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东城区2014-2015第一学期期末数学统练理科答案3.0

时间:2015-01-22

东城区 2014-2015 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)A (5)D (2)A (6)D (3)B (7)A (4)C (8)B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) y 2 ? 2 x (12) ? (10) 11 (13) 1 (11) 4 , 3 3 (14)

1 2

4(2 ? 3) 3

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 1 , 所以 ? ? 2 . 当x ?

T 2? ?? ? ? ? ? ,T ? ? . 4 3 12 4

????2 分

2? 2? ? ? ) ? ?1 , 时, f ( x) ? ?1 ,可得 sin(2 ? 3 3 ? ? ,所以 ? ? . 2 6 ? ). 6
????5 分

因为 | ? |?

所以 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? sin(2 x ?

??????6 分

? ), 6 ? 个单位长度得到 6

将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

? ? ? y ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) 的图象, 6 6 6
所以 g ( x) ? sin(2 x ? ) . 因为 0 ? x ? 当 2x ? 当 2x ?

? 6

??????10 分

? ? ? 5? ,所以 ? ? 2 x ? ? . 2 6 6 6

? ? ? ? ,即 x ? 时, g ( x) 有最大值,最大值为1 ; 6 2 3 ? ? 1 ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 有最小值,最小值为 ? .?13 分 6 6 2

1

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由 a2 ? 3 , a5 ? 6 得 6 ? 3 ? 3d . 解得 d ? 1 . 所以 an ? a2 ? (n ? 2)d ? 3 ? (n ? 2) ? n ? 1 . 所以数列 {an } 的通项公式为: an ? n ? 1, n ? N* . 由于 {bn ? 2an } 是公比为 3 等比数列,且 b2 ? 2a2 ? 9 , 所以 bn ? 2an ? (b2 ? 2a2 ) ? 3n?2 ? 3n . 从而 bn ? 2an ? 3n ? (2n ? 2) ? 3n , n ? N* . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 2an ? 3n ? (2n ? 2) ? 3n . 数列 {2n ? 2} 的前 n 项和为 n(n ? 3) , 数列 {3n } 的前 n 项和为 ?????6 分

3 n (3 ? 1) . 2
2

所以数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? n ? 3n ? (17) (共 14 分)

3 n (3 ? 1) . ?????13 分 2

解: (Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , 所以 PA ? BC . 因为 BC ? AB , PA 所以 BC ? 平面 PAB . 所以 AM ? BC . 因为 PA ? AB , M 为 PB 的中点, 所以 AM ? PB . 又 PB

AB ? A ,

BC ? B

所以 AM ? 平面 PBC .???????????5 分

2

(Ⅱ)如图,在平面 ABC 内,作 AZ ∥ BC ,则 AP, AB, AZ 两两互相垂直, 建立空间直角坐标系 A ? xyz .

z
C

D A B y
M

P

x
则 A(0,0,0), P(2,0,0), B(0, 2,0), C (0, 2,1) , M (1,1, 0) .

AP ? (2,0,0) , AC ? (0, 2,1) , AM ? (1,1,0) .
设平面 APC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

? ? x ? 0, ?n ? AP ? 0, ,即 ? ? ?2 y ? z ? 0. ? ?n ? AC ? 0,
令 y ? 1 ,则 z ? ?2 . 所以 n ? (0,1, ?2) . 由(Ⅰ)可知 AM ? (1,1,0) 为平面 BPC 的法向量, 设 n, AM 的夹角为 ? ,则 cos ? ? 因为二面角 A ? PC ? B 为锐角, 所以二面角 A ? PC ? B 的余弦值为

10 . 10

10 .??????????10 分 10

(Ⅲ)设 D (u, v, w) 是线段 PC 上一点,且 PD ? ? PC(0 ? ? ? 1) . 即 (u ? 2, v, w) ? ? (?2, 2,1) . 所以 u ? 2 ? 2? , v ? 2? , w ? ? . 所以 BD ? (2 ? 2?, 2? ? 2, ? ) . 由 BD ? AC ? 0 ,得 ? ? 因为

4 . 5

4 ? [0,1] ,所以在线段 PC 上存在点 D ,使得 BD ? AC . 5

3

此时, (18) (共 14 分)

PD 4 ?? ? . PC 5

????????????14 分

解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f '( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) .??????2 分 x2

(Ⅰ)当 a ? 2 时, f '(1) ? ?1 , f (1) ? 0 . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 .??5 分 (Ⅱ) f '( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) , x ? (0, ??) . x2 (ax ? 1)( x ? 2) 1 1 ? 0 ,得 x1 ? 2 , x2 ? ? 2 . 时,由 f '( x) ? 2 x 2 a
1 a 1 a

当0 ? a ?

