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2016届瑞金一中高三上学期数学理科周练试卷4

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2016 届瑞金一中高三上学期数学(理)周练 4

9.9

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每个题有且只有一个正确答案) 1? x ? 0} ,则 A ? B ? ( ) 1.已知集合 A ? {x | x ? 2k ? 1, k ? Z }, B ? {x | 3? x A. [?1,3] B. {?1,1,3} C. [?1,1] D. {?1,1} i 2. i 是虚数单位, ?( ) 3 ? 3i
1 3 1 3 1 3 1 3 B. ? C. ? ? i i i D. ? i 2 6 4 12 4 12 2 6 ? ? ? ? 3.已知向量 a ? (1, 2 x), b ? (4, ? x) ,则“ x ? 2 ”是“ a ? b ”的( )
A. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4、已知直线 m, l ,平面 ? , ? 且 m ? ? , l ? ? 给出下列命题:①若 ?∥? ,则 m ? l ;②若 ? ? ? ,则 m∥ l ; ③若 m ? l ,则 ? ? ? ;④若 m∥ l ,则 ? ? ? 。其中正确的命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3
2

D.4
2

5、在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a ? b ? 3bc ,

sin C ? 2 3 sin B ,则 A ? (
A. 30
0

) C. 120
0

B. 60

0

D. 150

0

6.阅读程序框图,若 m, n 分别是双曲线 出 a , i 分别是( A. a ? 8, i ? 3 ) B. a ? 8, i ? 4

x2 y 2 ? ? 1 的虚轴长和实半轴长,则输 36 4
D. a ? 12, i ? 4

C. a ? 12, i ? 3

7、在下列四个函数中,满足性质: “对于区间 (1, 2) 上的任意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| x1 ? x2 | 恒成立”的只有(
A. f ( x ) ? 8.函数 y ?


x

1 x

B. f ( x) ?| x |

C. f ( x) ? 2

D. f ( x) ? x

2

x ? 2 sin x 的图象大致是( 2

)

2 9.已知函数 f ( x) ? A cos(?x ? ?) 的图象如图所示, f ( ) ? ? ,则 f (0) ? ( 3

? 2

)

A. 1 2

B. 2 3

C. ? 1 2

D. ? 2 3

10.函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d ( b, c, d 均为常数) , 若 f ( x ) 在 x ? x1 时取得极大值且 x1 ? (0,1) ,在 x ? x2 时

1 2 2 ) 2 37 37 A. ( 5,5) B. (5, 25) C. ( , 25) D. ( ,5) 4 2 ?e x ? 2, x ? 0 11、已知函数 f ( x) ? ? ,则下列关于函数 y ? f [ f (kx) ? 1] ? 1(k ? 0) 的零点个数的判断正确的是 ? ln x, x ? 0
取得极小值且 x2 ? (1, 2) ,则 (b ? ) ? (c ? 3) 的取值范围是( ( ) A. 当 k ? 0 时,有 3 个零点;当 k ? 0 时,有 4 个零点 B. 当 k ? 0 时,有 4 个零点;当 k ? 0 时,有 3 个零点 C. 无论 k 为何值,均有 3 个零点 D. 无论 k 为何值,均有 4 个零点 12、已知 a 为常数,函数 f ( x ) ? x ? ln x ? ax ? 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则( A. C. )

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? D. 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.记直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角为 ? ,曲线 y ? ln x 在 (6,ln 6) 处切线的倾斜角为 ? ,则 tan(? ? ? ) ?
14.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰 直角三角形,正视图为直角梯形,则此几何体的体积 V= . 15. 将函数 f ( x) ? lg x 的图象向左平移 1 个单位, 再将位于 x 轴下方的图象沿 x 轴 翻折得到函数 g ( x) 的图象,若实数 m, n(m ? n) 满足 g (m) ? g (?



g (10m ? 6n ? 21) ? 4lg 2 ,则 m ? n ?
2

n ?1 ) n?2



16、已知曲线 C : y ? 2 x ? a 在点 Pn (n, 2n ? a )( a ? 0, n ? N )处的切线 ln 的斜率为 kn , 直线 ln 交 x 轴,y 轴分别于点 An ( xn , 0) ,Bn (0, yn ) , 且 x0 ? y0 . 给 出以下结论: ① a ? 1; ②当 n ? N* 时, yn 的最小值为 ③当 n ? N* 时, kn ?

5 ; 4

2 sin

1 ; 2n ? 1

④当 n ? N* 时,记数列 {kn } 的前 n 项和为 S n ,则 S n ? 其中,正确的结论有

2( n ? 1 ? 1) .

