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高二数学下学期第一次月考试题 理1

时间:2018-08-02


安徽省太和县 2016-2017 学年高二数学下学期第一次月考试题 理
(考试时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 每小题只有一个正确答案) 1 设 P= 2,Q= 7- 3,R= 6 - 2,则 P,Q,R 的大小顺序是( A P>Q>R B P>R>Q C R>Q>P D Q>P>R ) )

1 1 1 2 设 x,y,z∈(0,+∞),a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a,b,c 三数( y z x A.至少有一个不大于 2 C.至少有一个不小于 2
2

B.都小于 2 D.都大于 2 )

3 函数 f(x)=2ln x+x -bx+ a(b>0,a∈R)的图象在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是( A.2 2 4 F1,F2 分别是双曲线 B.2 C. 3 D.1

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左、右两 a 2 b2
)

支分别交于 A,B 两点.若△ABF2 是等边三角形,则该双曲线的离心率为( A.2 B. 7 C. 13
3

D. 15 )

5 已知对任意 m∈R, 直线 x+y+m=0 都不是 f(x)=x -3ax(a∈R)的切线, 则 a 的取值范围是( 1 A.a> 3
2

1 B.a< 3

1 C.a≥ 3

1 D.a≤ 3

6 已知抛物线 y =4x 的准线过双曲线 方程为 y=2x ,则双曲线的焦距为( A. 5 B .2 5

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左顶点, 且此双曲线的 一条渐近线 a 2 b2
) D.2 3

C. 3

7 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为边长为 1 的正三角形,侧棱 AA1⊥底面 ABC,点 D 在棱 BB1 上,且 BD=1,若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 α ,则 sin α 的值为( A. 3 2
2

)

B.

2 2

C.

10 4

D.

6 4 1 1 + = |FP| |FQ|

8 已知抛物线 y =8x 的焦点为 F,直线 y=k(x-2)与此抛物线相交于 P,Q 两点,则 ( ) 1 A. 2 B.1 C.2 D.4

n 9 已知 f ? n ? ? ? 2n ? 7 ? ? 3 ? 9 ,存在 自然数 m,使得对任意 n∈N,都能使 m 整除 f(n),则最大的 m

1

的值为( A.30

) B.26 C.36 D.6

10 等比数列{an}中,a1=2,a8 =4,函数 f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·?·(x-a8),则 f′(0)等于( A. 2
6

)

B. 2
3

9

C. 2

12

D. 2

15

11 若函数 y=a(x -x)的递减区间为?- A.a>0 B.-1<a<0

? ?

3 3? , ?,则 a 的取值范围是( 3 3? C.a>1 D.0<a<1

)

12 f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)-f(x)≤0,对任意正数 a,b,若 a<b,则必有( ) B.bf(a)≤af(b) D.bf (b)≤af(a)

A.af(b)≤bf(a) C.af(a)≤bf(b)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 由命题“? x∈R,x +2x+m≤0”是假命题,求得实数 m 的取值 范围是(a,+∞),则实数 a 的值是________. D1P 14 设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上,记 =λ . D1B 当∠APC 为钝角时,则 λ 的取值范围是________. → → → 15 在△ABC 中,|BC|=4,△ABC 的内切圆切 BC 于 D 点,且|BD|-|CD|=2 2,则顶点 A 的轨迹方程 为________.
2

f ( x) ?
16 若

ax ? 1 x ? 2 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则 a 的范围是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 已知函数

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值为 10,

求 a 和 b 的值

2

18 设函数 y=f(x)对任意实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x) +f(y)+2xy. (1)求 f(0)的值; (2)若 f(1)=1,求 f(2),f(3),f(4)的值; (3)在(2)的条件下,猜想 f(n)(n∈N )的表达式,并用数学归纳法加以证明.


19 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,CD⊥平面 PAD,BC∥AD,PA=PD,O,E 分别 为 AD,PC 的中点,PO=AD=2BC=2CD. (1)求证:AB⊥DE; (2)求二面角 A-PC-O 的余弦值.

