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福建省福州一中2014届高三5月校质检 文数 Word版含答案

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福建省福州一中数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 (满分 150 分 考试时间 120 分钟) 参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 s= 锥体体积公式 V=

1 ? ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? ? n

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积,h 为高 其中 R 为球的半径 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中有且只 有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.设复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 2 ? bi , 若 z1 ? z2 为纯虚数,则实数 b = A. 2 A. ( x ? )? ? 1 ? B. ?2 C.1 D. ?1

2.下列导数运算正确的是

1 x

1 x2

B. ( x2 cos x)? ? ?2sin x D. (log 2 x)? ?

C. (3x )? ? 3x log3 e

1 x ln 2

3.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负数,则它 的公差为 A.-2 B.-3 C.-4 D.-6

4.运行下面的程序,如果输入的 n 是 6,那么输出的 p 是 A. 120 B. 720 C. 1440 D. 5040

5.将一个总体分为 A, B, C 三层,其个体数之比为 523,若用分层抽样 抽取容量为 200 的样本,则应从 C 中抽取的个体数是 A. 20 6.将函数 y ? cos( x ? B. 40 C. 60 D. 80

?
3

) 的图像上各点的横坐标伸长到原的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移

? 个单位,所得函数图像的一条对称轴为 6 ? ? ? A. x ? B. x ? C. x ? 9 8 2
7. 已知函数 f ( x) ? ?

D. x ? ?

? ??2 x(?1 ? x ? 0) , 则下列图象错误的是 x (0 ? x ? 1) ? ?

8.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点 E 在 A 1 D 上且 A 1E ? 2ED ,点 F 在 AC 上且

CF ? 2 FA , 则 EF 与 BD1 的位置关系是
A. 相交不垂直 C. 异面 B. 相交垂直 D. 平行

9.已知 A、B 为平面内两定点, 过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线,垂足为 N, 若 MN ? ? AN ? NB , 其中 ? 为常数, 则动点 M 的轨迹不可能是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线
2

10.已知 F 1,F 2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点, P 为双曲线右支上一点, a 2 b2

2 2 2 满足 PF2 ? F 1 与圆 x ? y ? a 相切, 则该双曲线的离心率是 1F2 , 直线 PF

A.

4 3

B.

5 3

C.

5 4

D.以上都不正确

11.已知 a ? b ? 2 , 现有下列不等式 ① b ? 3b ? a ;
2

②1 ?

4 1 1 ? 2( ? ) ; ab a b

③ ab ? a ? b ;

④ loga 3 ? logb 3 ; 其中正确的是 A. ②④ B.①② C.③④ D.①③ 12.设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k ? A , 如果 k ? 1 ? A 且 k ? 1 ? A , 那么称 k 是 A 的 一个“孤立元素”. 现给定集合 S ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? 由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不 含“孤立元素”的集合共有多少个 A. 6 B. 7

C. 8

D. 9

第Ⅱ 卷(非选择题
4

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.式子 log3

27 的值为__________________________. 3

14.设命题 p :

2x ?1 ? 0 . 命题 q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 . 若 p 是 q 的充分不必要条 x ?1 1 件.则实数 a 的取值范围是____________________________. [0, ] 2

?x ? y ? 4 ? 0 ? 15.设点 ( a, b) 是区域 ? x ? 0 内的随机点, ? y?0 ?
2 记 A ? 关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax ? 4bx ? 1(a ? 0)在[1, ??)上是增函数 ,

?

?

则事件 A 发生的概率是_____________________________. 小值时,则 cos ?PAB 的值为________________.

