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2019版高中数学第二章数列2.3.1等差数列的前n项和练习新人教A版必修5

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第 1 课时

等差数列的前 n 项和
课后篇巩固探究

A组 1.若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a7=() A.12B.13C.14D.15

解析 ∵S5=

=25,

∴a2+a4=10. 又 a2=3,∴a4=7,∴公差 d=2. ∴a7=a4+3d=7+3×2=13.
答案 B 2.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项的和 S11=() A.58B.88C.143D.176

解析 ∵S11=

,a1+a11=a4+a8=16,

∴S11=

=88,故选 B.

答案 B 3.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=() A.8B.7C.6D.5 解析由 a1=1,公差 d=2,得 an=2n-1.又 Sk+2-Sk=ak+1+ak+2,所以 2k+1+2k+3=24,得 k=5,故选 D. 答案 D 4.若公差不为 0 的等差数列{an}的前 21 项的和等于前 8 项的和,且 a8+ak=0,则正整数 k 的值 为() A.20B.21C.22D.23 解析设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,由题意,得 S21=S8,即 a9+a10+…+a21=0.根据等差数列的性 质,得 13a15=0,即 a15=0.故 a8+a22=2a15=0,即 k=22.故选 C. 答案 C 5.已知数列{an}的通项公式为 an=2n+1,令 bn=(a1+a2+…+an),则数列{bn}的前 10 项和 T10=() A.70B.75C.80D.85 解析 ∵an=2n+1,

∴数列{an}是等差数列,首项 a1=3,其前 n 项和 Sn= bn=Sn=n+2,∴数列{bn}也是等差数列,首项 b1=3,公差为 1,∴其前 10 项和

=n2+2n,∴

T10=10×3+
答案 B

×1=75,故选 B.

6.设数列{an}是等差数列,且 a2+a3+a4=15,则该数列的前 5 项和 S5=.

解析由 a2+a3+a4=15,得 3a3=15,解得 a3=5,故 S5= 答案 25

=5a3=25.

7.在等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,若 S12=8S4,则

=

.

解析 ∵S12=12a1+

d,S4=4a1+

d,

∴12a1+66d=32a1+48d.∴20a1=18d.



.

答案 8.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n·2 -1,则 a3+a4+a5=. 5 2 解析 a3+a4+a5=S5-S2=(5×2 -1)-(2×2 -1)=152. 答案 152
n

9.

导学号 04994034 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点

(n∈N )均在函数

*

y=3x-2 的图象上,求数列{an}的通项公式.

解依题意,得
2

=3n-2,

即 Sn=3n -2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5. 因为 a1=S1=1,满足 an=6n-5, * 所以 an=6n-5(n∈N ). 10.(2017·江西上高二中期末)已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 解 (1)∵an+2=2an+1-an+2, ∴an+2-an+1=an+1-an+2,即 bn+1=bn+2. 又 b1=a2-a1=2-1=1, ∴数列{bn}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. (2)由(1)可知,an+1-an=1+2(n-1)=2n-1, ∴an-an-1=2(n-1)-1, an-1-an-2=2(n-2)-1, ……

a2-a1=2×1-1,

累加,得 an-a1=2×

-(n-1)=n2-2n+1,

∴an=a1+n2-2n+1=n2-2n+2, ∴数列{an}的通项公式为 an=n2-2n+2.
B组 1.在等差数列{an}中,2a4+a7=3,则数列{an}的前 9 项和 S9 等于() A.3B.6C.9D.12 解析设等差数列{an}的公差为 d,因为 2a4+a7=3,所以 2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得 a1+4d=1,即

a5=1,所以 S9=

=9a5=9.

答案 C 2 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,则 an 等于() 2 A.nB.n C.2n+1D.2n-1 2 2 解析当 n=1 时,a1=S1=1;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n -(n-1) =2n-1,且 a1=1 适合上式,故 an=2n-1(n * ∈N ). 答案 D 3.已知等差数列{an},a2=6,a5=15,若 bn=a2n,则数列{bn}的前 5 项和等于() A.30B.45C.90D.186 解析由等差数列{an}易得公差 d1=3.又 bn=a2n,所以{bn}也是等差数列,公差 d2=6.故

S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+

×6=90.

