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2019年人教A版数学【选修1-1】作业:2.1.2椭圆的简单几何性质(含答案)

时间:



2.1.2

椭圆的简单几何性质

课时目标 1.掌握椭圆的范围、 对称性、 顶点、 离心率等几何性质.2.明确标准方程中 a, b 以及 c,e 的几何意义,a、b、c、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的 简单问题.

1.椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准 方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 2.直线与椭圆

短轴长=______,长轴长=______

对称轴是________,对称中心是______

x2 y2 直线 y=kx+b 与椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的位置关系: a b y=kx+b ? ? 2 2 直线与椭圆相切 ??x y 有 ______ 组实数解,即 Δ______0. 直线与椭圆相交 ? 2+ 2=1 ? a b ? y=kx+b y=kx+b ? ? ? 2 2 ? 2 2 ?x y 有______组实数解,即 Δ______0,直线与椭圆相离??x y ________ ?a2+b2=1 ?a2+b2=1 ? ? 实数解,即 Δ______0.

一、选择题 1.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) 4 4 A.5,3, B.10,6, 5 5 3 3 C.5,3, D.10,6, 5 5 2.焦点在 x 轴上,长、短半轴长之和为 10,焦距为 4 5,则椭圆的方程为( x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 36 16 16 36

)

x2 y2 1 3.若焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 等于( ) 2 m 2 3 8 2 A. 3 B. C. D. 2 3 3 x2 y2 4.如图所示,A、B、C 分别为椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的顶点与焦点,若∠ABC=90° , a b 则该椭圆的离心率为( )

x2 y2 C. + =1 6 4

y2 x2 D. + =1 6 4

-1+ 5 A. 2 C. 2-1

B.1- D.
2

2 2

x2 y2 5.若直线 mx+ny=4 与圆 O:x +y =4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 + 9 4 =1 的交点个数为( ) A.至多一个 B.2 C.1 D.0 → 6.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点。满足 MF 1 · MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆 离心率的取值范围是( ) 1? A.(0,1) B.? ?0,2? 2 2 C.?0, ? D.? ,1? 2? ? ?2 ? 1 2 3 4 5 6 题号 答案 二、填空题 5 7.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 ,且过点 P(-5,4),则椭圆的 5 方程为______________. x2 y2 8.直线 x+2y-2=0 经过椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的 a b 离心率等于______. x2 y2 9.椭圆 E: + =1 内有一点 P(2,1),则经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方程为 16 4 ____________. 三、解答题 x2 y2 10.如图,已知 P 是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点,F 是椭圆的右焦 a b a2 点,O 是椭圆中心,B 是椭圆的上顶点,H 是直线 x=- (c 是椭圆的半焦距)与 x 轴的交 c 点,若 PF⊥OF,HB∥OP,试求椭圆的离心率 e.
2

2 2

11.已知椭圆 4x2+y2=1 及直线 y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

能力提升 12. 若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是( ) 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 3 13.已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F1(- 3, 1? 0),且右顶点为 D(2,0).设点 A 的坐标是? ?1,2?. (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程.

1.椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围,在求解一些存在性和 判断性问题中有着重要的应用. 2.椭圆既是一个轴对称图形,又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在解决直线与椭 圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时,往往能起到化繁为简的作用. 3.椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量,通过解方程或不等式可以求得离心 率的值或范围. 4.在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系.

2.1.2
知识梳理 1. 焦点的 位置

椭圆的简单几何性质 答案
焦点在 y 轴上

焦点在 x 轴上

图形

标准方 程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

x2 y2 y2 x2 + =1 2+ 2=1 a b a2 b2 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a (± a,0),(0,± b) (± b,0),(0,± a) 短轴长=2b,长轴长=2a (± c,0) (0,± c) 2c=2 a2-b2 对称轴是坐标轴,对称中心是原点 c e= ,0<e<1 a