所以在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上, f '( x) ? 0 . 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . 当a ?

1 a

1 a

( x ? 2) 2 1 时, f '( x) ? . 2 2x2
(ax ? 1)( x ? 2) 1 1 1 ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 2 ? . 时,由 f '( x) ? 2 x 2 a a
1 a 1 a

故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . 当a ?

所以在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上, f '( x) ? 0 . 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) .?10 分 (Ⅲ)由题意存在 x ? [ , e ] ,使不等式 ax ? (2a ? 1) ln x ?
2

1 a

1 a

1 e

2 2 ? ?2a ln x ? 成立, x x

即存在 x ? [ , e ] ,使 a ?
2

1 e

ln x 成立, x

只需 a 大于或等于 令 h( x ) ?

ln x 1 2 在区间 [ , e ] 的最小值. x e

ln x 1 ? ln x , h '( x) ? . x x2

在区间 ( , e) 上, h '( x) ? 0 , h( x) 为增函数; 在区间 (e,e ) 上, h '( x) ? 0 , h( x) 为减函数.
2

1 e

4

所以 h( x) 在 [ , e ] 的最小值为 h ( ) 与 h(e 2 ) 中的较小者.

1 e

2

1 e

1 2 h( ) ? ?e , h(e 2 ) ? 2 , e e
所以 h( x) 在 [ , e ] 的最小值为 h( ) ? ?e .
2

1 e

1 e

所以 a ? ? e . 所以 a 的取值范围为 [?e, ??) . (19) (共 13 分) 解(Ⅰ)设椭圆 C 的标准方程为 ????14 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 ?c 由题意知 ? ? ,解得 a ? 2 . a 2 ? ?b ? 1 ?
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1.???????????5 分 4
1 ( x ? m) . 2

(Ⅱ)设 P(m , 0) ( ? 2 ? m ? 2 ) ,由已知,直线 l 的方程是 y ?

1 ? y ? ( x ? m), ? ? 2 2 2 由? 2 消 y 得 2 x ? 2mx ? m ? 4 ? 0 (*) . x 2 ? ? y ? 1, ? ?4
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 、 x2 是方程(*)的两个根,

m2 ? 4 所以 x2 ? x2 ? m , x1 x 2 ? . 2
2 2 所以 | PA | 2 ? | PB | 2 ? ( x1 ? m) 2 ? y1 ? ( x2 ? m) 2 ? y2

1 1 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 4 4

5 ? [( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ] 4
5 2 ? [ x12 ? x2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m 2 ] 4

5 ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2m 2 ] 4

5

5 ? [m 2 ? 2m 2 ? (m 2 ? 4) ? 2m 2 ] ? 5 (定值) . 4
所以 | PA | 2 ? | PB | 2 为定值. (20) (共 13 分) 解: (Ⅰ)数列 A : 2,6, 4 不能结束. 各数列依次为 4, 2, 2 ; 2,0, 2 ; 2, 2,0 ; 0, 2, 2 ; 2,0, 2 ;?? 从而以下重复出现,不会出现所有项均为 0 的情形. (Ⅱ)因为 a ? b ,所以 a 是数列 B 中最大项. 所以有 a1 ? a2 ? a3 或 a3 ? a2 ? a1 . ?4 分 ????????????13 分

?b ? a1 ? a2 ? 当 a1 ? a2 ? a3 时,可得 ? 2 ? a2 ? a3 , ?a ? a ? a 1 3 ?
因为数列 B 的各项和为 2014 , 所以 a ? b ? 2 ? 2014 . 又 a ? b ? 2, 得 a ? 1007 , b ? 1005 .另一情况相同. ????8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,数列 B : b, 2, b ? 2 经过 6 次“ T 变换”后可得:b ? 12, 2, b ? 10 , 得到形如“ b' , 2, b' ? 2 ”的数列,其中最大项减少 12 . 因为 1007 ? 12 ? 83 ? 11 , 所以数列 B 经过 6 ? 83 ? 498 次变换后变为: 9, 2,11 . 继续变换得: 7,9, 2 ; 2,7,5 ; 5, 2, 3 ; 3,1, 2 ; 2,1,1 ; 1, 0,1 ;

1,1, 0 ; 0,1,1 ; 1, 0,1 ;??;以下重复出现.
故经过 498 ? 6 ? 504 次变换后,使得数列各项之和最小. 即 k 的最小值为 504 . ????13 分

6


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