20 已 知点 M 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上一点,F1,F2 分别为 C 的左、右焦点, |F1F2|=4, a 2 b2

3

4 3 ∠F1MF2=60°,△F1MF2 的面积为 . 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 N(0,2),过点 P(-1,-2)作直线 l,交椭圆 C 于异于 N 的 A,B 两点,直线 NA,NB 的斜率分 别为 k1,k2,证明:k1+k2 为定值.

→ → 2 21 已知抛物线 E:x =2py(p>0),直线 y=kx+2 与 E 交于 A,B 两点,且OA·OB=2,其中 O 为原点. (1)求抛物线 E 的方程; (2)点 C 坐标为(0,-2),记直线 CA,CB 的斜率分别为 k1,k2,证明:k1 +k2 -2k 为定值.
1 2 2 2

22 函数 (I)当

f ?x? ? ax2 ? 2x ? e x ,其中 a ? 0
a? 4 3 时,求

?

?

f ?x ? 的极值点;

(II)若

f ?x ? 在 ?? 1,1?上为单调函数,求

a 的取值范围.

高二第二学期第一次质量检测 数学参考答案(理科)

4

1.B 13. 1

2.C

3.A

4.B

5.B

6.B 15

7.D

8.A

9.C

10.C

11.A 12.A

?1 ? 14. ? ,1? ?3 ?

x

2

2

- =1(x> 2) 2

y

2

16.

?1 ? , ?? ? ? ?2 ?

1 x ?1 1 ax ? 1 2 1 a ? 时,即可发现 f ( x) ? ? ? ( x ? ?2 )为 (?2, ??) 上的常 2 x?2 x?2 2

数函数,不满足题意,

3 2 2 17、 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 处有极值为 10,结合导数为零与极值的关系,不难得到:

? 3 ? 2a ? b ? 0 ? a?4 ?a ? ?3 ,解得 或 , ? ? ? 2 ?1 ? a ? b ? a ? 10 ?b ? ?11 ? b ? 3

? ?a ? ?3 ? 当? 时 x=1 处不存 在极值所以舍去。所以 b ? 3 ?b ? ?11 ?
18(1)令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0? f(0)=0. (2)f(1)=1,f(2)=f(1+1)=1+1+2=4,

a?4

f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9, f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16.
(3)猜想 f(n)=n ,下面用数学归纳法证明. 当 n=1 时,f(1)=1 满足条件. 假设当 n=k(k∈N+)时成立,即 f(k)=k ,则当 n=k+1 时,f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k +1 +2k=(k+1) ,从而可得当 n=k+1 时满足条件,所以对任意的正整数 n,都有 f(n)=n .
2 2 2 2 2

19 设 AD=2,则 A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),

? ? D(0,1,0),E? , ,1?,P(0,0,2),
1 1 ?2 2

?



→ ? ? AB=(1,1,0),DE=? ,- ,1?, 1

?2

1 2

?

→ → AB·DE=0, 所以 AB⊥DE. → → (2)AC=(1,2,0 ),PC=(1,1,-2), 设平面 PAC 的法向量为 m=(x,y,z),

5

则?

→ ? ?m·AC=0, → ? ?m·PC=0

??

?x+2y=0, ? ? ?x+y-2z=0,

1? ? 令 x=2,得 m=?2,-1, ?. 2? ? → → → → 又BD·PO=0,BD·OC=0, → 所以平面 POC 的一个法向量为BD=(-1 ,1,0), → m·BD 42 → cos〈m,BD〉= =- , → 7 |m||BD| 由图 知二面角为锐角, 所以 二面角 A-PC-O 的余弦值为 42 . 7

