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高二上学期寒假作业(理科含答案)

时间:2015-03-03


江苏省怀仁中学寒假作业五(理科)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.已知 z ? 1 ? 2i ,则 z 的虚部是 . 2.已知 y ?

1 ? x, ( x ? ?1) ,则 y 的最小值是 x ?1

3.已知 z ? (1 ? i )(2 ? i) ,则 z ?

x2 y2 4.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的焦距是 10,点 P(3,4)在 C 的渐近线上,则双曲线 C 的 a b
标准方程是

?x ? y ? 0 ? 5.在直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 表示平面区域面积是 4,则常数 a 的值_______. ?x ? a ?
6.函数 f ( x) ? e ( x ? 1) 的图象在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程是
x

.

7.已知 z ? C , z ? 2i ? 1,则 z ? 1 的最大值是 8.数列 {an } 的前 n 项和为 S n (n ? N *) ,且 a1 ? 式为 9.已知 f ( x) ?

1 , S ? n 2 an ,利用归纳推理,猜想 {an } 的通项公 2 n

x2 1 ? x ? ? a ln x 在 [2,??) 上是增函数,则 a 的取值范围是 2 2

.

10.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 成等差数列; 类比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积 为 Tn ,则 T4 , . ,

T12 成等比数列. T8

11.函数 f ( x) ?

x3 ? x 2 ? m x 在 x ? (?2,0) 上有极值,则 m 的取值范围是 3 x2 y 2 3b 2 2 2 ? ? 1( a ? b ? 0) O : x ? y ? 和圆 ,若 C 上存在点 P ,使得过点 P 引圆 a 2 b2 4

12. 已知椭圆 C :

O 的两条切线,切点分别为 A, B ,满足 ?APB ? 60? ,则椭圆 C 的离心率取值范围是

13. 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上, 焦距为 2, 左准线 l 与 x 轴的交点为 M ,MA2 ∶ A1 , A2 为左右顶点,

P M

A1

1 | A1 F1 | = 6∶1 . 若 点 P 在 直 线 l 上 运 动 , 且 离 心 率 e ? , 则 2
tan ?F1 PF2 的最大值为

l

F1

F2

A2



x 2 x3 x 4 ? ? ? 14.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 2 3 4

x 2015 x2 x3 x4 x 2015 ? ? ? ??? , g ( x) ? 1 ? x ? 设 2015 2 3 4 2015

F ( x) ? f ( x ? 4) ? g ( x ? 3) , 且 函 数 F ( x) 的 零 点 均 在 区间 ? a, b? ( a ? b , a , b ? Z ) 内 ,圆

x2 ? y 2 ? b ? a 的面积的最小值是_______.
二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.) 15. (本题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在区间[0,1]上是减函数,在区间 (??,0), (1,??) 上 是增函数,又 f ?( ) ? ? . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) ? m 在区间 x ? [0,2] 恒成立,求 m 的取值范围.

1 2

3 2

16. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形,平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求

BD 的值. BC1

17. ( 本 题 满 分 14 分 ) 设 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 方 程 x 2 ? an x ? an ? 0 有 一 根 为

S n ? 1(n ? N * ) .
(1)求 S1 , S 2 ; (2)猜想数列 {S n } 的通项公式,并给出证明.

18. (本题满分 16 分)如图,已知椭圆 C :
2 2 2

1 y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆 C 的上顶 2 2 a b

点 Q 为圆心作圆 Q : x ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) ,设圆 Q 与椭圆 C 交于点 M 与点 N 。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求 QM ? QN 的最小值,并求此时圆 Q 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点, 且直线 MP, NP 分别与 y 轴交于点 R, S , O 为坐标原点, 求证: OR ? OS 为定值。
M Q R x P N y S

