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高二数学精品教案:2.4 1 正态分布(选修2-3)

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看江山如 此多娇 啊

课题:正态分布(一)

〖教学目标〗(1)深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质. (2)理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质. (3)能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分 布的规律 . (4 )会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线 . (5)会用函数的概念、性质解决有 关正态分布的问题. 〖教学重点〗正态分布的意义,正态分布的主要性质. 〖教学难点〗正态分布的意义及性质,标准正态总体,标准正态曲线的概念. 〖教学方法〗探究式教学法 〖课时安排〗1 课时 〖多媒体工具〗多媒体、实物投影仪 〖教学过程〗 一、复习引入 1.复习提问 (1)运用多媒体画出(图 1-3)频率分布直方图. (2)当 n 由 100 增至 200 时,观察频率分布直方图的变化. (3)请问当样本容量 n 无限增大时,频率分布直方图变化的情况?(频率分布就会 无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线) (4)样本容量越大,总体估计就越精确.
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2.通过实例,说明正态分布(密度) 是最基本、最重要的一种分布.如学生的 学 习成绩、气象中的平均气温、平均湿度等等,都服从或近似地服从正态分布. 二、讲解新课 1. 正态分布与正态曲线 (1) 总体密度曲线可以用一个函数 y ? f ( x) 的图象来拟合, 我们选用什么样的函数呢 ? 换句话讲,由这个曲线,我们可以想到哪类函数与它相近似? (2) 如 果 随 机 变 量 ? 的 概 率 密 度 为 f ( x) ?
? 1 e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

( x ? R, ? , ? 为 常 数 , 且

2 称 ? 服从参数为 ? , ? 的正态分布,用 ? ~ N ? ? , ? ? 表示, f ? x ? 的表达式可 ? ? 0 ),

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2 简记为 N ? , ? ,它的密度曲线简称为正态曲线.

?

?

其中:π 是圆周率;e 是自然对数的底;x 是随机变量的取值;μ 为正态分布 的均值;σ 是正态分布的标准差 例1 下面给出三个正态总体的函数表示式,请找出其均值 μ 和标准差 σ.
2

1 ? x2 ( 1 ) f ( x) ? e 2?
f ( x) ? 1

( 2 ) f ( x) ?

1 2 ?

e

?

( x ?1)2 8

(3)

?

e?2( x ?1)

2

(答案:μ=0,σ=1;μ=1,σ=2;μ=-1,σ=0.5) 2. 正态曲线的性质 通过对三组 正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、且 关于某 条直线对称.结合正态曲线,归纳其以下性质: (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交. (2)曲线关于直线 x=μ 对称. (3)当 x=μ 时,曲线位于最高点. (4)当 x<μ 时,曲线上升(增函数);当 x>μ 时,曲线下降(减函数).并且当曲线 向左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近. (5)μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定. σ 越大, 曲线越“矮胖” ,总体分布越分散; σ 越小,曲线越“高” ,总体分布越集中; 五条性质中前三条学生较易掌握,后两条较难理解,因此在讲授时应运用数形 结合的原则,采用对比教学. 例 2 正态总体的函数表示式是 f ( x) ? (1)求 f(x)的最大值. (2)利用指数函数性质说明其单调区间,以及曲线的对称轴. 3.标准正态分布与标准正态分布表 (1) 当 μ = 0 、 σ = 1 时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是
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1

?

e?2( x ?1) ,

2

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1 ? x2 f ( x) ? e (-∞<x<+∞),记作 ? ~ N (0,1) . 其相应的曲线称为标准正态曲线. 2?
标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位.任何正态分布的概 率问题均可转化成标准正态分布的概率问题. (2)标准正态分布的分布函数 . 若 ? ~ N (0,1) , 则 ? 的分布函数通常用 ? ( x ) 表示 , 且有

2

? ( x) = P(? ? x) .对于一切 x ? 0 , ? ( x) 的值可在标准正态分布表中查到;对于 x ? 0 的 ? ( x)
的值,可用 ? ( x ) =1- ?(? x) 求出. (3) P(a ? ? ? b) 的计算.若 ? ~ N (0,1) ,则 P(a ? ? ? b) = ?(b) ? ?(a) ,即通过查标准 正态分布表中 x ? a, x ? b 时的 ? ( x ) 的值,可计算概率 P(a ? ? ? b) . 三.练习
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35 面练习 1. 四.小结 五.课后作业

习题 1.

〖教学反思〗正态分布问题解决的两个途径:

(1) 正态分布 ?正 态曲线

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(2) 正态分布 ?标准正态总体 ?标准正态曲线
注意 μ 和 σ 的几何意义是 解决问题的一个重要环节. 研究正态曲线要注意各区间面积的求法及其意义.
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