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第三章+第八节+正弦定理和余弦定理的应用

时间:2018-10-03

第八节 正弦定理和余弦定理的应用

一、知识梳理

测量中的有关几个术语

术语名称

术语意义

图形表示

仰角与俯 角

在目标视线与水平视线所成的角中,目标 视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视 线在水平视线下方的叫做俯角

方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到 目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位 角 θ 的范围是 0°≤θ<360°

例:(1)北偏东 α:

方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的 锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α

(2)南偏西 α:

? 基础检测 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 的关系为 α=β.( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为??0,π2??.( ) (3)若点 P 在点 Q 的北偏东 44°,则点 Q 在点 P 的东偏北 46°.( )
(4)方位角大小的范围是[0,π),方向角大小的范围是??0,π2??.( )

2.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图),要测量 A,B 两 点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC=50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°.可以 计算出 A,B 两点的距离为( )

A.50 2 m

B.50 3 m

C.25 2 m

25 2 D. 2 m

3.要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测

得塔顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为( )

A.10 2 m

B.20 m

C.20 3 m

D.40 m

4.若点 A 在点 C 的北偏东 30°,点 B 在点 C 的南偏东 60°,且 AC=BC,则点 A 在点 B

的________方向上.

二、考点分析

考点一 测量高度问题

利用正弦、余弦定理解决高度问题是高考考查的一个方面.以实际问题情景为载体考查学生 应用知识解决问题的能力.考查频率一般,试题难度中等.

例 1.(2018·衡水模拟)如图,为了测量河对岸电视塔 CD 的高度,小王在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 30°,塔底 C 与 A 的连线同河岸成 15°角,小王向前走了 1 200 m 到达 M 处,测得 塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60°角,则电视塔 CD 的高度为________m.

? 方法总结

求解高度问题的 3 个注意点

(1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它

是在水平面上所成的角)是关键.

(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,

一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.

(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.

变式 1.(2018·大连大联考)为了测量某新建的信号发射塔 AB 的高度,先取与发射塔底部 B

在同一水平面内的两个观测点 C,D,测得∠BDC=60°,∠BCD=75°,CD=40 m,并在点

C 的正上方 E 处观测发射塔顶部 A 的仰角为 30°,且 CE=1 m,则发射塔高 AB=( )

A.(20 2+1)m

B.(20 3+1)m

C.20 2 m

D.(40 2+1) m

考点二 测量距离问题

测量距离问题是解三角形实际应用中的考查内容之一,题型主要是选择题、填空题,难度

一般.,常见的命题角度有:

?1?两点都不可到达; ?2?两点不相通的距离; ?3?两点间可视但有一点不可到达.

角度(一) 两点都不可到达 1.如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两点均不可到达,要测出 A,B 的距离,测量者可 以在河岸边选定两点 C,D,测得 CD=a,同时在 C,D 两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β, ∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC 和△BDC 中,由正弦定理分别计算出 AC 和 BC,再在△ABC

中,应用余弦定理计算出 AB.若测得 CD=

3 2

km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠

ACB=45°,则 A,B 两点间的距离为________km.

角度(二) 两点不相通的距离 2.如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点间的距离,其方法先选定适当的位置 C,用经纬 仪测出角 α,再分别测出 AC,BC 的长 b,a,则可求出 A,B 两点间的距离.即 AB= a2+b2-2abcos α.若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,则 A,B 两点的距离为 ________m.
角度(三) 两点间可视但有一点不可到达 3.如图,为了测量两座山峰上 P,Q 两点之间的距离,选择山坡上一段长度为 300 3 m 且 和 P,Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点,现测得∠PAB=90°,∠PAQ= ∠PBA=∠PBQ=60°,则 P,Q 两点间的距离为________ m.

注: 1.测量距离问题,无论题型如何变化,即两点的情况如何,实质都是要求这两点间的距离, 无非就是两点所在三角形 及其构成元素所知情况不同而已,恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础, 将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键. 2.求距离问题的两个策略 (1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解; 若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.

变式 2.1.已知 A,B 两地间的距离为 10 km,B,C 两地间的距离为 20 km,现测得∠ABC

=120°,则 A,C 两地间的距离为( )

A.10 km

B.10 3 km

C.10 5 km

D.10 7 km

2.一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60°方向, 行驶 4 h 后,船到达 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15°方向,这时船与灯塔的距离为( )

A.15 2 km

B.30 2 km

C.45 2 km 考点三 测量角度问题

D.60 2 km

利用正弦、余弦定理解决角度问题是高考考查的一个方面.以实际问题情景为载体考查学生 应用知识解决问题的能力,试题难度中等.