19. (本题满分 16 分)在淘宝网上,某店铺专卖盐城某种特产.由以往的经验表明,不考虑其他因 1? x ? 5) 素, 该特产每日的销售量 y(单位: 千克) 与销售价格 x(单位: 元/千克, 满足: 当1 ? x ? 3

b (a, b为常数) , ;当 3 ? x ? 5 时, y ? ?70 x ? 490 .已知当销售价格为 2 x ?1 元/千克时,每日可售出该特产 600 千克;当销售价格为 3 元/千克时,每日可售出 150 千克.
时, y ? a( x ? 3) ?
2

(1)求 a, b 的值,并确定 y 关于 x 的函数解析式; (2)若该特产的销售成本为 1 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使店铺每日销售该特产所获利润

f ( x) 最大( x 精确到 0.1 元/千克) .

20. (本题满分 16 分)设函数 f 1 ( x ) ?

1 4 x ? ae x (其中 a 是非零常数, e 是自然对数的底) ,记 12

fn ( x) ? fn??1 ( x) ( n ? 2 , n ? N * )
* (1)求使满足对任意实数 x ,都有 f n ( x) ? f n?1 ( x) 的最小整数 n 的值( n ? 2 , n ? N ) ;

(2)设函数 g n ( x) ? f 4 ( x) ? f 5 ( x) ? ? ? f n ( x) ,若对 ?n ? 5 , n ? N , y ? g n ( x) 都存在极值点
*

x ? t n ,求证:点 An (t n , g n (t n )) ( n ? 5 , n ? N * )在一定直线上,并求出该直线方程;
(注:若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极值,则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点.) (3)是否存在正整数 k ? k ? 4? 和实数 x0 ,使 f k ( x0 ) ? f k ?1 ( x0 ) ? 0 且对于 ?n ? N , f n ( x) 至多
*

有一个极值点,若存在,求出所有满足条件的 k 和 x0 ,若不存在,说明理由.

高二数学 12 月随堂测试答案 1.-2 2.1 3. 10 4.

x2 y2 ? ?1 9 16

5.0

6. y ? e( x ? 1)

7. 5 ? 1

8. a n ?

1 , (n ? N * ) n(n ? 1)

9. [?2,??)

10.

T8 T4

11. 0 ? m ? 1

12. 解: [

6 ,1) 3

13. 解: c ? 1, a ? 3 ,

10 8 2 ? 2 2 5 y y y ? ? ?) ? ? ? ? ? = tan( 80 80 80 2 80 20 1? 2 1? 2 y? y y y
14. 解: f ( x)单调递增, f (0) ? 1, f (?1) ? 0 , ?x0 ? (?1,0), f ( x0 ) ? 0

g ( x)单调递减, g (0) ? 1, g (1) ? 0, g (2) ? 0 , ?x0 ? (1,2), g ( x0 ) ? 0
a ? ?2, b ? 4 , S ? 6?
15. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,

?c ? 0, ?c ? 0, ? 即? 解得 ? 3 ?3a ? 2b ? c ? 0, ?b ? ? a. ? 2
1 3a 3 ? b ? ? , a ? 2 , f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 . ? f ?( x) ? 3ax2 ? 3ax , f ' ( ) ? 2 4 2 (2) m ? 4
16. (I)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1 ⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1⊥平面 ABC. (II)由(I)知 AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC. 如图,以 A 为原点建 立空间直角坐标系 A- xyz ,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面 A1BC1 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则 ?

? ? n ? A1 B ? 0 ? ?n ? A1C1 ? 0

,即 ?

?3 y ? 4 z ? 0 , 4x ? 0 ?

令 z ? 3 ,则 x ? 0 , y ? 4 ,所以 n = (0, 4,3) .