2.一 = 二 > 没有 < 作业设计

x2 y2 1.B [先将椭圆方程化为标准形式: + =1, 9 25 其中 b=3,a=5,c=4.] 2.A 3.B 4.A [由(a+c)2=a2+2b2+c2, ∵b2=a2-c2,∴c2+ac-a2=0, -1+ 5 c ∵e= ,∴e2+e-1=0,∴e= .] a 2 4 5.B [∵ >2,∴ m2+n2<4. 2 2 m +n x2 y2 ∴点 P(m,n)在椭圆 + =1 的内部, 9 4 x2 y2 ∴过点 P(m,n)的直线与椭圆 + =1 有两个交点.] 9 4 → → 6.C [∵ MF1· MF2=0,∴M 点轨迹方程为 x2+y2=c2,其中 F1F2 为直径, 由题意知椭圆上的点在圆 x2+y2=c2 外部, 设点 P 为椭圆上任意一点,则|OP|>c 恒成立, 由椭圆性质知|OP|≥b,其中 b 为椭圆短半轴长, ∴b>c,∴c2<b2=a2-c2,∴a2>2c2, c? 2 1 c 2 ∴? ?a? <2,∴e=a< 2 . 2 又∵0<e<1,∴0<e< .] 2 x2 y2 7. + =1 45 36 x2 y2 解析 设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b 25 16 将点(-5,4)代入得 2 + 2 =1, a b
2 2 c 5 c2 a -b 1 2 又离心率 e= = ,即 e = 2= 2 = , a 5 a a 5

x2 y2 解之得 a2=45,b2=36,故椭圆的方程为 + =1. 45 36 2 5 8. 5 解析 由题意知椭圆的焦点在 x 轴上,又直线 x+2y-2=0 与 x 轴、y 轴的交点分别为 c 2 5 (2,0)、(0,1),它们分别是椭圆的焦点与顶点,所以 b=1,c=2,从而 a= 5,e= = . a 5 9.x+2y-4=0 解析 设弦的两个端点为 M(x1,y1),N(x2,y2), 则

? ?x y ?16+ 4 =1
2 2 2 2

2 x2 y1 1 + =1 16 4



?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? 两式相减,得 + =0. 16 4 又 x1+x2=4,y1+y2=2,kMN= y1-y2 , x1-x2

1 ∴kMN=- ,由点斜式可得弦所在直线的方程为 2 1 y=- (x-2)+1,即 x+2y-4=0. 2 a2 ? ? 10.解 依题意知 H?- c ,0?,F(c,0),B(0,b). 设 P(xP,yP),且 xP=c,代入到椭圆的方程, b2 b2 c, ?. 得 yP= .∴P? ? a? a b2 b-0 a ∵HB∥OP,∴kHB=kOP,即 = . a2 c 0+ c ∴ab=c2. a2-c2 c b 2 ∴e= = ,∴e = 2 =e-2-1. a c c ∴e4+e2-1=0.∵0<e<1,∴e= 5-1 . 2

?4x2+y2=1, ? 11.解 (1)由? ? ?y=x+m,
得 5x2+2mx+m2-1=0. 因为直线与椭圆有公共点, 所以 Δ=4m2-20(m2-1)≥0. 解得- 5 5 ≤m≤ . 2 2

(2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2), 由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0, 2m 由根与系数的关系得 x1+x2=- , 5

1 x1x2= (m2-1). 5 设弦长为 d,且 y1-y2=(x1+m)-(x2+m) =x1-x2, ∴d= = = = 2 5 ?x1-x2?2+?y1-y2?2= 4m2 4 2 ? 2? ? 25 -5?m -1?? 10-8m2. [由题意知 2b=a+c,又 b2=a2-c2, 2?x1-x2?2 2[?x1+x2?2-4x1x2]

∴当 m=0 时,d 最大,此时直线方程为 y=x. 12.B ∴4(a2-c2)=a2+c2+2ac. ∴3a2-2ac-5c2=0.∴5c2+2ac-3a2=0. 3 ∴5e2+2e-3=0.∴e= 或 e=-1(舍去).] 5 13.解 (1)∵a=2,c= 3,∴b= x2 ∴椭圆的标准方程为 +y2=1. 4 a2-c2=1.

(2)设 P(x0,y0),M(x,y),由中点坐标公式,

?x= 2 , 得? 1 y+ 2 ?y= 2 ,
x0+1
0

? ?x0=2x-1, ∴? 1 ? ?y0=2y-2.

?2x-1?2 ? 1 2 x2 0 2 又∵ +y0=1,∴ +?2y-2? ? =1 4 4 即为中点 M 的轨迹方程.


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