(写出所有正确结论的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分;解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) x2 17、 (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x ) ? x e (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若存在 x ? 0 ,使 ln f ( x) ? ax 成立,求实数 a 的取值范围。 18. (本小题满分 12 分)已知单调递增的等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {an } 前 n 项的和为 Sn ,若数列 {bn } 满足 bn ? an ? log2 (Sn ? 2) ,试求数列 {bn } 前 n 项的和 Tn .
19、 (本小题满分 12 分)网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍 4 人积极参加网购,大家约定:每个人 通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物, 掷出点数为 5 或 6 的人去淘宝购物, 掷出点数小于 5 的人去京 东商城购物,且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物。 (1)求这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率; (2)用 ? ,? 分别表示这 4 个人中去淘宝网和京东商城购物的人数,记 X ? ? ?? ,求随机变量 X 的分布列和数 学期望 EX 。 20、 (本小题满分 12 分)
0 如 图 1 , 直角梯 形 ABCD 中 , AD ∥ BC, ?ABC ? 90 , AD ? AB ?

1 BC , E 是 底边 BC 上 的一 点, 且 2 EC ? 3BE . 现将 ?CDE 沿 DE 折起到 ?C1 DE 的位置,得到如图 2 所示的四棱锥 C1 ? ABED, 且 C1 A ? AB .
(1)求证: C1 A ? 平面 ABED; (2)若 M 是棱 C1 E 的中点,求直线 BM 与平面 C1 DE 所成角的正弦值.

C1

A

D
A

M D

B

E 图1

C B 图2 E

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln(2 ? x) ? ax . (Ⅰ)设曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 在 [0,1] 上的最小值。 22、 (本小题满分 12 分)已知抛物线 C1 : y 2 ? 4x 和 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点分别为 F1 , F2 ,点 P(?1, ?1) , 且 F1F2 ? OP ( O 为坐标原点) (1)求抛物线的方程; (2)过点 O 的直线交 C1 的下半部分于点 M ,交 C2 的左半部分于点 N ,求 ?PMN 的面积的最小值。

周练 4 答案 DBABA CACBB CD 13、 14、16 15、 ?

1 15

16、①③④ ??3 分

17.解(Ⅰ)定义域为 R, f ?( x) ?

? x( x ? 2) , x ? 0或x ? 2 时, f ?( x ) ? 0 ; 0 ? x ? 2 时, f ?( x ) ? 0 ex

f ( x ) 的减区间是 ( ??,0),(2, ??) ,增区间是 (0, 2) ?????4 分 2ln x ? x 2ln x ? x 2(1 ? ln x) (Ⅱ)由 ln f ( x ) ? ax 得: a ? ,设 g ( x) ? , ????6 分 , x ? 0 , g ?( x ) ? x x x2 所以当 0 ? x ? e 时, g ?( x ) ? 0 ;当 x ? e 时, g ?( x ) ? 0 ,所以 g ( x ) 在 (0, e) 上递增, 在 (e, ??) 上递减,?8 分

2 2 所以 a 的取值范围是 (??, ? 1) ?????10 分 ?1 e e 18、解: (I)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,∵a3+2 是 a2,a4 的等差中项,∴2(a3+2)=a2+a4, gmax ( x) ? g (e) ?
代入 a2+a3+a4=28, 得 a3=8, ∴ , 解之得 a1=2, q=2 或 , 又{an}单调递增, ∴ , bn ? (n ? 1) ? 2n ,
1 2 n n+1

(2)由 ∴ ∴ =

,∴

,∴ ,

=2+(2 +2 +…+2 )﹣(n+1) ? 2 ∴ .

1 2 ,去京东商城购 物的概率为 .设“这 4 个人 3 3 1 2 i i 4 ?i 中恰有 i 人去淘宝网购物”为事件 Ai (i ? 0,1, 2,3, 4) ,则 P ( Ai ) ? C4 ( ) ( ) (i ? 0,1, 2,3, 4) . 3 3 1 32 1 1 2 3 (Ⅰ)这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率 P ( A1 ) ? C4 ( ) ( ) ? .………5 分 3 3 81 (II)易知 X 的 所有可能取值为 0, 3, 4 . 16 1 17 0 1 0 2 4 4 1 4 2 0 P( X ? 0) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ( ) ? ? ? , 3 3 3 3 81 81 81 z 32 8 40 1 1 1 2 3 3 1 3 2 1 C1 P( X ? 3) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ( ) ? ? ? , 3 3 3 3 81 81 81 24 2 1 2 2 2 P( X ? 4) ? P( A2 ) ? C4 ( ) ( ) ? . ……8 分所以 X 的分布列是 3 3 81 M 0 3 4 X A 17 40 24 D P 81 81 81 17 40 24 8 ? 3? ? 4 ? ? . 随机变量 ξ 的数学期望 EX ? 0 ? ………12 分 81 81 81 3 E B 1 2 2 2 x 20、解: (1)设 AD ? AB ? BC ? 1 ,则 C1 A ? 1, C1 D ? 2 ? C1 A ? AD ? C1 D 2 1 3 5 ? AE 2 ? AB 2 ? BE 2 ? ∴ C1 A ? AD 又? BE ? , C1 E ? 2 2 4 9 2 2 2 ∴ C1 A ? AE ? ? C1 E ∴ C1 A ? AE 又 AD ∩ AE ? A ∴ C1 A ? 平面 ABED ?5 分 4 (2)由(1)知: C1 A ? 平面 ABED且 AB ? AD ,分别以 AB、AD、AC1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立 1 空 间 直 角 坐 标 系 , 如 图 则 B(1,0,0), C1 (0,0,1), E (1, ,0), D(0,1,0) ? M 是 C1 E 的 中 点 ∴ 2
19、.解 :依题意,这 4 个人中,每个人去淘宝网购物的概率为

