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解圆锥曲线问题常用方法(一)

时间:2014-04-28

解圆锥曲线问题常用方法(一)
【学习要点】
解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。

【典型例题】
例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为 ______________ (2) 抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 , 则点 Q 的坐标 为 。 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现, 当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时, 距离和最小。 解: (1) (2, 2 ) 连 PF , 当 A 、 P 、 F 三 点 共 线 时 , AP ? PH ? AP ? PF 最 小 , 此 时 AF 的 方 程 为
H P F A Q B

(2)双曲线有两种定义。第一定义中, r1 ? r2 ? 2a ,当 r1>r2 时,注意 r2 的最小值为 c-a:第 二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转 化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解 决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组 关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法 之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决, 这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点 差法” ,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、B 坐标代入圆锥曲线 方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有: (1)

y?

1 4 2 ?0 (注:另一交点为( ,? 2 ),它为 ( x ? 1) 即 y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 ), 2 3 ?1 1 ,1 ) 4

直线 AF 与抛物线的另一交点,舍去) (2) (

过 Q 作 QR⊥l 交于 R,当 B、Q、R 三点共线时, BQ ? QF ? BQ ? QR 最小,此时 Q 点的纵 坐标为 1,代入 y2=4x 得 x=

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 相 交 于 A 、 B , 设 弦 AB 中 点 为 M(x0,y0) , 则 有 2 a b

2

2

1 1 ,∴Q( ,1 ) 4 4

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。

x0 y 0 ? k ? 0。 a2 b2
(2)

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。 例 2、F 是椭圆 4 3
(1) PA ? PF 的最小值为 (2) PA ? 2 PF 的最小值为 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 PF ? 或准线作出来考 虑问题。 解: (1)4- 5 设另一焦点为 F ? ,则 F ? (-1,0)连 A F ? ,P F ?
F 0 ′ y A F P H x

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 l 相交于 A 、 B ,设弦 AB 中点为 M(x0,y0) 则有 a2 b2

x0 y 0 ? k ?0 a2 b2
(3)y2=2px(p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.

1

PA ? PF ? PA ? 2a ? PF ? ? 2a ? ( PF ? ? PA ) ? 2a ? AF ? ? 4 ? 5
当 P 是 F ? A 的延长线与椭圆的交点时, PA ? PF 取得最小值为 4- 5 。 (2)3 作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e= ∴ PF ?

为边长的关系。 解:sinC-sinB=

3 sinA 5 3 BC 5

2RsinC-2RsinB=

3 ·2RsinA 5

1 , 2

∴ AB ? AC ?

即 AB ? AC ? 6

(*)

1 PH ,即2 PF ? PH 2

∴点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4

∴ PA ? 2 PF ? PA ? PH 当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为

a ? xA ? 4 ?1 ? 3 c

2

所求轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 (x>3) 9 16

点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距 例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。 分析:作图时,要注意相切时的“图形特征” :两个圆心与切点这三点 共线(如图中的 A、M、C 共线,B、D、M 共线) 。列式的主要途径是动 圆的“半径等于半径” (如图中的 MC ? MD ) 。 解:如图, MC ? MD , ∴ AC ? MA ? MB ? DB即6 ? MA ? MB ? 2 ∴ MA ? MB ? 8 (*) 离。 分析: (1)可直接利用抛物线设点,如设 A(x1,x12),B(x2,X22),又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦

y M D C 5 x

长公式及中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。 (2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法。 解法一:设 A(x1,x12),B(x2,x22),AB 中点 M(x0,y0)
2 2 ?( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x12 ? x 2 ) ?9 ① ? 则 ?x ? x ? 2x ② 1 2 0 ③ ? 2 2 ? x1 ? x 2 ? 2 y 0

A

0B

∴点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为

x2 y2 ? ?1 16 15

点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,
2 2 即列出 ( x ? 1) ? y ?

由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,再移项,平方,?相当于将椭圆标准方程推导了一

遍,较繁琐!

3 例 4、△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= sinA,求点 A 的轨迹方程。 5
分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) ,可转化

2

∴ 4 y 0 ? 4 x0 ?
2

9 , 2 1 ? 4 x0

线上,B 在椭圆上,同样 C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到 x 轴上,立即可得防

2 4 y 0 ? 4 x0 ?

