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高中数学二轮复习二倍角的三角函数教案含答案(全国通用)

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第 24 课 [最新考纲] 内容 二倍角的三角函数 要求 A B √ C 二倍角的正弦、余弦及正切 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α; (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)tan 2α= 2tan α . 1-tan2α 2.二倍角公式的变形及逆用 (1)公式 C2α 的变形: 1 ①sin2α=2(1-cos 2α); 1 ②cos2α=2(1+cos 2α). (2)公式的逆用: ①1± sin 2α=(sin α± cos α)2; ? π? ?. ②sin α± cos α= 2sin?α± ? 4? 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对?α∈R,sin 2α=2sin α 均不成立.( π π π 2 (2)sin28-cos28=cos 4= 2 .( (3)sin α+cos α= 1+sin 2α.( ) ) ) α (4)等式 1+cos α=2sin22对?α∈R 均成立.( [答案] (1)× ) (2)× (3)× (4)× 3 2.下列各式中值为 2 的是________.(填序号) ①2sin 15° cos 15° ;②cos215° -sin215° ;③2sin215° -1;④sin215° +cos215° . ② 1 3 [2sin 15° cos 15° =sin 30° =2,cos215° -sin215° =cos 30° = 2 ,2sin215° 3 -1=-cos 30° =- 2 , sin215° +cos215° =1.] π? 2 5 ? 3.若 sin α= 5 ,α∈?0,2?,则 tan 2α=________. ? ? - 4 3 π? 2 5 ? [∵α∈?0,2?,sin α= 5 , ? ? 5 ∴cos α= 1-sin2α= 5 , ∴tan α=2, ∴tan 2α= 2tan α 4 4 =-3.] 2 = 1-tan α 1-4 sin 2α =________. 1+cos 2α 4.(2017· 南京模拟)若 tan α= 3,则 3 sin 2α 2sin αcos α [ = 2cos2α =tan α= 3.] 1+cos 2α 5.(教材改编)函数 f(x)= 3sin x+cos x 的最小值为________. -2 ? π? [函数 f(x)=2sin?x+6?的最小值是-2.] ? ? 应用倍角公式求值 1 ?π ? ?π ? ?π π? (2017· 无锡模拟)已知 cos?6+α?cos?3-α?=-4,α∈?3,2?. ? ? ? ? ? ? (1)求 sin 2α 的值; 1 (2)求 tan α-tan α的值. ?π ? ?π ? [解] (1)cos?6+α?· cos?3-α? ? ? ? ? ?π ? ?π ? =cos?6+α?· sin?6+α? ? ? ? ? π? 1 ? 1 =2sin?2α+3?=-4, ? ? π? 1 ? 即 sin?2α+3?=-2. ? ? ?π π? ∵α∈?3,2?, ? ? 4π? π ? ∴2α+3∈?π, 3 ?, ? ? π? 3 ? ∴cos?2α+3?=- 2 , ? ? π? π? ?? 2α+3?- ? ∴sin 2α=sin?? ? 3? ?? π? π π? π 1 ? ? =sin?2α+3?cos3-cos?2α+3?· sin 3=2. ? ? ? ? ?π π? ?2π ? (2)∵α∈?3,2?,∴2α∈? 3 ,π?. ? ? ? ? 1 3 又由(1)知 sin 2α=2,∴cos 2α=- 2 . 3 -2 1 sin α cos α sin α-cos α -2cos 2α ∴tan α-tan α=cos α- sin α = sin αcos α = sin 2α =-2× 1 =2 3. 2 2 2 [规律方法] 给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值, ?π ? ?π ? 解题关键在于“变角”, 使其角相同或具有某种关系. 如本题中?6+α?+?3-α?= ? ? ? ? π 2,从而先利用诱导公式变换函数名,进而逆用二倍角公式求值. [变式训练 1] π? 5 ? (2017· 南京、盐城二模)已知 α 为锐角,cos?α+4?= 5 . ? ? π? ? (1)求 tan?α+4?的值; ? ? π? ? (2)求 sin?2α+3?的值. 【导学号:62172133】 ? ? π? π ?π 3π? ? [解] (1)因为 α∈?0,2?,所以 α+4∈?4, 4 ?, ? ? ? ? π? ? 所以 sin?α+4?= ? ? π? 2 5 ? 1-cos2?α+4?= 5 , ? ? π? ? ?α+4? sin π? ? ? ? 所以 tan?α+4?= =2. π ? ? ? ? α + ? ? cos 4? ? π? π?? π? ? π? 4 ? ? ? ? (2)因为 sin?2α+2?=sin?2?α+4??=2sin?α+4?cos?α+4?=5, ? ? ? ? ?? ? ? ? ? π? π?? π? 3 ? ? ? ? cos?2α+2?=cos?2?α+4??=2cos2?α+4?-1=-5, ? ? ? ? ?? ? ? π? π? π? π? π? π π ?? ? ? 2α+2?- ? = sin ? 2α+2? cos - cos ?2α+2? sin = ? 所 以 sin ?2α+3? = sin ?? ? 6? 6 6 ? ? ? ? ? ? ?? 4 3+3 10 . 应用倍角公式化简 (1)化简: sin 2α-2cos2α π? =_______

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