1/3

16.如图所示, △ABC 是边长为 1 的正三角形,且点 P 在边 BC 上运动. 当 PA ? PC 取得最

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 中, Sn 是它前 n 项和,设 a6 ? 2, S10 ? 10 . (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)若从数列 {an } 中依次取出第 2 项,第 4 项,第 8 项,……,第 2 项,……,按取出的 顺序组成一个新数列 ?bn ? ,试求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
n

18.(本小题满分 12 分) 某学校甲、乙两位学生参加数学竞赛的培训,在培训期间,他们参加 5 次预赛,成绩记录如下

(I)用茎叶图表示这两组数据; (II)现要从甲、乙两人中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参 赛更合适? 并说明理由. 19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且 ? A 满足 2cos A ?2 3 sin A cos A
2

? ?1 ,
(I)若 a ? 2 3, c ? 2 , 求 ?ABC 的面积; (II)求

b ? 2c 的值. a ? cos(600 ? C )

20.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 3 的正方形,平面 PCD⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点. (I)求证 PA / /平面BDE ; (II)若 PD ? PC ?

2 DC ,求证平面 PDA ? 平面 PCB ; 2

(III)若侧棱 PD ? 底面ABCD ,PD=4.求 ?PAD 以 PA 为轴旋转所围成的几何体体积.

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,直线 (m ? 3) x ? (1 ? 2m) y ? m ? 3 ? 0(m ? R) a2 b2

恒过的定点 F 为椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到焦点的最大距离为 3. (I)求椭圆 C 的方程; (II)若直线 MN 为垂直于 x 轴的动弦,且 M , N 均在椭圆 C 上,定点 T (4,0) ,直线

MF 与直线 NT 交于点 S . ① 求证:点 S 恒在椭圆 C 上;

② 求 ?MST 面积的最大值.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? x ? 2a ln x 有两个极值点 x1 , x2 且 x1 ? x2 2

(I)求实数 a 的取值范围,并写出函数 f ( x ) 的单调区间; (II)判断方程 f ( x) ? (a ? 1) x 根的个数并说明理由; (III)证明 f ( x2 ) ?

?3 ? 2ln 2 . 8

高三 (文科)数学校质检试卷答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案

A

D

C

B

C

C

B

D

C

B

D

A

第Ⅱ 卷(非选择题
13.

共 90 分)
__ [0, ] _____

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.

?

1 4

_________ ;

14.

1 2

;

15.

1 3

;

16.

____

5 13 ______ . 26

三、解答题本大题共 6 小题,满分 74 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)设数列 {an }首项, 公差分别为 a1 , d .则由已知得

a1 ? 5d ? 2

①, 10 a1 ?

10 ? 9 d ? 10 2



…………4 分

联立①②解得 a1 ? ?8, d ? 2, 所以an ? 2n ? 10 (Ⅱ) bn ? a2n ? 2 ? 2 ? 10 ? 2
n n?1

(n ? N ? ) …………6 分
………………9 分

? 10(n ? N ? ),

4(1 ? 2 n ) ? 10n ? 2 n? 2 ? 10n ? 4 所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1? 2
18. (本小题满分 12 分) 解 (1)作出的茎叶图如下

………… 12 分

…………4 分 (2)派甲参赛比较合适. 理由如下

1 x甲 ? ( 8 2? 8 2 ? 7? 9 9? 5 8? 7 ………… ) 85 5分 5 1 x乙 ? ( 9 5? 7 5 ? 8? 0 9? 0 8? 5………… ) 85 6分 5 1 2 s甲 ? [(79 ? 8 25 ? ) (? 8 2 2 8? 5 ) ?( 8 22 ?8 5 ) ? 2 (87 ? 85 ?) 2 ( 9 ? 5 8 8分 5) ] …… 5 1 2 s乙 ? [(75 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (85 ? 85) 2 ? (90 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] ? 50 ……10 分 5

31.6

∵ x甲 ? x乙 ,

2 2 s甲 ? s乙 ;

∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. ……12 分

19. (本小题满分 12 分) 解 (1)由已知 2cos A ?2 3 sin A cos A ? ?1 , 可得 sin(2 A ?
2

?
6

) ?1 ,

∵0 ? A ? ?

?2A ?

?
6

? (?

? 11?
6 , 6

) ?? 2 A ?

?
6

?

?
2

即 ?A ?

?
3

.………… 2 分

在 ?ABC 中,由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? 4 ? 12 1 ? ? 2bc 4b 2

解得 b ? 4 或 b ? ?2 (舍去); ………… 4 分 ∴ S?ABC ?

