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广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考 数学文

时间:2013-09-24


广州市 2014 届高三 9 月执信、广雅、六中三校联考 数学(文)试题
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线 内。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。

第一部分 选择题(共 50 分)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知全集 U ? {0,1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {1, 2} , B ? {0,2,5} ,则集合 (CU A) ? B ? ( A. ?3,4,6?
2



B. ?3,5?

C. ?0,5?

D. ?0,2,4? ) D. 不存在 ) D. (??, ?2] ? [2, ??)

2. 如果复数 z ? ( a -3a ? 2) ? ( a- i 为纯虚数,则实数 a 的值 ( 1) A. 等于 1 B. 等于 2 C. 等于 1 或 2

3. ?x ? R, x 2 ? ax ? 1 ? 0 为假命题,则 a 的取值范围为( A. (?2, 2) B. [?2, 2]

C. (??, ?2) ? (2, ??)

4.对某商店一个月 30 天内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图 (如图所示) ,则该样本的中位数、众数、极差分别是( )

A.46,45,56 C.47,45,56

B.46,45,53 D.45,47,53
·1·

5.设 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是( ) A. m // ? , n // ? 且 ? // ? , 则 m // n C. m ? ? , n ? ? , m ? n, 则 ? ? ? B. m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n D. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则 ? // ?

6.如图,三棱柱的棱长为 2,底面是边长为 2 的正三角形, AA1 ? 面A1 B1C1 ,正视图是边长为 2 的正方 形,俯视图为正三角形,则左视图的面积为( ) A.4 B. 2 2 C. 2 3 D.2

7.若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ?
2

y2 ? 1 的离心率是( m
C.



A.

3 2

B. 5

3 或 5 2

D.

3 5 或 2 2

8.函数 y ?

ln x 的图像大致是( x

)

?x ? y ?1 ? 0 ? 9.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示平面区域的面积等于 2, ?ax ? y ? 1 ? 0 ?
则 a 的值为( A. -5 ) B. 1 C. 2
·2·

D. 3

? x 2 ? 1????????????? x ? 0 ? 10.已知函数 f ( x) ? ? 在点(1,2)处的切线与 f ( x) 的图像有三个公共点,则 2 ? ? x ? 4 x ? a??? x ? 0 ?

a 的取值范围是(
A. [?8, ?4 ? 2 5)

) B. (?4 ? 2 5, ?4 ? 2 5) C. (?4 ? 2 5,?8] D. (?4 ? 2 5,?? 8]

第二部分 非选择题(100 分)
二、填空题:本题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 (一)必做题(11~13 题) 11.已知向量 a ? ( 3,1), b ? (0,1), c ? ( k , 3), 若a ? 2b与c垂直, 则k ? 12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边为 a, b, c ,若 a ? 3, b ?

?

?

?

?

? ?

. .

2, B ? 45? ,则角 A =

13.数列 {an } 满足 a1 ? 3, an ? an an ?1 ? 1, An 表示 {an } 前 n 项之积,则 A2013 =_____________. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分) 14. (几何证明选讲选做题) 如图所示, 已知 ?D ? 46? , DB, DC 是⊙ O 的两条切线,A 是圆上一点,

则 ?A =

.

15. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 6 cos ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为

??

?
4

( ? ? R ) , 曲 线 C1 、 曲 线 C 2 的 交 点 为 A、B , 则 弦 AB 长 为

.

·3·

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
[]

16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( 3, cos ? x), b ? (sin ? x,1) (? ? 0) ,函数 f ( x) ? a ? b ,且最小正周期为 4? . a· b (1)求 ? 的值; (2)设 ? , ? ? ? ? , ? ? , f (2? ? ? ) ? 6 , f (2 ? ? 2? ) ? ? 24 ,求 sin(? ? ? ) 的值. ?2 ? 3 13 3 5 ? ? 17.(本小题满分 12 分) 某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者。现从符合条件的志愿者中随 机抽取 100 名按年龄分组: 1 组 ? 20, 25 ? , 2 组 ? 25,30 ? , 3 组 ?30,35 ? , 4 组 ?35, 40 ? , 第 第 第 第 第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,应从第 3,4, 5 组各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率. 18.(本小题满分 14 分)如图,在多面体 ABCDFE 中,四边形 ABCD 是矩形, AB ∥ EF ,

?

?

? ? ? ?