同理可得,平面 BB1C1 的法向量为 m = (3, 4, 0) ,所以 cos n,m ?

n?m 16 . 由题知二面角 ? | n || m | 25

A1-BC1-B1 为锐角,所以二面角 A1-BC1-B1 的余弦值为

16 . 25

(III) 设 D ( x, y, z ) 是直线 BC1 上一点 , 且 BD ? ? BC1 . 所以 ( x , y ? 3, z ) ? ? (4,? 3, 4) . 解得

x ? 4? , y ? 3 ? 3? , z ? 4? .
所以 AD ? (4?,3 ? 3?, 4? ) . 由 AD· A1B ? 0 ,即 9 ? 25? ? 0 .解得 ? ? 因为

9 . 25

9 ? [0,1] ,所以在线段 BC1 上存在点 D, 25

使得 AD⊥A1B. 此时,

BD 9 . ?? ? BC1 25

17.【解】

(1)当 n=1 时,方程 x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 ∴(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 S1 =a1=2, 当 n=2 时,方程 x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1, 1 又 S2-1=a1+a2-1=a2-2, 1 1 1 2 ∴(a2-2)2-a2(a2-2)-a2=0,解得 a2=6. S 2 ? 3 2 (2)由题意知(Sn-1) -an(Sn-1)-an=0, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式整理得 1 SnSn-1-2Sn+1=0,解得 Sn= . 2-Sn-1 1 1 1 2 由(1)得 S1=a1=2,S2=a1+a2=2+6=3. n 猜想 Sn= (n∈N*). n+1 下面用数学归纳法证明这个结论. ①当 n=1 时,结论成立.

②假设 n=k(k∈N*,k≥1)时结论成立,即 Sk= 1 当 n=k+1 时,Sk+1= = 2-Sk k+1 = . k k+2 2- k+1 1

k . k+1

即当 n=k+1 时结论成立. n 由①②知 Sn= 对任意的正整数 n 都成立. n+1
18. 解: (1)由题意:x=2 时 y=600,∴a+b=600, 又∵x=3 时 y=150,∴b=300

300 ? 2 ,1 ? x ? 3 ?300( x ? 3) ? x ?1 ∴y 关于 x 的函数解析式为: y ? ? ? ?? 70x ? 490,3 ? x ? 5
?300( x ? 3) 2 ( x ? 1) ? 300,1 ? x ? 3 (2)由题意: f ( x) ? y( x ? 1) ? ? , ?(?70x ? 490)(x ? 1),3 ? x ? 5
当 1 ? x ? 3 , f ( x) ? 300( x ? 3)2 ( x ?1) ? 300 ? 300( x3 ? 7 x 2 ? 15x ? 8) ,

f ?( x) ? 300(3x 2 ?14x ? 15) ? (3x ? 5)(x ? 3)

5 5900 时有最大值 。 3 9 当 3 ? x ? 5 时, f ( x) ? (?70x ? 490)(x ? 1) ∴ x ? 4 时有最大值 630 5900 ∵630< 9 5 5900 ∴当 x ? 时 f ( x) 有最大值 3 9
∴x? 即当销售价格为 1.7 元的值,使店铺所获利润最大。 19. 解: (1)

y2 x2 ? ?1 4 3

(2) M ( x1 , y1 ) , N (? x1 , y1 ) , Q(0,2) , QM ? ( x1 , y1 ? 2),QN ? (? x1 , y1 ? 2)

? QM ? QN ? ? x1 ? ( y1 ? 2) 2 ?

2

7 2 7 8 9 y1 ? 4 y1 ? 1 ? ( y1 ? ) 2 ? 4 4 7 7

? y1 ?

8 9 99 36 135 3 11 2 ? ? 时,最小值是 ? , x1 ? ? ,r ? 7 49 49 49 7 7

? Q : x 2 ? ( y ? 2) 2 ?

135 49

(3) P( x0 , y0 ) , MP : y ? y 0 ?

y 0 ? y1 ( x ? x0 ) x0 ? x1

令 x ? 0, y ?

y 0 x1 ? x0 y1 y x ? x0 y1 ? y 0 x1 ? x0 y1 , R(0, 0 1 ) ,同理, S (0, ), x0 ? x1 x0 ? x1 x0 ? x1
2 x0 y1 ? x1 y 0 2 2 2

? OR ? OS ?

x0 ? x1
2

2

2

y x y x ,又 0 ? 0 ? 1 , 1 ? 1 ? 1 4 3 4 3
=4

2

2

2

2

? OR ? OS ?