y

1 1 1 M( , , ) 2 4 2

∴ BM ? ( ?

1 1 1 , , ) 2 4 2

?8 分

设平面 C1 DE 的法向量为 n ? ( x, y, z) 由?

1 DE ? (1,? ,0), C1 D ? (0,1,?1) 2
得 n ? (1,2,2) ???10 分

1 ? ? ? n ? DE ? 0 ?x ? y ? 0 即? 2 ?n ? C1 D ? 0 ? ? ? y?z ?0

令y?2

设直线 BM 与平面 C1 DE 所成角为 ? ,则 sin ? ?

| BM ? n |

| BM || n | 1 21、解: (Ⅰ)依题意有 x ? 2 , f ?( x ) ? a ? 过点 (1, f (1)) 的直线斜率为 a ? 1 , x?2 由已知可得, a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 ???? 2 分 1 (Ⅱ) f ?( x ) ? a ? ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 。所以 f ( x) 的减区间为 (??, 2) ? 4分 x?2 ax ? 2a ? 1 1 1 ? a[ x ? (2 ? )] ? ②当 a ? 0 时, f ?( x) ? x?2 a x?2 , 1 1 1 因为 2 ? ? 2 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ? ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 2 ? ? x ? 2 a a a 1 1 所以 f ( x) 的增区间为 (?? ,2 ? ) ,减区间是 ( 2 ? ,2) ????6 分 a a 1 1 (Ⅲ)①当 2 ? ? 0 ,即 0 ? a ? 时, f ( x) 在 [0,1] 上是减函,所以 f ( x) 的最小值为 f (1) ? a ?8 分 a 2 1 1 1 1 ②当 0 ? 2 ? ? 1 即 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (0,2 ? ) 上是增函数,在 ( 2 ? ,1) 是减函数 2 a a a 所以需要比较 f (0) ? ln 2 和 f (1) ? a 两个值的大小 ????9 分
因为 e ? 3 ? 2 ? e ,所以 ∴ 当
1 2 1 2

?

4 9

直线 BM 与平面 C1 DE 所成角的正弦值为

4 . 9

1 ? ln 3 ? ln 2 ? ln e ? 1 2

1 ? a ? ln 2 时最小值为 a ,当 ln 2 ? a ? 1 时,最小值为 ln 2 2 1 ③当 2 ? ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在 [0,1] 上是增函数,所以最小值为 ln 2 . ??11 分 a 综上,当 0 ? a ? ln 2 时, f ( x) 为最小值为 a 当 a ? ln 2 时, f ( x) 的最小值为 ln 2 ???12 分 ???? ? ???? ? ??? ? p p p p 22.解: (Ⅰ) F1 (1, 0) , F2 (0, ) ,∴ F1 F2 ? ( ?1, ) F1 F2 ? OP ? (?1, ) ? (?1, ?1) ? 1 ? ? 0 , 2 2 2 2 2 ?p?2 ???3 分∴ C2 的方程为 x ? 4 y . ???5 分

? y ? kx 4 4 2 , ) ,联立 ? 2 得 N (4k , 4k )(k ? 0) , ???7 分 2 k k ? y ? 4x ?x ? 4 y 4 2 2 4 从而 | MN |? 1 ? k | 2 ? 4k |? 1 ? k ( 2 ? 4k ) , k k 1 | k ? 1| 4 | k ?1| 点 A 到直线 MN 的距离 d ? ,进而 S?PMN ? ? ? 1 ? k 2 ( 2 ? 4k ) ???9 分 2 2 2 1? k k 1? k
(Ⅱ)联立 ?
2

? y ? kx

得M(

(1 ? k )(1 ? k 3 ) 2(1 ? k ) 2 (1 ? k ? k 2 ) 1 1 1 ? ? 2(k ? ? 2)(k ? ? 1) 令 t ? k ? (t ? ?2) , 2 2 k k k k k 有 S?PMN ? 2(t ? 2)(t ? 1) , ???11 分 当 t ? ?2 ,时 k ? ?1 ,即当过原点直线为 y ? ? x 时,△ PMN 面积取得最小值 8 .???12 分 ?2


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