1 1 3 bc sin A ? ? 4 ? 2 ? ? 2 3 .………… 6 分 2 2 2

2? sin( ? C ) ? 2sin C 2 R sin B ? 2 ? 2 R sin C sin B ? 2sin C 3 ? ? (2)原式= …… 9 分 2 R sin A ? cos(600 ? C ) sin A ? cos(600 ? C ) sin A ? cos(600 ? C )

3 3 cos C ? sin C 3 cos(600 ? C ) 2 ? ? 2 ………… 12 分 = 2 3 3 0 0 cos(60 ? C ) cos(60 ? C ) 2 2
20. (本小题满分 12 分) 解 (1)连接 AC 交 BD 于 O, 连接 EO. ∵ABCD 是正方形, ∴O 为 AC 中点, 已知 E 为 PC 的中点, ∴OE//PA. ………2 分 又∵OE ? 平面 BDE, PA ? 平面 BDE, ∴PA//平面 BDE. …………3 分 (2)在 ?DPC 中, PD ? PC ?

2 DC , 2

? PD 2 ? PC 2 ? DC 2 , 即 DP⊥PC. ……4 分

又已知 平面 PCD⊥底面 ABCD, 平面 PCD∩平面 ABCD=DC BC⊥DC; ∴BC⊥平面 PDC, PD ? 平面 PDC, ∴PD⊥BC, ………… 6 分 BC 与 PC 相交且在平面 PBC 内. ∴PD⊥平面 PCB, PD ? 平面 PDA, ∴平面 PDA⊥平面 PCB. ………… 8 分 (3)过 D 作 PA 的垂线.垂足为 H,则几何体为以 DH 为半径,分别以 PH,AH 为高的两个圆锥 的组合体. …………9 分 侧棱 PD⊥底面 ABCD, ∴PD⊥DA, PD=4, DA=DC=3, ∴PA=5

PD ? DA 4 ? 3 12 ? ? ,…………10 分 PA 5 5 1 1 V ? ? DH 2 ? PH ? ? DH 2 ? AH 3 3 …………12 分 1 1 12 2 48 2 ? ? DH ? PA ? ? ? ( ) ? 5 ? ? 3 3 5 5 DH ?
21. (本小题满分 12 分) 解: (1)直线 (m ? 3) x ? (1 ? 2m) y ? m ? 3 ? 0(m ? R) 可化为

m( x ? 2 y ? 1) ? 3x ? y ? 3 ? 0 ,……1 分
? F (1,0) ,
? c ? 1 , ………… 3 分

由?

? x ? 2 y ?1 ? 0 ? x ? 1 得? , ?3x ? y ? 3 ? 0 ? y ? 0

x2 y2 ? ? 1. ………4 分 4 3 2 2 (2)① 设直线 MN 的方程为 x ? s ,则可设 M ( s, t ), N ( s,?t ) ,且 3s ? 4t ? 12. t ?t ( x ? 1) ,直线 NT 的方程为 y ? ( x ? 4). …… 6 分 直线 MF 的方程为 y ? s ?1 s?4 5s ? 8 3t , ) ,…… 7 分 联立求得交点 S ( 代入椭圆方程 3x 2 ? 4 y 2 ? 12得, 2s ? 5 2s ? 5 2 2 3(5s ? 8) ? 36t ? 12(2s ? 5)2 ,化简得: 3s 2 ? 4t 2 ? 12. ……………… 8 分 ? 点 S 恒在椭圆 C 上. ② 直线 MS 过点 F (1,0) ,设其方程为 x ? m y ? 1 , M ( x1 , y1 ), S ( x2 , y2 ). ? x ? m y?1 2 2 联立 ? 2 得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 , 2 ?3x ? 4 y ? 12 ? 6m ?9 ? y1 ? y2 ? , y1 y2 ? . ………… 9 分 2 3m ? 4 3m 2 ? 4
2 2 2 又 a ? c ? 3 ,? a ? 2 ,? b ? a ? c ? 3. ? 椭圆的方程为