AB ? 2 EF,?EAB ? 90 ? ,平面 ABFE ? 平面ABCD .

(1)若 G 点是 DC 中点,求证: FG // 面AED . (2)求证: 面DAF ? 面BAF . (3)若 AE ? AD ? 1, AB ? 2, 求 三棱锥D ? AFC的体积 . 19.(本小题满分 14 分) 设

?a n ?

是 正 数 组 成 的 数 列 , a1 ? 3 . 若 点
·4·

?a , a
n

2 n ?1

? 2an ?1 ? (n ? N * ) 在 函 数

f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 2 的导函数 y ? f ?( x) 图像上. 3

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)设 bn ?

2 ,是否存在最小的正数 M ,使得对任意 n ? N * 都有 b1 ? b2 ? ? ? bn ? M 成 an ?1 ? an
已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x, a ? R

立?请说明理由. 20.(本小题满分 14 分)

(1)若 a ? 0 时,求函数 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x) 在 ?1,2? 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (3)令 g ( x) ? f ( x) ? x , 是否存在实数 a ,当 x ? (0, e](e 是自然对数的底)时,函数 g ( x) 的
2

最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。 21.(本小题满分 14 分)

x2 2 2 已知椭圆 C 方程为 2 ? y ? 1 ,过右焦点斜率为 1 的直线到原点的距离为 . a 2

(1)求椭圆方程. (2)已知 A, B 为椭圆的左右两个顶点, T 为椭圆在第一象限内的一点, l 为过点 B 且 垂直 x 轴的直线,点 S 为直线 AT 与直线 l 的交点,点 M 为以 SB 为直径的圆与直 线 TB 的一个交点,求证: S , O, M 三点共线.

·5·

2014 届高三 9 月联考·文科数学答案

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.

17. (本小题满分 12 分) 解:(1) 第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数为 0.1× 100=10. …………3 分

因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组 抽取的人数分别为:第 3 组:
30 20 10 ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1. 60 60 60

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人.
·6·

…………6 分

(2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1. 则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1), 共 有 9 种, 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 …………10 分 …………8 分

9 3 = . 15 5

…………12 分

19.(本小题满分 14 分) 解: (1) f ?( x) ? x ? 2 x
2

…………1 分
·7·

由点 an , an ?12 ? 2an ?1 (n ? N * ) 在 y ? f ?( x) 图像上,得 a 2 n ?1 ? 2a n ?1 ? a 2 n ? 2a n ……2 分 整理得: (a n ?1 ? a n )(a n ?1 ? a n ) ? 2(a n ?1 ? a n ) ∵ a n ? 0 ,∴ a n ?1 ? a n ? 2 ∴ ?a n ? 是首项为 a1 =3,公差为 2 的等差数列. ∴ a n ? 2n ? 1 (2) bn ? …………6 分 …………4 分 …………5 分

?

?

2 2 1 1 ? ? ? a n ?1 ? a n (2n ? 3)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 3
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 = ? ? 3 2n ? 3 3 1 ∴存在最小的正数 M ? ,使得不等式成立. 3

…………9 分

∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ?

…………10 分 …………12 分 …………14 分

∴M ?

1 3

·8·

1 1 ? e 时,即 a ? , g ?( x) ? 0 在 ?0, e? 上恒成立,∴ g (x) 在 ?0, e? 上单调递减 a e 4 ∴ g ( x) min ? g (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (舍去) …………11 分 e 1 1 1 1 ①当 0 ? ? e 时,即 a ? ,令 g ?( x) ? 0 , 0 ? x ? , g ?( x) ? 0 , ? x ? e a e a a
当 ∴ g (x) 在 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? 上单调递减,在 ? , e? 上单调递增 a? ?a ?
1 a
…………13 分

∴ g ( x) min ? g ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 满足条件

综上所述,存在实数 a ? e 2 ,使 g ( x) ? ax ? ln x 在 x ? ?0, e? 上的最小值是 3 …………14 分

·9·

又? S点的横坐标为 2

∴ S点的坐标为( 2, 2k) …………11 分 2

? SO ? ? 2, 2 2k) ( ? …………11 分

8k 2 ? 8k 2 ? SO ? BT ? ? 0 …………13 分 1 ? 2k 2
…………14 分

即 BT ? SO,又 ? BT ? SM ∴ S , O, M 三点共线

·10·


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