答案 C * 4.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,Sn=336,a2+a5+a8=6,an-4=30(n≥5,n∈N ),则 n 等于() A.8B.16C.21D.32 解析由 a2+a5+a8=6,得 3a5=6,所以 a5=2.因为 a5+an-4=a1+an=2+30=32,所以

Sn=

=336,解得 n=21.

答案 C * 5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N ),则 a5=. 解析当 n≥2 时,由 Sn=2an-1,得 Sn-1=2an-1-1.两式相减,得 an=2an-2an-1,所以 an=2an-1.因为 a1=2a1-1,所以 a1=1,故 a5=2a4=22a3=23a2=24a1=16. 答案 16 2 * 6.在数列{an}中,an=4n-,a1+a2+…+an=an +bn+c,n∈N ,其中 a,b 为常数,则 ab+c=. 解析因为 an=4n-,即 an 是关于 n 的一次函数,所以数列{an}是等差数列,所以

a1+a2+…+an=
答案 -1

=2n2-n,因此 a=2,b=-,c=0,故 ab+c=2×

+0=-1.

7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn(Sn≠0),且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=.

(1)求证:

是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式. (1) 证明 ∵-an=2SnSn-1(n≥2),∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2).又 Sn≠0(n=1,2,3,…),∴

=2.



=2,∴

是以 2 为首项,2 为公差的等差数列.

(2) 解由(1)可知 当 n≥2

=2+(n-1)·2=2n,∴Sn=

.

时,an=Sn-Sn-1=

=-

;

当 n=1 时,S1=a1=.故 an= 8. 导学号 04994035 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=λ an-1(λ 为常 数,n=1,2,3,…). (1)若 a3= ,求 λ 的值; (2)是否存在实数 λ ,使得数列{an}是等差数列?若存在,求出 λ 的值;若不存在,请说明理 由. 解 (1)因为 Sn=λ an-1, 所以 a1=λ a1-1,a2+a1=λ a2-1,a3+a2+a1=λ a3-1. 由 a1=λ a1-1,可知 λ ≠1,

所以 a1=

,a2=

,a3=

.

因为 a3= ,所以

,解得 λ =0 或 λ =2.

(2)假设存在实数 λ ,使得数列{an}是等差数列,则 2a2=a1+a3,

由(1)可得

,

所以 所以不存在实数λ ,使得数列{an}是等差数列.

