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有关分块矩阵的初等变换与应用

时间:2011-05-12

有关分块矩阵的初等变换与 有关分块矩阵的初等变换与应用 莆田学院数本 042 杨晔 莆田学院数本
摘要: 本文讨论了广义初等矩阵给出的分块矩 摘要 基于矩阵分块运算在高等代数学中的重要性, 阵初等变换及在矩阵中求矩阵的行列式,秩,特征值,以及求逆等方面的应用。 关键词:广义初等矩阵,分块矩阵,初等变换. 关键词

引言
矩阵的分块是处理较高阶数的矩阵时常用的方法,使用一些贯穿于矩阵的纵线和横线 将矩阵分成若干子块,使得较高阶数的矩阵化为较低阶数的分块矩阵,在矩阵运算中,我们 有时把这些子块当作数一样来处理,从而简化了表示,便于计算,分块矩阵有加法,乘法, 数乘,转置等运算的定义,也可进行初等变换。分块矩阵的初等变换是高等代数中重要而基 本的运算,它在研究矩阵的行列式,特征值,秩等各种性质及求矩阵的逆,解线性代数中有 着广泛的应用。为此,如何直接对分块矩阵施行初等变换显得非常重要,本文的目的,就是 讨论分块矩阵的初等变换及应用。

一. 广义初等矩阵和分块矩阵的初等变换 先以常用的 2 × 2 的分块矩阵为例,来对广义初等矩阵作定义:
定义 1 形如 ?

? 0 ? Em

En ? ? P 0 ? ? En ?? ? 0 ? ? 0 En ? ? 0 ?

0 ? ? Em ?? P? ? 0

P ? ? Em ?? En ? ? P

0? ? En ?

的五类分块方阵称为广义初等矩阵。 注 1:上述各类广义初等矩阵中的每一个都是若干初等矩阵的乘积。 定理 1 广义初等矩阵都是可逆的,并且
[1]

? 0 ? ? En ? Em ? ? 0

Em ? ? A B ? ? C D ? ? P 0 ? ? A B ? ? PA PB ? ? ? ?= ? ;? ?= ? 0 ? ?C D? ? A B ? ? 0 E n ? ?C D? ? C D? ? ? ? ? P ? ? A B ? ? A + PC ? ?= En ? ? C D ? ? C ? ?
B + PD ? ? D ?

右乘的情况以及其他广义矩阵都可类似证得相应结果,这里不再赘述。 注 2. 在使用广义初等矩阵时, 要注意所作的分块矩阵必须使分块乘法等运算能够进行。

二.分块矩阵初等变换的应用 分块矩阵初等变换的应用
用广义初等矩阵所作的分块矩阵的初等变换,是矩阵运算中极为重要的方式,也是常用 的手段。它能够使一些困难的问题简单化。下面我们分别给出它在行列式,矩阵的秩,矩阵 求逆和矩阵的特征值等方面的应用。 命题 1
[ 2]

设 A, B, C , D 都是 n 阶方阵, A 可逆且 AC = CA ,则

A C

B D

= AD ? CB

证明:由分块矩阵乘法易知

? En ? ?1 ? ?CA

0 ? ?A B? ?A B ? ?? ? =? ?1 ? En ? ? C D ? ? 0 D ? CA B ?

两边取行列式,即得

A C

B D

=

A C

B D ? CA?1 B
?1

= A D ? CA B
?1

?1

= AD ? ACA B = AD ? AA CB = AD ? CB 命题 2
[3]

A, B 分别是 n × m 和 m × n 矩阵,证明

Em A
证明 :由于 ?

B En

= En ? AB = Em ? BA

? Em 0 ?? Em ?? ? ? A En ?? A B En = Em

B ? ? Em ? =? En ? ? 0 B En = Em 0

? ? ,所以 En ? AB ? B B En ? AB
= Em En ? AB

Em A

0 Em

? A En A

= En ? AB 又由 ?