9 9 2 ? ( 4 x0 ? 1) ? 2 ?1 2 4 x0 4 x0 ? 1
5 y0 ? 4

f (m) ? ( x B ? x A ) 2 ? ( x D ? xC ) 2 ? 2 ( x B ? x A ) ? ( x D ? X C )

≥ 2 9 ? 1 ? 5,

? 2 ( x B ? xC ) ? ( x A ? x D ) ? 2 ( xB ? X C )

y C F1 0 F2

D



4x02+1=3

5 2 2 5 即 x0 ? ? 时, ( y 0 ) min ? 此时 M (? , ) 4 2 2 4

此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。

A

B

x

法二:如图, 2 MM 2 ? AA2 ? BB2 ? AF ? BF ? AB ? 3

x2 y2 ? ? 1 中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点 F1(-1,0) 解: (1)椭圆 m m ?1
y M A A1 A2 0 M1 M2 B1 B2
设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-

∴ MM 2 ?

3 1 3 , 即 MM 1 ? ? , 2 4 2

B

则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0

5 ∴ MM 1 ? , 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。 4 5 ∴M 到 x 轴的最短距离为 4

x

∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0

2m (2 ? m ? 5) 2m ? 1

点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 x1,x2,从而形成 y0 关于 x0 的函数,这是 一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转 化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为 A、B 到准线的距离和,结合定义与三角形中 两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的, 但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也不能直接得出。

f (m) ? AB ? CD ? 2 ( x B ? x A ) ? ( x D ? xC ) ? 2 ( x1 ? x2 ) ? ( x A ? xC ) ? 2 x1 ? x2 ? 2 ?
2m ? 1 ? 1 1 ? 2 (1 ? ) 2m ? 1 2m ? 1

2m 2m ? 1

(2) f (m) ?

2

例 6、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(2 ? m ? 5) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到 m m ?1

右依次变于 A、B、C、D、设 f(m)= AB ? CD ,(1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值。 分析:此题初看很复杂,对 f(m)的结构不知如何运算,因 A、B 来源于“不同系统” ,A 在准

∴当 m=5 时, f (m) min ?

10 2 9 4 2 3

当 m=2 时, f (m) max ?

3

点评: 此题因最终需求 xB ? xC , 而 BC 斜率已知为 1, 故可也用 “点差法” 设 BC 中点为 M(x0,y0), 通过将 B、C 坐标代入作差,得

5、已知双曲线

x0 y x x ?1 ? 0 ? k ? 0 ,将 y0=x0+1,k=1 代入得 0 ? 0 ? 0 ,∴ m m ?1 m m ?1

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 的横坐标为 4,则点 M 到左焦点的距离是 9 16

6、抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p(-2,0),则弦 AB 中点的轨迹方程是 8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为

m 2m x0 ? ? ,可见 x B ? xC ? ? 2m ? 1 2m ? 1
当然,解本题的关键在于对 f ( m) ? AB ? CD 的认识,通过线段在 x 轴的“投影”发现

9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个,则 k= 10、设点 P 是椭圆

f (m) ? xB ? xC 是解此题的要点。

x2 y2 ? ? 1 上的动点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,求 sin∠F1PF2 的最大值。 25 9

【同步练习】
1、已知:F1,F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 作直线交双曲线左支于点 A、B, a2 b2
) C、4a+2m D、4a-m

11、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次 成等差数列,若直线 l 与此椭圆相交于 A、B 两点,且 AB 中点 M 为(-2,1), AB ? 4 3 ,求直 线 l 的方程和椭圆方程。

若 AB ? m ,△ABF2 的周长为( A、4a B、4a+m

2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是 ( A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x )

3、已知△ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列,且 AB ? AC ,点 B、C 的坐标 分别为(-1,0),(1,0),则顶点 A 的轨迹方程是( ) 12、已知直线 l 和双曲线 C、D。求证: AB ? CD 。

x2 y2 ? ?1 A、 4 3
x2 y2 ? ? 1( x ? 0) C、 4 3

x2 y2 ? ? 1( x ? 0) B、 4 3 x2 y2 ? ? 1( x ? 0且y ? 0) D、 4 3
( )

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 及其渐近线的交点从左到右依次为 A、B、 a2 b2

4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1,0),其长轴长为 4,则椭圆中心的轨迹方程是

A、 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

9 ( x ? ?1) 4 9 ( x ? ?1) 4

B、 ( x ?
2

1 2 9 ) ? y 2 ? ( x ? ?1) 2 4 1 2 9 ) ? ( x ? ?1) 2 4
4

C、 x ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

D、 x ? ( y ?

【参考答案】
1、C

设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 M(x,y),则
2 2 y12 ? 2 x1 , y 2 ? 2 x2 , y12 ? y 2 ? 2( x1 ? x2 ),

AF2 ? AF1 ? 2a, BF2 ? BF1 ? 2a ,
∴ AF2 ? BF2 ? AB ? 4a, AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ? 2m, 选 C 2、C 点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离,P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右,则方程为 y2=16x,选 C 3、D ∵ AB ? AC ? 2 ? 2 ,且 AB ? AC ∵点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、B、C 三点不共线,即 y≠0,故选 D。 4、A 设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距离和为 4 得

y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 2 x1 ? x2

∵ k AB ? k MP ?

y?0 y ? 2 y ? 2 ,即 y2=x+2 ,∴ x?2 x?2

又弦中点在已知抛物线内 P,即 y2<2x,即 x+2<2x,∴x>2 8、4

a 2 ? b 2 ? 4, c 2 ? 8, c ? 2 2 ,令 x ? 2 2 代入方程得 8-y2=4
∴y2=4,y=±2,弦长为 4 9、 ?

