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银川一中2014届高三第五次月考文科数学试卷

时间:2014-01-04


宁夏银川一中 2014 届高三年级第五次月考
数 学 试 卷(文) 第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 设集合 A={0,1},B={-1,0,a+3},且 A ? B,则 a=( A.1 B.0 C.-2 ) D.2 ) D.-3

2. 设复数 Z 满足( 3 ? i ) ? Z ? 2i ,则|Z|=( A. 2 B. 3 C.1

3.设 ? , ? 为两个不同平面,m、 n 为两条不同的直线,且 m ? ? , n ? ? , 有两个命题: P:若 m∥n,则 ? ∥β;q:若 m⊥β, 则 α⊥β. 那么( A.“p 或 q”是假命题 C.“非 p 或 q”是假命题 )

B.“p 且 q”是真命题 D.“非 p 且 q”是真命题

4. 在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (1,2), a ? A.-2 B.-4 C.-3

1 b ? (3,1), c ? ( x,3), 若 (2a ? b) // c ,则 x=( 2
D.-1 )

)

5.在等差数列{an}中,a9= A.24

1 a12+6,则数列{an}的前 11 项和 S11=( 2
C.66 D.132

B.48

6.在⊿ABC 中,三边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若 a2+b2= 2 ab+c2,则角 C 为( A.30°



B.45° C.150° D.135° π π π 7. 若将函数 y=tan?ωx+4?(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后, 与函数 y=tan?ωx+6?的图象重合, ? ? ? ? 6 则 ω 的最小值为( A. 1 6 ) B. 1 4 1 C. 3 1 D. 2 ) D.{x|x<-2 或 x>2}
1 1 1

8.设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x>0),则不等式 f(x-2)>0 的解集为( A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6}
1

9.如图是一个几何体的三视图,正视图和侧视图 均为矩形,俯视图中曲线部分为半圆,尺寸如 图,则该几何体的全面积为( A.2+3 ? ? 4 2 C.8+5 ? ? 2 3 )

2

B.2+2 ? ? 4 2 D.6+3 ? ? 2 3
·1·

正视图

侧视图

俯视图

10. 若关于直线 m,n 与平面 α,β,有下列四个命题: ①若 m∥α,n∥β,且 α∥β,则 m∥n; ②若 m⊥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m⊥n; ③若 m⊥α,n∥β,且 α∥β,则 m⊥n; ④若 m∥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m∥n; 其中真命题的序号( A.①② ) B.③④ C.②③ D.①④

11.三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,AC=BC=1,PA= 3 ,则该三棱锥外接球的表面 积为( A.5 ? ) B. 2? C.20 ? D.4 ? )

12.设方程 lnx=-x 与方程 ex=-x(其中 e 是自然对数的底数)的所有根之和为 m,则( A.m<0 B. m=0 C.0<m<1 D.m>1

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.与直线 x+ 3 y-1=0 垂直的直线的倾斜角为________

?x ? 2 y ? 4 ? 14.已知关于 x, y 的二元一次不等式组 ? x ? y ? 1 ,则 3x-y 的最大值为__________ A ?x ? 2 ? 0 ?
15.如图,在三角形 ABC 中,AD⊥AB,

??? ? ??? ???? ? ???? ???? BC ? 3 BD,| AD |? 1, 则 AC ? AD ? ________.
16.数列{an}的通项为 an=(-1)n ?n ? sin

B

D

C

n? ? 1, 前 n 项和为 Sn, 则 S100=_________. 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分)
2 等比数列 ? an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 .

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? 18.(本小题满分 12 分) π 已知函数 f(x)=cos(2x+ )+sin2x 3

?1? ? 的前 n 项和. ? bn ?

(1)求函数 f(x)的单调递减区间及最小正周期;
·2·

1 (2)设锐角△ ABC 的三内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 c= 6,cosB=3, C 1 f( )=- ,求 b. 2 4 19.(本小题满分 12 分) 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC,点 D 是 AB 的中点 (1)求证:BC1∥平面 CA1D (2)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B (3)若底面 ABC 为边长为 2 的正三角形,BB1= 3 求三棱锥 B1-A1DC 的体积 20. (本小题 12 分) “地沟油”严重危害了人民群众的身体健康,某企业在政府部门的支持下,进行技术攻关,新上了 一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目, 经测算, 该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间 的函数关系可以近似的表示为: A D B C A1 B1 C1

?1 3 2 [ ? 3 x ? 80x ? 5 040x, x ? 120,144) ? y?? , 且每处理一吨“食品残渣”,可得到能利用的生物柴油价 1 2 ? x ? 200x ? 80 000, x ? 144,500) [ ?2 ?
值为 200 元,若该项目不获利,政府将补贴. (1)当 x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府 每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损. (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

ax ? a , g ( x) ? a ln x ? x ( a ? 0 ). x ?1
2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)求证:当 a ? 0 时,对于任意

x1 , x2 ? ? 0, e?