? Em ? A B En = B En

B ?? Em 0 ? ? Em ? BA B ? ?? ?=? ? ,得 En ?? ? A En ? ? 0 En ? Em A B Em 0 = Em ? BA 0 B En
= Em ? BA

Em A

[ 4]

En ? A En

Em A

= Em ? BA = En ? AB 设 A, B 分别是 m × n 和 n × s 矩阵,则

命题 3

( sylvester公式)

r ( A) + r ( B) ? n ≤ r ( AB) ≤ min {r ( A), r ( B)}
证明 1)因为 ?

? En 0 ? ? En ?? ? ? A En ? ? A

B ? ? En ?? 0? ? 0

? B ? ? En ?= Es ? ? 0 ?

0 ? ? ? AB ?

故r?

? En ? A ? En ? A

B? ? = r ( En ) + r (? AB ) = n + r ( AB ) 0? B? ?B ?=r? 0? ?0 En ? ? ≥ r ( A) + r ( B ) A? En ? ? A?

但r?

所以 r ?

? En ? A

B? ?B ? ≥ r? 0? ?0

即 r ( A) + r ( B ) ? n ≤ r ( AB )

2)记 C = ?

? A AB ? ?0 ?,D =? ?0 0 ? ?0

B ? ? AB ?

由于 ?

? A AB ? ? Em ?? ?0 0 ? ? 0

?B ? ? A 0 ? ?= ?, Es ? ? 0 0 ? ?

故 r ( AB ) ≤ r (C ) = r ( A)

又由于 ?

? En 0 ? ? 0 ?? ? ? A Em ? ? 0

B ? ?0 B? ?=? ? AB ? ? 0 0 ?

故 r ( AB ) ≤ min {r ( A), r ( B )}

0 ? ? A 0 ? ? Em ? BA B ? Em ?E n× s? n ?? ? A, B, C , Dn ?=? 0 En ? A ? ? A Em ? ? 0 0 ? ?
综合 1) ,2)命题得证。 命题 4 设分块矩阵 M = ? 解: 因为

B En

=

Em A

B Em

0

En ? A En

=

Em ? BA 0

E

?0 ?C

B? ?1 ? ,其中 B, C 都是 n 级可逆矩阵,试求 M 。 D?

? E ? ?1 ? ? DB
?1

0 ?? 0 ?? E ?? C

B? ? 0 ?=? D? ?C
?1

B? ?0 (或 ? ? 0? ?C

B ? ? E ?C ? 1 D ? ? 0 ?=? ?? D?? 0 E ? ?C
-1

B? ?) 0?

两边求逆得,

?0 ?C ?

B? ? E ? ? D ? ? ? DB ?1

0? ? ?C ?1 DB ?1 C ?1 ? ? ? =? ?1 E? 0 ? ? B

故 M ?1 = ?

? 0 C ?1 ? ? E ?? ?1 ?1 D ? ? ? DB ?B

0 ? ? ?C ?1 DB ?1 C ?1 ? ? ?=? E ? ? B ?1 0 ?

例 1 求下列的逆矩阵

?1 1 1 1 ? ? ? ?1 ?1 1 ?1 ? A= ?1 1 ?1 ?1? ? ? ? 1 ?1 ?1 1 ?
解:记 B = ?

?1 1 ? ?B B ? ? ,则 A, B = ? ?, ?1 ?1? ? B ?B ?

?1 ?2 ?1 易求得 B = ? ?1 ? ?2


1 ? 2 ?= 1 B ? 1? 2 ? ? 2?

?B B E ? ? B ?B 0
? ?E ? ?0 ? ? 1 ?1 B 02 E 1 ?1 B 2

0? ? E?



B E ?B ? ? 0 ?2 B ? E

0? ? E?



1 ? 0 E ?B 2 ? 0 ?2 B ?E ?

1 ? E 2 ? ? E ?

1 ?1 ? B ? 2 ? 1 ?1 ? ? B ? 2 ? ?1 1 1 1 ? ? ? B ? 1 ? B B ? 1 ? 1 ?1 1 ?1 ? = ? = ? ? ? B ?1 ? 4 ? B ? B ? 4 ?1 1 ?1 ?1? ? ? ?1 ?1 ?1 1 ?
?1

即 A? 1 =

1 2

?B ? ?1 ?B

?1

命题 5 设 A, B 分别是 n × m和m × n 矩阵,证明: λ ≠ 0, 证明:由 ?