S ?MST

1 3 m2 ? 1 2 , ? ? 3 y2 ? y1 ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 18 2 2 (3m 2 ? 4) 2
2

m2 ? 1 u 1 ? ? . 令 u ? m ? 1(u ? 1) ,则 2 2 2 1 (3m ? 4) (3u ? 1) 9u ? ? 6 u 1 1 ? 9u ? 在 [1,??) 上是增函数, ? 9u ? 的最小值为 10. u u 1 9 ? S ?MST ? 18 ? ? . ………………………………………12 分 4 2
22. (本小题满分 14 分) 解(Ⅰ)由题设知,函数 f ( x) 的定义域为 (0, ? ?) ,

2 a x 2 ? x ? 2a ? ;…………………1 分 x x 2 2 且 f ?( x) ? 0 有两个不同的根, ∴ x ? x ? 2a ? 0, 2a ? ? x ? x 且 ( x ? 0) 有两个交点. 1 1 1 1 2a ? ?( x 2 ? x ? ) ? ? ?( x ? ) 2 ? 有两个交点 4 4 2 4 1 1 1 求得 0 ? 2a ? , ? 0 ? a ? . ∴ a 的取值范围是 (0, ) .…………………3 分 4 8 8 1 1 ? 1 ? 8a ? 0, ? a ? 0 ). (也可利用判别式 ? ? 1 ? 8a ? 0, 即a ? ; 又 x1 ? 8 2 1 ? 1 ? 8a ∵ x1,2 ? ∴ 当0 ? x ? x1或x ? x2时,f ??x ? ? 0;当x1 ? x ? x2时,f ??x ? ? 0 2 1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ) 和( , ??) . ∴ f ( x ) 单调增区间为 (0, 2 2 f ?( x) ? x ? 1 ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a , ) ………………………5 分 2 2 1 2 (Ⅱ)由已知方程 f ( x) ? (a ? 1) x ? x ? x ? 2a ln x ? ax ? x =0 2 1 2 ∴令 t ( x) ? x ? (a ? 2) x ? 2a ln x , 2 2a x 2 ? (2 ? a) x ? 2a ( x ? a)( x ? 2) t ?( x) ? x ? (a ? 2) ? ? ? …………………7 分 x x x
单调减区间为 (

a ( a, 2) 2 (0, a ) 1 x t (a ) ? ? a 2 ? 2a ? 2a ln a ? 0 2 t ( x) + 0 0 t (2) ? ?2 ? 2a ? 2a ln 2 ? 0 极 极 t ( x) 大值 小值 x ? 0 时, t ( x) ? ?? ; x ??? 时, t ( x) ? ?? ; ∴ t ( x) 有且只有 1 个零点, ∴原方程有且只有一个根. ……………………9 分
(III)由(Ⅰ)可知 ? 并且由 x2 ?

(a, ??)
+

? x1 ? x2 ? 1 ? 2a ? (1 ? x2 ) ? x2 , ………………………10 分 x ? x ? 2 a ? 1 2

1 1 ? 1 ? 8a 得 x2 ? ( ,1) . ………………………11 分 2 2 1 1 1 ∵ f ( x) ? x 2 ? x ? 2a ln x = x 2 ? x ? x1 ? x2 ln x , f ( x2 ) ? x2 2 ? x2 ? ( x2 ? x2 2 ) ln x2 2 2 2

? f ?( x2 ) ? x2 ? 1 ? (1 ? 2 x2 ) ln x2 ?
1 2

2 1 x2 ? x2 ? (1 ? 2 x2 ) ln x2 , 其中 x2 ? ( ,1) ………13 分 2 x2

∴ f ?( x2 ) ? 0 , 函数 f ( x ) 在 ( ,1) 递增; ∴ f ( x) ? f ( ) ?

1 2

1 1 1 1 1 1 ?3 ? 2 ln 2 ? ? ? ( ? ) ? ln ? . ………………14 分 2 4 2 2 4 2 8


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