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浙江省湖州市2016-2017学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

时间:2017-04-28


2016 学年第二学期期中考试 高二数学试题卷
第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集 U ? R , A ? {x x ? 0} , B ? {x x ? 1 },则 A ? CU B ? ( A. {x 0 ? x ? 1 } B. {x 0 ? x ? 1 } ) C.充要条件 D.既不充分 C. {x x ? 0} ) D. {x x ? 1 }

2. “ x ? 0 ”是“ ln(x ? 1) ? 0 ”的( A.充分不必要条件 也不必要条件 3. 已知 l , m 是两条不同直线, A.若 l // ? , m // ? ,则 l // m C.若 l ? ? , m ? ? ,则 l // m

B.必要不充分条件

? 是一个平面,则下列命题中正确的是(
B.若 l ? m , m // ? ,则 l ? ? D. 若 l ? m , l ? ? ,则 m // ?

)

x ?1 ? ? 4. 已知 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
A.3 B.4 C. 6 D.7

)

2 5. 已知 a , b , c ? R 函数 f ( x) ? ax ? bx ? c .若 f (1) ? f (3) ? f (4) ,则(

)

A. a ? 0 , 4a ? b ? 0 D. a ? 0 , 2a ? b ? 0

B. a ? 0 , 4 a ? b ? 0

C. a ? 0 , 2a ? b ? 0

6. 设 {an } 是等差数列,下列结论中正确的是( A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C. 若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3 7. 函数 f ( x) ?

)

B.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 (a2 ? a1 )(a2 ? a3 ) ? 0 )

sin x 的图象大致为( x2 ?1

A
2

B

C

D

x2 y2 8. 已知抛物线 y ? 8x 的准线与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 A ,B 两点,双曲 a b
线的一条渐近线方程是 y ? 曲线的标准方程是( A. ) B.

4 3 x ,点 F 是抛物线的焦点.若 ?FAB 是等边三角形,则该双 3

2x2 y 2 ? ?1 3 8

x2 y2 ? ?1 16 3

C.

x2 y2 ? ?1 6 32

D.

x2 y2 ? ?1 3 16

9. 将函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 3( x ? [0,2] ) 的图象绕坐标原点逆时针旋转 ? ( ? 为 锐角),若所得曲线仍是函数的图象,则 ? 的最大值为( A. )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

10. 在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, ?BAC ?

?
2

5? 12

, AB ? AC ? AA 1 ? 1 ,已知 G 和 E 分别

为 A1B1 和 CC1 的中点, D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点),若

GD ? EF ,则线段 DF 的长度的取值范围为(
A. [

)

5 ,1) 5

B. [

5 ,1] 5

C. (

2 5 ,1) 5

D. [

2 5 ,1) 5

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 36 分,将答案填在答题纸上)
11.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1 ( x ? 1)
x ? 3 ( x ? 1)

,则 f ( f (?2)) ? ______,若 f (a) ? 2 ,则

a?

. ,若 l 和圆 C : x ? y ? r
2 2 2

12.动直线 l : y ? kx ? k ? 1(k ? R) 经过的定点坐标为 恒有公共点,则半径 r 的最小值是_______.

13.某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的所有棱长之和为

cm ,

体积为______ cm .

3

?? ? ? ? 0 ) 14.函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )( ? ? 0 , 的部分图象如图所示, 则? ?



? ? ________.

15.已知正实数 x , y , z 满足 x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则

y2 的最小值为________. xz

16.若向量 a , b 满足 b ? 2 , a ? 2 b ? a ,则 a 的取值范围是________.
2 17.已知函数 y ? sin x ? 4 sin x ? a 的最大值为 4,则常数 a ? _________.

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
18. 在 ?ABC 中, 角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 b sin A ? a sin 2 B . (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 b ? 10 , a ? c ? ac ,求 ?ABC 的面积. 19. 如图, 点 B 是以 AC 为直径的圆周上的一点, PA ? AB ? BC , AC ? 4 , PA ? 平面

ABC ,点 E 为 PB 中点.

(Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求直线 AE 与平面 PAC 所成角的大小. 20. 已知函数 f ( x) 和 g ( x) 的图象关于原点对称,且 f ( x) ? x 2 ? x . (Ⅰ)求函数 g ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 h( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ? 1 在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围.

x2 y2 2 21. 如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,过点 (0,?b) , ( a,0) 的 a b 2
直线与原点的距离为 2 , M ( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点,从原点 O 向圆 M :

( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? 2 作两条切线,分别交椭圆于点 P , Q .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若记直线 OP , OQ 的斜率分别为 k1 , k2 ,试求 k1k2 的值. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? (Ⅰ)求证: an?1 ? an ;

an . a ?1
2 n

(Ⅱ)求证:

1 2 n?1

? an ?

2n . 3 ? 2n ? 4

2016 学年第二学期期中考试高二数学参考答案 一、选择题
1-5:BBCDB 6-10:CADCA

二、填空题
11.27,-1; 14.2, ? 12.(1,1) , 2; 15. 3; 13. 27 ? 41 ? 34 ,20; 16. [ , 4 ] ;

?
3



4 3

17. 1

三、解答题
18. 解:(Ⅰ)由正弦定理和 b sin A ? a sin 2 B 得 sin B sin A ? sin A sin 2 B 所以 sin B sin A ? 2 sin A sin B cos B ,所以 cos B ? 又 B 是三 角形内角 ,所以 B ? (Ⅱ)∵ B ?

1 2.

?