2或 ? 1

y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k2)x2-2kx-2=0 ①?

1 9 1 ? (2 x ? 1) 2 ? (2 y ) 2 ? 4 ,∴ ( x ? ) 2 ? y 2 ? 2 4
2 2 ①又 c<a,∴ ( x ? 1) ? y ? 2

?1 ? k 2 ? 0 得 4k2+8(1-k2)=0,k= ? 2 ?? ? 0

②1-k2=0 得 k=±1 10、解:a2=25,b2=9,c2=16 设 F1、F2 为左、右焦点,则 F1(-4,0)F2(4,0) ① 2 ?? 设 PF 1 ?r 1 , PF 2 ? r2 , ?F 1 PF ② r ? r ? 2 ? ? 1 2 则
? 2 2 2 ?r1 ? r2 ? 2r1r2 cos? ? (2c)

∴(x-1)2+y2<4 ②,由①,②得 x≠-1,选 A 5、

y P F1 F2 x

29 3

9 9 29 左准线为 x=- ,M 到左准线距离为 d ? 4 ? (? ) ? 则 M 到左焦点的距离为 5 5 5 ed ? 5 29 29 ? ? 3 5 3

①2-②得 2r1r2(1+cosθ )=4b2 ∴1+cosθ =

1 1 6、 x ? ( y ? ) 2 2
设弦为 AB,A(x1,y1),B(x2,y2)AB 中点为(x,y),则 y1=2x12,y2=2x22,y1-y2=2(x12-x22) ∴

4b 2 2b 2 ? 2r1r2 r1r2

∵r1+r2 ? 2 r1r2 ,

∴r1r2 的最大值为 a2

y1 ? y 2 ? 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2

∴2=2·2x, x ?

1 2

18 2b 2 ∴1+cosθ 的最小值为 2 ,即 1+cosθ ? 25 a
cosθ ? ?

将x ?

1 1 1 1 代入 y=2x2 得 y ? ,轨迹方程是 x ? (y> ) 2 2 2 2

7 7 ? , 0 ? ? ? ? ? arccos 则当 ? ? 时,sinθ 取值得最大值 1, 25 25 2

即 sin∠F1PF2 的最大值为 1。 11、设椭圆方程为

7、y2=x+2(x>2)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

5

由题意:C、2C、 ∴ 4c ? c ?

a2 ? c 成等差数列, c

由③、⑥知 M、 M ? 均在直线 l ? :

2x 2 y ? ? k ? 0 上,而 M、 M ? 又在直线 l 上 , a2 b2

a2 ? c即a 2 ? 2c 2 , c

若 l 过原点,则 B、C 重合于原点,命题成立 若 l 与 x 轴垂直,则由对称性知命题成立 若 l 不过原点且与 x 轴不垂直,则 M 与 M ? 重合 ∴ AB ? CD

∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2 椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2) 2b 2 b 2



2 2 x12 y12 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1② ① 2b 2 b 2 2b 2 b 2 2 2 x12 ? x 2 y12 ? y 2 ? ?0 2b 2 b2

①-②得



xm ym ? ?k ? 0 2b 2 b 2
?2 ? k ? 0 ∴k=1 2 1 12 2 ? 12(18 ? 2b 2 ) 2 ? 4 3 3



直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3, 代入椭圆方程即 x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0 ∴3x2+12x+18-2b2=0,

AB ? x1 ? x 2 1 ? 1 ?

解得 b2=12, ∴椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l 方程为 x-y+3=0 24 12

12、证明:设 A(x1,y1),D(x2,y2),AD 中点为 M(x0,y0)直线 l 的斜率为 k,则
? x12 y12 ? ?1 ① ? ?a2 b2 ? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ② ? ?a2 b2

①-②得

2 x0 2 y 0 ? 2 ?k ? 0 ③ a2 b

? , y1 ? ),C( x2 ? , y2 ? ), BC中点为M ?( x0 ? , y0 ?), 设 B( x1
? x1 2 y 1 2 1 ? 12 ? 0 ④ 则? ? a2 b ? 12 2 y1 ? x2 2 ? ?0⑤ ? b2 ? a2

④-⑤得

1 ? 2 y0 2 x1 ? ?k ? 0 ⑥ a2 b2

6


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