,总有

g ( x1 ) ? f ( x2 )

成立

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ,并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙ O 交直线 OB 于 E , D ,连 接 EC, CD . (1)求证:直线 AB 是⊙ O 的切线; E O D A C B

1 (2)若 tan ?CED ? , ⊙ O 的半径为 3,求 OA 的长. 2
·3·

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

1 ? ?x ? 2 t ? 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为 ? y ? 3 t ?1 ? ? 2
? x ? 2 ? cos ? ( ? 为参数) 。 ? ? y ? sin ?
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半 轴为极轴)中,点 P 的极坐标为 (4,

?
3

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求点 Q 到直线 l 的距离的最小值与最大值。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)解关于 x 的不等式 x ? x ? 1 ? 3 ; (2)若关于 x 的不等式 x ? x ? 1 ? a 有解,求实数 a 的取值范围.

宁夏银川一中 2014 届高三年级第五次月考

数学(文)参考答案
1—5.CCDDD, 6—10.BDBAC 13. 11.A 12.B

? , 14. 5 3

15. 3 ,

16. 150

2 2 2 17.解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q 2 ?

1 。 9

由条件可知 a>0,故 q ?

1 。 3 1 。 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a1q ? 1 ,所以 a1 ?

1 。 3n (Ⅱ ) bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ... ? log 3 an
故数列{an}的通项式为 an=

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) 2 1 2 1 1 故 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1 ??
1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
·4·

所以数列 {

1 2n } 的前 n 项和为 ? bn n ?1

π π π 1-cos2x 1 3 1 1 18【解析】(1)∵f(x)=cos(2x+ )+sin2x=cos2xcos -sin2xsin + = cos2x- sin2x+ - 3 3 3 2 2 2 2 2 cos2x=- 3 1 2π π π sin2x+ ,∴最小正周期 T= =π,令 2kπ- ≤2x≤2kπ+ (k∈Z), 2 2 2 2 2 π π π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z,∴f(x)的单调递减区间是[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 4 4 4 4 (2)由(1)f(x)=-

3 1 C 3 1 1 3 1 sin2x+ 得:f( )=- sinC+ =- ,∴sinC= ,又 cosB= ,∴sinB= 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 6× 3 8 12 2 2 b c c· sinB 1-( ) = ,∴ = ,即 b= = = 3 3 sinB sinC sinC 3 3 2 19.证明(1)连接 AC1 交 A1C 于点 E,连接 DE 因为四边形 AA1C1C 是矩形,则 E 为 AC1 的中点 又 D 是 AB 的中点,DE∥BC1, 又 DE ? 面 CA1D,BC1 ? 面 CA1D,BC1∥面 CA1 证明(2)AC=BC,D 是 AB 的中点,AB⊥CD, 又 AA1⊥面 ABC,CD ? 面 ABC,AA1⊥CD, AA1∩AB=A, CD⊥面 AA1B1B, CD ? 面 CA1D, 平面 CA1D⊥平面 AA1B1B 解: VB1 ? A1DC ? VC ? A1B1D ,则(2)知 CD⊥面 ABB1B, 所以高就是 CD= 3 ,BD=1,BB1= 3 , 所以 A1D=B1D=A1B1=2,

1 S ?A1B1D ? 3 , VC ? A1B1D ? ? 3 ? 3 ? 1 3

20.(1)当 x∈[200,300]时,设该项目获利为 S,则 1 1 1 S=200x-( x2-200x+80 000)=- x2+400x-80 000=- (x-400)2, 2 2 2 所以当 x∈[200,300]时,S<0.因此,该项目不会获利.当 x=300 时,S 取得最大值-5 000, 所以政府每月至少需要补贴 5 000 元才能使该项目不亏损.

