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【成才之路】高中数学 2-1-2-1 指数函数及其性质课件 新人教A版必修1

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成才之路· 数学 人教A版 ·必修1 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 第二章 2.1 指 数 函 数 第二章 2.1.2 指数函数及其性质 第二章 第 1 课时 指数函数及其性质 课前自主预习 基础巩固训练 方法警示探究 思路方法技巧 能力强化提升 探索延拓创新 课前自主预习 温故知新 1.对于幂an, (1)当a>0且a≠0时,使an有意义的n的范围是 n∈R ; (2)当a=1时,an= 1 ; 1 1 (3)当a<0时,n并不能取任意实数,如n= 2 , 4 时an 没有意义; (4)当a=0时,n取 零或负数 没有意义. (5)实数幂的运算性质:ar· as=ar +s ar r-s a ;as= ;(ab)r= arbr ;其中a>0,b>0,r、s∈R. 2.如果y=f(x)在D上是增函数,则对任意x1,x2∈D且 x1<x2,有f(x1) < (填“>”、“<”或“=”)f(x2),y=f(x)的图象从 左至右逐渐 上升 (填“上升”或“下降”). 3.函数图象的作法步骤:①列表;② 描点 ;③连线. 新课引入 观看视频解答下面两个问题: 问题1:某种细胞分裂时,由一个分裂成2个,2个分裂 成4个,……这样的细胞分裂x次后,细胞个数y与x的函数关 系式为:y=2x(x∈N*). 问题2:铀核裂变能产生巨大的能量,它的裂变方式称 为链式反应,假定1个中子击打1个铀核,此中子被吸收,产 生能量并释放出3个中子,这3个中子又打中另3个铀核产生3 倍的能量并释放出9个中子,这9个中子又击中9铀核,…… 这样的击打进行了x次后释放出的中子数y与x的关系是:y= 3x(x∈N*). 提问:y=2x与y=3x这类函数的解析式有何共同特征? 答:函数解析式都是指数形式,底数为定值且自变量在 指数位置. (若用a代换两个式子中的底数,并将自变量的取值范围 扩展到实数集则得到……) 自主预习 通过上述实例,总结: x 1.一般地,形如 y=a (a>0,a≠1) 的函数,叫指数函 数,指数函数的定义域是R,值域为 (0,+∞) . 2.指数函数的图象,当 a>1时,象“一撇”,当 0<a<1 时,象“一捺”. 3.指数函数的图象特征 (1)这些图象都位于x轴的 上方 ; (2)这些图象都经过 (0,1) 点; (3)y=ax(a>1)的图象在第一象限内的纵坐标都大于1,在 第二象限的纵坐标都小于1且大于0;y=ax(0<a<1)的图象正 好相反; 就是说,当a>1,x>0时,y∈ (1,+∞) . 当a>1,x<0时,y∈ (0,1) . 当0<a<1,x>0时,y∈ (0,1) . 当0<a<1,x<0时,y∈ (1,+∞) . 指出下列哪些数大于1,哪些数小于1? 4 3 2 -2 3- ( ) 2 -2 1 2 1 -2 ( ) 3 1 2 3-1 ( ) 2 4 13 ( ) 2 1 2 答案:2 ?3?- 、?2? ? ? ?1? ?1?- ?3?- 3 2 、?2? 都小于1,?3? 、?4? ? ? ? ? ? ? 、43都大于1. (4)从左往右看,y=ax(a>1)的图象逐渐上升;y= ax(0<a<1)的图象逐渐下降. 这就是说,当 a>1 时,y=ax为增函数,当 0<a<1 时,y =ax为减函数. 若y=(2a-1)x为增函数,则a的取值范围是 a>1 . 4.将指数函数的图象和性质总结如下表 函数名称 解析式 定义域 值域 指数函数 y=ax(0<a≠1) R (0,+∞) 函数名称 a>1 指数函数 0<a<1 图象 函数名称 单调性 性 质 函数值 分布 在 R 上↗ 指数函数 在 R 上↘ ?<1?x>0? ? x a ?=1?x=0? ? ?>1?x<0? ?>1?x>0? ? x a ?=1?x=0? ? ?<1?x<0? 图象 特征 ax>0,图象位于 x 轴上方; a0=1,图象都经过(0,1)点; a1=a 5.运用指数函数的图象与性质解答下列各题. 2 ? ? 3 x ? (1)指数函数y=a 的图象过点 -1,2?,则a= 3 . ? ? (2)无论a取何正数(a≠1),y=ax 1的图象都过定点 (-1,1). + (3)函数y=2x 1的定义域为R,值域为 (0,+∞) . - (4)函数y= 2x-1的定义域为[0,+∞). (5)比较大小,用“<”或“>”连接下列每组中的两个数. ①3 -2 <3 +1 -1 ?1?2 ②?2?3 ? ? a+2; < - ?1?1 ? ?2 ?2? ; -2.8 ③0.4a > 0.4 ④1.1a 3 > 1.1a ⑤0.2-4 > 0.4-4. ?2? ?2? (6)已知?3?a>?3?b,则 ? ? ? ? a 与 b 的大小关系是 a<b . 思路方法技巧 1 指数函数的概念 学法指导:指数函数的结构特征 判断一个函数是否是指数函数,关键是看解析式是否符 合 y=ax(a>0, a≠1)这一结构形式. 指数函数具有以下特征: (1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数, 不含有自变量 x; (2)指数位置是自变量 x,且 x 的系数是 1; (3)ax 的系数是 1. [例 1] 下列函数中,哪些是指数函数? (1)y=4x; (2)y=x4; (3)y=-4x; (4)y=(-4)x; (5)y=πx; (6)y=4x2; (7)y=xx; 1 (8)y=(2a-1) (a>2且 a≠1). x [解析] (1)、(5)、(8)为指数函数; (2)中底数 x 不是常数,而 4 不是自变量; (3)是-1 与指数函数 4x 的乘积; (4)中底数-4<0,∴不是指数函数; (6)中指数不是自变

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