2 x0 y1 ? x1 y 0

2

2

x0 ? x1

2

2

1 20.解: (1) f1 ( x ) ? 1 x 4 ? ae x , f 2 ( x ) ? x 3 ? ae x , f3 ( x) ? x2 ? ae x , f 4 ( x) ? 2 x2 ? ae x , 3 12

f5 ( x) ? 2 ? aex , f6 ( x) ? aex , f n' ( x) ? aex (n ? 6) ,? nmin ? 7 .
(2) gn ( x) ? (2x ? aex ) ? (2 ? aex ) ? aex ???? ? aex ? (2 x ? 2) ? (n ? 3) ? ae
x

① ②

' ' gn ( x) ? 2 ? (n ? 3)aex 存在极值点 x ? tn ? gn (tn ) ? 2 ? (n ? 3)aetn ? 0 ' ? gn (tn ) ? 2tn ? 2 ? (n ? 3)aetn ? 2tn

? An 在直线 y ? 2 x 上.
x (3) f n ( x) ? ae ? 0(n ? 6) 无解, ? k ? 5

①当 k ? 5 时, f 4 ( x) ? f5 ( x) ? 0 ? ? 而当 a ? ?

? 2 ? ae x0 ? 0 ?2 x0 ? ae ? 0
x0

? x0 ? 1 ? a ? ?

2 e

2 x x x ?1 时, f6 ( x) ? ae ? 0 ? f5 ( x) ? 2 ? ae ? 2 ? 2e 单调减,且 f5 (1) ? 0 e

? f 4 ( x) 在 (??,1) 上增, (1, ??) 上减,

f 4 (1) ? 0 ? f 4 ( x) ? 0 恒成立.

? f3 ( x) 单调减,而 f3 ( x) ? x 2 ? 2e x ?1 , f 3 (?1) ? 1 ?

2 ? 0, f 3 (0) ? ?2e ?1 ? 0 2 e

?t ? (?1,0), f3 ?t ? ? 0 在 (??, t ) 上 f3 (t ) ? 0 ? f 2 ( x) 在 (??, t ) 上 增 , (t ,?? )上 减 ,
1 f 2 (t ) ? t 3 ? 2et ?1 ,又 3 1 1 f3 (t ) ? t 2 ? 2et ?1 ? 0,? f 2 (t ) ? t 3 ? t 2 ? t 2 ( t ? 1) ? 0 3 3

? f1 (t ) 在 R 上单调递减
综上所述,? 存在 k ? 5 , a ? ?

2 满足条件. e

x x ②当 k ? 4 时, f4 ( x0 ) ? 2x0 ? ae 0 ? f3 ( x0 ) ? x02 ? ae 0 ? 0 ,即 x0 ? 0 或 2

当 x0 ? 0 时 f 4 (0) ? a ? 0 (舍) 当 x0 ? 2 时 f 4 (2) ? 4 ? ae ? 0 ? a ? ?
2

4 4 ? f 6 ( x) ? ? 2 e x ? ?4e x ?2 ? 0 2 e e

? f5 ( x) ? 2 ? 4ex?2 单调减,且 f5 ( x) ? 0 时, x ? 2 ? ln 2
? f 4 ( x) 在 (??, 2 ? ln 2) 上增, (2 ? ln 2, ??) 上减,而 f4 (2) ? 0
? ?m ? 2 ? ln 2 使得在 (??, m) 上, f4 ( x) ? 0 ,在 (m, 2) 上 f4 ( x) ? 0 ,
在 (2, ??) 上, f 4 ( x) ? 0

? f3 ( x) 在 (??, m) 上减,在 (m, 2) 上增,在 (2, ??) 上减(舍)

? k ? 4 综上①②所述:存在 k ? 5 , x0 ? 1 满足条件.


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