,即

=0,显然不成立,

格 风 言 语 及 句 炼 ) 2 ( 赏 鉴 歌 诗

才 仕 李

】 明 说 纲 考 【 色 特 术 艺 会 领 于 重 侧 , . 2 。 巧 技 达 表 和 言 语 、 象 形 的 品 作 学 文 赏 鉴 : 求 要 纲 考 】 标 目 习 学 【 。 格 风 言 握 把 和 妙 之 句 语 的 歌 诗 典 古 会 体 . 1 。 力 能 解 高 提 , 巧 技 题 答 格 风 言 语 与 句 炼 歌 诗 典 古 握 掌 习 学 . 2 。 情 美 审 高 提 , 趣 兴 的 歌 诗 典 古 读 阅 发 激 . 3 习 学 主 自 】 导 指 法 学 【 。 术 格 风 言 语 的 典 古 记 识 , 歌 诗 读 熟 . 1 。 范 规 会 学 法 方 般 一 的 答 作 格 风 言 语 和 句 炼 握 掌 , 题 真 战 实 及 ” 析 剖 型 典 “ 合 结 . 2 】 析 剖 例 典 【 式 方 问 设 题 句 炼 ) 一 ( ) 义 含 释 解 ( 容 内 的 句 语 关 有 . 1 ) 讨 探 旨 主 对 ( 感 情 的 句 语 要 重 . 2 ) 赏 鉴 面 层 术 艺 ( 法 手 的 句 语 键 关 . 3 : 式 模 题 答 用 作 或 果 效 达 表 点 特 的 出 指 → 句 语 释 解 隅 举 术 格 风 言 语 ) 二 ( 》 遇 不 者 隐 寻 《 岛 贾 。 人 近 易 刻 深 切 真 得 显 描 白 用 或 , 述 陈 接 直 然 自 素 朴 质 实 平 . 1 》 北 寄 雨 夜 《 隐 商 李 。 想 者 读 让 中 之 象 形 在 藏 是 而 , 来 出 说 接 直 思 意 把 不 藉 蕴 婉 委 永 隽 蓄 含 . 2 》 池 小 《 里 万 杨 。 情 感 悦 喜 然 怡 达 表 , 境 意 美 优 造 营 来 言 语 的 丽 用 致 雅 洁 简 快 明 新 清 . 3 》 坑 书 焚 《 碣 章 。 味 和 调 笔 的 辣 辛 或 趣 风 、 指 多 中 诗 判 批 刺 讽 默 幽 谐 诙 . 4 ) 卷 宁 辽 年 0 2 ( 】 1 例 示 【 耒 张 山 嵩 见 初 。 怀 我 豁 山 青 有 赖 , 埃 尘 困 马 鞍 来 年 。 来 云 出 瘦 清 峰 数 , 去 雨 吹 风 北 暮 日 谪 贬 遭 累 连 牵 轼 受 因 , 一 之 士 学 四 门 苏 。 人 诗 宋 北 , 耒 张 ] 注 [ ? 处 何 在 妙 句 一 ” 来 云 出 瘦 清 峰 数 “ ) 1 ( 深 掘 挖 更 义 层 既 涵 内 歌 诗 理 : 二 果 效 分 后 然 词 的 力 有 富 或 点 特 再 , 法 手 现 种 了 运 虑 时 。 巧 技 达 表 与 言 语 赏 鉴 、 用 作 考 要 主 ” 处 何 在 妙 “ 问 一 第 】 析 解 【 面 画 合 结 相 态 跃 、 阔 广 耸 尖 成 层 与 使 予 赋 静 写 动 字 个 。 奇 新 语 造 拔 挺 的 出 容 形 ” 瘦 清 “ 以 法 手 人 拟 了 用 运 者 作 感 观 种 这 于 基 , 现 突 中 云 积 片 一 在 峰 山 峻 高 ① 】 案 答 【 。 答 作 求 要 按 , 诗 的 面 下 读 阅 ) 卷 京 北 年 1 0 ( 】 2 例 示 【 耒 张 ① 秸 秬 示 闲 得 安 求 男 坚 当 志 卑 高 无 业 冷 单 忧 我 射 衣 吹 行 人 西 东 市 一 歌 户 出 盘 捧 绝 欲 声 更 楼 雪 如 霜 落 月 头 城 秸 秬 示 警 所 有 且 诗 作 为 因 。 也 差 少 略 时 而 废 不 风 烈 寒 大 虽 呼 街 绕 即 旦 未 鼓 五 每 , 儿 饼 卖 邻 北 卿 少 寺 常 太 官 曾 家 学 文 名 著 宋 北 , 。 、 子 二 耒 张 秸 秬 1 : 释 注 4 。 析 分 要 简 作 句 体 具 合 结 请 味 韵 有 富 而 实 平 , 事 叙 景 写 的 诗 首 这 ) 1 ( 语 之 饰 修 何 任 无 均 等 西 东 楼 市 ” 户 出 盘 捧 “ 例 举 。 显 浅 俗 通 话 如 白 明 藻 辞 丽 华 有 没 , 实 平 一 点 要 : 案 答 深 意 而 浅 语 均 表 态 心 忧 街 ” 行 未 人 “ 如 他 其 怀 关 情 同 遇 际 活 生 儿 饼 卖 对 者 作 露 透 色 的 寂 空 冷 清 了 出 画 描 面 方 个 听 和 觉 视 从 句 两 篇 开 例 举 。 富 丰 含 蕴 事 叙 、 景 写 , 味 韵 有 : 二 点 要


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