AC ,由题可知 AC ? CD ,又 DE ? A1E ,故 AA 1 ? 2 故 以 C 为 原 点 , CD, CA, CC1 分 别 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 C ? 0,0,0? ,
? ? 1 3 ? ? 1 3 ? ? ? , , 0 , A1 0, 3, 2 ,故 CE ? ? ? , D ?1,0,0? , E ? ? ? 2 2 ? ? 2 2 ,0? ? , CA1 ? 0, 3, 2 ? ? ? ?

?

?

?

?

? 1 3 y1 ? 0 ?? x1 ? 设面 EA1C 的一个法向量 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,则 ? 2 ,令 x1 ? 3 ,则 y1 ? 1 , 2 ? 3y ? 2z ? 0 ? 1 1
?

z1 ? ?

? ? 6? 6 ,? n1 ? ? 3,1, ? ? ? 2 ? 2 ? ?

同理可求出面 DA1C 的一个法向量 n2 ? 0, ? 2, 3 故 cos n1 , n2 ?
? ?

?

?

?

n1? n2 n1 ? n2
? ?

?

?

?

5 55 ,而由图可知二面角 E ? AC ? 1 ? D 为钝角,所以二 11 55
55 . 11

面角 E ? AC 1 ? D 的余弦值为 ?

考点:线面垂直,面面垂直,二面角. 21 试题解析: (1) f ( x ) 的定义域为 x ? 0

f ?( x) ? x ?

a x ? a2 a x2 ? a ? ( x ? 0) ? f '( x) ? x ? ? x x x x

若 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,即 f ( x ) 的单调区间为 (0, ??) 若 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

a

即 f ( x ) 的单调区间为 ( a , ??) ,减区间为 (0, a ) (2)证明: 设 F ( x) ? 则 F ?( x) ? 2 x ? x ?
2

2 3 1 1 x ? ( x 2 ? ln x ? ) 3 2 12

1 ( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) ? x x
1 ?0 12

∴ F ( x ) 在 (1, ??) 上为增函数,且 F (1) ? 即 F ( x) ? 0 在 (1, ??) 上恒成立 ∴当 x ? 1 ,

1 2 1 2 x ? ln x ? ? x3 2 12 3
=1(a>b>0) ,

22 解: (Ⅰ)∵椭圆 C 的焦点在 x 轴上,∴设椭圆 C 的方程为

∵离心率等于

,且过点(1,

) ,



,解得



∴椭圆 C 的标准方程为



证明: (Ⅱ)设点 A,B,M 的坐标分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(0,y0 ) , 又由题意知 F 点的坐标为 F(2,0) ,直线 l 存在斜率,设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程是 y=k(x﹣2) ,

联立

,消去 y 并整理得(1+5k )x ﹣20k x+20k ﹣5=0,

2

2

2

2







又∵



=



将各点坐标代入得







=

=

=﹣10.


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