1 4 3 16 20(1)在△F1MF2 中,由 |MF 1||MF2|sin 60°= ,得|MF1||MF2|= . 2 3 3 由余弦定理,得 |F1F2| = |MF1| +|MF2| -2|MF1||MF2|·cos 60° =(|MF1|+|MF2|) -2|MF1||MF2|(1+cos 60°), 从而 2a=|MF1|+|MF2|=4 2,即 a=2 2,从而 b=2, 故椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 (2) 证明:当直线 l 的斜率存在时,设其方 程为 y+2=k(x+1),
2 2 2 2

x2 y2

x y ? ? + =1, 由? 8 4 ? ?y+2=k?x+1?,
2 2

2

2



(1+2k )x +4k (k-2)x+2k -8k=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

2

x1+x2=-

4k?k-2? 2k -8k ,x1x2= 2 2 . 1+2k 1+2k

2

从而 k1+k2=

y1-2 y2-2 + x1 x2 x1x2

2kx1x2+?k-4??x1+x2? = 4k?k-2? =2k-(k-4) =4. 2 2k -8k 当直线 l 的斜率不存在时,
6

可取 A?-1,

? ?

14? ? 14? ?,B?-1,- ?,得 k1+k2=4. 2 ? ? 2 ?

综上,恒有 k1+k2=4.

21 解:(1)将 y=kx+2 代入 x =2py,得

2

x2-2pkx-4p=0.
其中 Δ =4p k +16p>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则
2 2

x1+x2=2pk,x1x2=-4p. x1 x2 → → OA·OB=x1x2+y 1y2=x1x2+ · =-4p+4. 2p 2p
1 由已知,得-4p+4=2,p= . 2 所以抛物线 E 的方程为 x =y. (2)证明:由(1)知,x1+x2=k,x1x2=-2.
2 2 2

y1+2 x2 x2 1+2 1-x1x2 k1= = = =x1-x2, x1 x1 x1
同理 k2=x2-x1,所以 k1+k2-2k =2(x1-x2) -2(x1+x2) =-8x1x2=16.
2 2 2 2 2

?4 ? f ' ( x) ? ax2 ? 2?a ? 1?x ? 2 ? e x ? ? x 2 ? 2?a ? 1?x ? 2? ? e x 4 22(I)若 a ? ,由 ?3 ? 3 4 2 x ? 2?a ? 1?x ? 2 ? 0 2 x 令 f ' ( x) ? 0 ,因为 e > 0 则 3 ,即 4 x ? 6?a ? 1?x ? 6 ? 0 3 2 即 2 x ? x ? 3 ? 0, x1 ? ? , x 2 ? 1 ?????3 分 2
所以 f ?x ?, f ' ?x ? 随 x 变化而变化的情况为:

?

?

x
f ?( x) f ( x)
所以, x1 ? ? 分

3 (??,? ) 2
+ ↗

?

3 2

3 ( ? ,1) 2
- ↘

1
0 极小值

(1,??)
+ ↗

0 极大值

3 是极大值点, x2 ? 1 是极小值点. (注:未注明极大、极小值扣 1 分)?????6 2

(II)若 f ( x) 为 ?? 1,1? 上的单调函数,又 f ' (0) ? ?2 ? 0 ,
7

所 以当 x ? ?? 1,1? 时 f ' ( x) ? 0 , 即 g ( x) ? ax2 ? 2?a ?1?x ? 2 ? 0 在 ?? 1,1? 上恒成立。 (1)当 a ? 0 时, ? ??? ??8 分

? g ?? 1? ? 0 , ? g ?1? ? 0
?????9 分

所以 g ( x) ? ?2 x ? 2 ? 0 在 ?? 1,1? 上恒成立; (2)当 a ? 0 时,抛物线 g ( x) ? ax ? 2?a ? 1?x ? 2 开口向上,
2

则 f ? x ? 在 ?? 1,1? 上为单调函数的充要条件是 ?

? g ?? 1? ? 0 , ? g ?1? ? 0
?????11 分

即?

?? a ? 0 4 ,所以 0 ? a ? 。 3 ?3a ? 4 ? 0

综合(1) (2)知 a 的取值范围是 0 ? a ?

4 。 3

????12 分

8


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