例 3.游客从某旅游景区的景点 A 处至景点 C 处有两条线路.线路 1 是从 A 沿直线步行到 C, 线路 2 是先从 A 沿直线步行到景点 B 处,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处 同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速度的191倍,甲走线路 2,乙走线路 1,最后他们同时到达 C 处.经测量,AB=1 040 m,BC=500 m,则 sin∠BAC 等于________.

变式 3.在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东 45°方向,相距 12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75°方向前进,若红方侦察艇 以每小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45°+α 方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截 住,求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值.

注: 1.注意解决测量角度问题的 3 事项 (1)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义. (2)求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值. (3)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学 方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点. 2.掌握解三角形应用题的 4 步骤

三、课堂检测 A 级——基础小题练熟练快 1.如图,两座灯塔 A 和 B 与河岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站南偏西 40°,灯塔 B 在观察站南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 80° D.南偏西 80° 2.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,此时气球 的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

5.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30 分钟

后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯

塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( )

A.10 2 海里

B.10 3 海里

C.20 3 海里

D.20 2 海里

6.如图,为了测量 A,C 两点间的距离,选取同一平面上 B,D 两点,测出四边形 ABCD 各

边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B 与∠D 互补,则 AC 的长为( )

A.7 km

B.8 km

C.9 km

D.6 km

A.240( 3-1)m

B.180( 2-1)m

C.120( 3-1)m

D.30( 3+1)m

3.如图,在塔底 D 的正西方 A 处测得塔顶的仰角为 45°,在塔底 D 的南偏东 60°的 B 处

测得塔顶的仰角为 30°,A,B 的距离是 84 m,则塔高 CD 为( )

A.24 m

B.12 5 m

C.12 7 m

D.36 m

4.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在

喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°,沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达点 B,

在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( )

A.50 m

B.100 m

C.120 m

D.150 m

7.海上有 A,B 两个小岛相距 10 n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角,那么 B 岛和 C 岛间的距离是________ n mile.
8.如图所示,一艘海轮从 A 处出发,测得灯塔在海轮的北偏东 15°方向,与海轮相距 20 n mile 的 B 处,海轮按北偏西 60°的方向航行了 30 min 后到达 C 处,又测得灯塔在海轮的北偏东 75° 的方向上,则海轮的速度为________n mile/min.
9.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶,在点 A 处测得电视塔 S 在电动 车的北偏东 30°方向上,15 min 后到点 B 处,测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75°方向上,则 点 B 与电视塔的距离是________km.
10.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在 西偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD=________m.

B 级——中档题目练通抓牢

1.某船开始看见灯塔在南偏东 30°方向,后来船沿南偏东 60°的方向航行 15 km 后,看

见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是( )

A.5 km

B.10 km

C.5 3 km

D.5 2 km

2.地面上有两座相距 120 m 的塔,在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为 α,在高塔塔底望矮塔

塔顶的仰角为α2,且在两塔底连线的中点 O 处望两塔塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为

() A.50 m,100 m

B.40 m,90 m

C.40 m,50 m

D.30 m,40 m

3.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且

小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 min,从 D 沿着 DC 走

到 C 用了 3 min.若此人步行的速度为 50 m/min,则该扇形的半径的长度为( )

A.50 5 m

B.50 7 m

C.50 11 m

D.50 19 m

6.一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75°的方向航行(2 3-2)n mile 到达海岛 B,然后从 B 出 发,沿北偏东 15°的方向航行 4 n mile 到达海岛 C.
(1)求 AC 的长; (2)如果下次航行直接从 A 出发到达 C,求∠CAB 的大小.
7.已知在东西方向上有 M,N 两座小山,山顶各有一座发射塔 A,B,塔顶 A,B 的海拔高 度分别为 AM=100 m 和 BN=200 m,一测量车在小山 M 的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30°,该测量车向北偏西 60°方向行驶了 100 3 m 后到达点 Q,在点 Q 处测得发射 塔顶 B 处的仰角为 θ,且∠BQA=θ,经测量 tan θ=2,求两发射塔顶 A,B 之间的距离.

4.(2018·惠州调研)如图所示,在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 θ,在山坡的 A 处测得∠DAC=15°,沿山坡前进 50 m 到达 B 处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得 cos θ=________.

5.(2018·福州质检)如图,小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线 匀速行驶,小明在 A 处测得公路上 B,C 两点的俯角分别为 30°,45°,且∠BAC=135°.若 山高 AD=100 m,汽车从 B 点到 C 点历时 14 s,则这辆汽车的速度约为______m/s(精确到 0.1).
参考数据: 2≈1.414, 5≈2.236.


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