λ E ? AB = λ n ? m λ E ? BA 。

? Em 0 ? ? λ Em ?? ? ? A En ? ? A

B ? ? λ Em ?= λ En ? ? 0 ?
0 λ Em

? ? ,得 λ En ? AB ?

B

λ Em
A
=

B

λ En

=

Em A

B

En

A

λ En

=

λ Em
0

B

λ En ? AB

λ Em λ En ? AB = λ m λ En ? AB
? λ Em ? A

又由 ?

B ? ? λ En ?

? Em 0 ? ? λ Em ? BA B ? ? ?=? ? ,得 λ En ? 0 ? ? A En ? ?

λ Em
A

B

λ En

=

λ Em
A

B

Em

0

λ En ? A En

=

λ Em ? BA
0

B

λ En

=

λ Em ? BA λ En =

λ n λ Em ? BA
于是 λ 故
m

λ En ? AB = λ n λ Em ? BA

λ En ? AB = λ n ? m λ Em ? BA

以上我们只讨论了 2 × 2 分块方式的矩阵初等变换,其实我们可以将分块初等变换进行 延拓,将分块初等变换定义到更高阶的分块矩阵上,下面仅举一例加以说明。 命题 6 设 A 是 n 阶方阵,A =0, 是 n 阶单位矩阵, l1 , l2 , l3 满足 l1 ≠ l2 ,1l2 ≠ l1l3 + l2l3 , E 数 l
2



∑ r ( A + k E ) = 2n + r [(l l
i =1 i

3

1 2

+ l2l3 + l1l3 ) A + l1l2l3 E ]

证明: 由命题条件及分块矩阵的初等变换可得

? A + l1 E ? ? 0 ? 0 ?

0 A + l2 E 0

? ? 0 ?→ ? A + l3 E ? 0
(l1 ? l2 ) E A + l2 E 0 ? ? 0 ?→ ? ? ? A + l3 E ? 0

? A + l1 E (l1 ? l2 ) E ? A + l2 E ? 0 ? 0 0 ?

? ? 0 ?→ ? A + l3 E ? 0

? 0 ? ? ( A + l1 E )( A + l32 E ) ? l2 ? l1 ? ? 0 ?

0 ? ? ? ( A + l1 E )( A + l2 E ) ? 0 ?

E A + l2 E 0 0

? ? 0 ?→ ? A + l3 E ? 0 0 ? ? ? (l1 + l2 ) A + l1l2 E ? 0 ? E 0 0 ? ? 0 ?→ ? A + l3 E ? 0

0 E ? ? ? ( A + l1 E )( A + l2 E ) 0 ? 0 0 ? 0 ? ? ? (l1 + l2 ) A + l1l2 E ? 0 ?
? ? 0 ? ? (l1 + l2 ) A + l1l2 E ? ? 0 ? ?

? ? 0 ?→ ? A + l3 E ? ? ? (l1l2 ? l1l3 ? l2l3 ) E ? → ? A + l3 E ? 0

E 0 0

E 0 0

? ? ? 0 0 ? ? ?→ ? E 0 ? ? A + l3 E ? ? (l1l2 + l1l3 + l2l3 ) A + l1l2l3 E ? l1l2 ? l1l3 ? l2l3 ?

0 E 0

E? ? 0? ? 0?

从而上式易知命题成立. 上面我们虽然仅讨论了广义初等矩阵及相应的分块矩阵初等变换的几种常见应用,但 足以看出分块矩阵的初等变换在矩阵运算中是很重要的.它的应用也是非常广泛的,而且也 是需要更深入研究的. 参考文献: [1]樊恽 ,钱吉林等,代数学辞典[M].武汉:华中师范大学出版社,1994.

[2]徐仲,陆全等,高等代数 导数 导学 导考 [M]西安:西北工业大学出版社,2004. [3]北京大学,高等代数[M].第 2 版,北京:高等教育出版社,1988. [4]MarsagliaG,styan G PH. Equalities and inequalities for matrices [J].Linear and Multilinear Algebra,1994,2:269-292


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