3 ;
2 2 2

?
3

2 ,∴ b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac ? (a ? c) ? 3ac ,
2 2

又 b ? 10 , a ? c ? ac ,∴ (ac) ? 3ac ? 10, (ac ? 5)(ac ? 2) ? 0 ,
2

∴ ac ? 5 或 ac ? ?2 (舍去)

S ?ABC ?

1 5 3 . ac sin B ? 2 4
BC ? 平面 PAB ? BC ? AB? AE ? 平面PBC ? ?? ?? ?? AE ? 平面 PAB ? ?PAB为等腰Rt?? BC ? PA?

19.解: (Ⅰ)证明

AE ? 平面 PBC ? 平面 AEC ? 平面 PBC .

(Ⅱ) BO ? 平面 PAC 取 PO 的中点 G ,连 EG , 则 EG // BO ? EG ? 平面 PAC , 连 AG , ?EAG 就是直线 AE 与平面 PAC 所成角,

1 1 PB ? 2 , GE ? OB ? 1 , 2 2 GE 1 ? , 所以 sin ?EAG ? AE 2 AE ?
AE 与平面 PAC 所成角为

? . 6

20.解: (Ⅰ)设函数 y ? f ( x) 的图象上任一点 Q( x0 , y0 ) 关于原点的对称点为 P( x, y) ,

? x0 ? x ? 2 ? 0 ? x0 ? ? x 则? 即? ∵点 Q( x0 , y0 ) 在 y ? f ( x) 上, y ?y ? 0 ? 0 ? y0 ? ? y ? 2
∴ ? y ? (? x) ? (? x) .即 y ? ? x ? x ,故 g ( x) ? ? x ? x .
2 2 2

(Ⅱ) h( x) ? ?(1 ? ? ) x ? (1 ? ? ) x ? 1.
2

①当 ? ? ?1 时, h( x) ? 2 x ? 1在[-1,1]上是增函数∴ ? ? ?1 , ②当 ? ? ?1 时,对称轴为 x ?

1? ? , 2(1 ? ? )

(ⅰ)当 ? ? ?1 时,

1? ? ? ?1 ,解得 ? 3 ? ? ? ?1 , 2(1 ? ? )
1 1? ? ? 1 ,解得 ? 1 ? ? ? ? . 3 2(1 ? ? )

(ⅱ)当 ? ? ?1 时,

综上, ? 3 ? ? ? ?

1 . 3

21.解: (Ⅰ)因为离心率 e ?

2 c 2 2 2 2 ,所以 ? ,而 c ? a ? b , 2 a 2

所以

a 2 ? b2 1 ? ,即 a 2 ? 2b 2 ① a2 2
x y ? ?1, a ?b

设过点 (0,?b) , ( a,0) 的直线方程为 即 bx ? ay ? ab ? 0 , 因为直线与原点的距离为 2 ,

a 2b 2 ? 2 ,整理得: 2 ? 2② 所以 a ? b2 a2 ? b2
由①②得 ?

ab

?a 2 ? 6 , 2 ?b ? 3

所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1. 6 3

(Ⅱ)因为直线 OP : y ? k1 x , OQ : y ? k2 x ,与圆 M 相切,由直线和圆相切的条件:

d ? r ,可得

k1 x 0 ? y 0 1 ? k12

?

k 2 x0 ? y 0
2 1 ? k2

? 2,
2

2 平方整理,可得 k12 (2 ? x0 ) ? 2k1x0 y0 ? 2 ? y0 ? 0 , 2 2 k2 (2 ? x0 ) ? 2k2 x0 y0 ? 2 ? y0 ? 0 , 2 所以 k1 , k2 是方程 k 2 (2 ? 2x0 ) ? 2kx0 y0 ? 2 ? y0 ? 0 的两个不相等的实数根,
2 x y 2 ? y0 ,因为点 R( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,所以 0 ? 0 ? 1 ,即 k1k 2 ? 2 6 3 2 ? x0
2 2

2

2

y0 ? 3(1 ?

2

1 2 x ) ? 3 ? x0 ,所以 k1k 2 ? 2 6

2 0

2?3?

1 2 x0 2 ? ? 1 为定值; 2 2 2 ? x0

22.解: (Ⅰ)由 a1 ? 1 , an ?1 ?

an 得 an ? 0(n ? N ) , a ?1
2 n

an ?1 ? an ?

3 an ? an ? a ? ? 0 ,所以 an?1 ? an ; n 2 2 an ?1 an ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 0 ? an ? 1 ,又 an ?1 ? 所以 an ? 由 an ?1 ?

a 1 1 an 1 ? 即 an ?1 ? an , ,∴ n ?1 ? 2 2 a ?1 an an ? 1 2
2 n

1 1 1 1 1 an ?1 ? ( ) 2 an ? 2 ? ... ? ( ) n ?1 a1 ? n ,即 an ? n ?1 . 2 2 2 2 2

an 1 1 1 1 得 ? an ? ,∴ ? ? an , a ? 1 an ?1 an ?1 an an
2 n



1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? a1 ? 1 , ? ? a2 ? , ? ? a3 ? ( ) 2 ? a2 a1 a3 a2 2 a4 a3 2

1 1 1 ? ? an?1 ? ( ) n ?2 , an an?1 2
累加得

1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ... ? ( ) n ? 2 ? 2 ? ( ) n ? 2 ,而 a1 ? 1 , 2 2 an a1 2

所以

3 ? 2 n?2 ? 1 3 ? 2 n ? 4 2n 1 1 ? a ? ,所以 . ? 3 ? ( ) n?2 ? n 3 ? 2n ? 4 an 2 2 n?2 2n 1 2n ? a ? . n 2 n ?1 3 ? 2n ? 4

综上得


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