?1 2 x ? 80x ? 5 040, x ? 120,144) [ y ?3 ? . (2)由题意可知,食品残渣的每吨平均处理成本为: ? ? 80000 x ?1 x? ? 200, x ? 144,500) [ ?2 ? x
y 1 1 ①当 x∈[120,144)时, = x2-80x+5 040= (x-120)2+240,∴当 x=120 时, x 3 3 y 取得最小值 240; x y 1 80 000 1 80 000 ②当 x∈[144,500)时, = x+ -200≥2 x· -200=200. x 2 x 2 x 1 80 000 y 当且仅当 x= ,即 x=400 时, 取得最小值 200.∵200<240, 2 x x ∴当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低

·5·

21. 解:(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 R , f ?( x) ?

a(1 ? x2 ) a(1 ? x)(1 ? x) ? . ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

当 a ? 0 时, 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(??, ?1) ?


?1
0

(?1,1)

1
0

?


(1, ??) ?


当 a ? 0 时, 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, ?1)

?1
0

(?1,1)
?


1
0

(1, ??)

?


?


f ( x)

综上所述, 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (??, ?1) , (1, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间为 (?1,1) . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 a ? 0 时,

f ( x) 在 (0, 1) 上单调递增, f ( x) ? f (0) ; f ( x) 在 (1, e] 上单调递减,且
所以 x ? (0, e] 时, f ( x) ? a .

f (e) ?

ae ?a ?a e ?1 .
2

a ?1 x ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? a . 因为 g ( x) ? a ln x ? x ,所以 ? ? ①当 0 ? a ? e 时,由 g ( x) > 0 ,得 0 ? x ? a ;由 g ( x) < 0 ,得 x ? a , g ?( x) ?
所以函数 g ( x) 在 (0, a) 上单调递增,在 (a, e] 上单调递减. 所以

g ( x)max ? g (a) ? a ln a ? a

.

因为 a ? (a ln a ? a) ? a(2 ? ln a) ? a(2 ? ln e) ? a ? 0 , 所以对于任意

x1 , x2 ? ? 0, e?

,总有

g ( x1 ) ? f ( x2 )

.

? ②当 a ? e 时, g ( x) ? 0 在 (0, e] 上恒成立,
所以函数 g ( x) 在 (0, e] 上单调递增, 所以对于任意

g ( x)max ? g (e) ? a ? e < a
.

x1 , x2 ? ? 0, e?

.

1 2 综上所述,对于任意 1 2 ,总有 22 证明: (Ⅰ)如图,连接 OC,? OA =OB,CA=CB,?OC ? AB ?OC 是圆的半径,? AB 是圆的切线. (Ⅱ) ED 是直径,??ECD ? 90?,??E ? ?EDC ? 90?

x , x ? ? 0, e?

,仍有

g ( x1 ) ? f ( x2 )

g(x ) ? f (x )

(3 分)

又 ?BCD ? ?OCD ? 90?, ?OCD ? ?OCD,??BCD ? ?E, 又?CBD ? ?EBC ,

·6·

BC BD (5 分) ? ? BC 2 ? BD.BE BE BC CD 1 tan ?CED ? ? , BC 2 BD CD 1 (7 分) ? BCD ∽ ? BEC , ? ? BC EC 2 2 设 BD=X ,则 BC =2 X ,? BC 2 =BD BE ? 2?)=?(?+6) ? BD=2 …. 分) (9 ( (10)分 ?OA ? OB=BD+OD=2+3=5 ?? BCD∽? BEC ,?

23.选修 4—4:坐标系与参数方程

? ?? 解: (Ⅰ)将点 P ? 4, ? 化为直角坐标,得 P 2, 3 ,…………………………(2 分) 2 ? 3?

?

?

直线 l 的普通方程为 y ?

3x ? 1 ,显然点 P 不满足直线 l 的方程,

所以点 P 不在直线 l 上.………………………………………………………………(5 分) (Ⅱ)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q ? 2 ? cos ? ,sin ? ? ,…………………(6 分) 点 Q 到直线 l : y ?

3x ? 1 的距离为

?? ? 2sin ? ? ? ? ? 2 3 ? 1 | 2 3 ? 3 cos ? ? sin ? ? 1| ?3 ? ,…………………(8 分) d? ? 2 3 ?1
所以当 sin ? 当 sin ?

2 3 ?1 ?? ? , ? ? ? ? ?1 时, d min ? 2 ?3 ?

2 3 ?3 ?? ? . ? ? ? ? 1 时, d max ? 2 ?3 ?

故点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 24.选修 4-5:不等式选讲

2 3 ?1 2 3 ?3 ,最大值为 .………………(10 分) 2 2

·7·


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