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8.47、空间中的平行关系

时间:2014-01-28


第47讲 空间中的平行关系

【学习目标】 掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质定理, 并能依据条件灵活应用.

【基础检测】 1. “直线 a∥平面 β”是“直线 a 至少平行于平面 β 内的一条直线”的( B ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】若 a∥β,则至少存在一条直线 b?β,使 得 a∥b;若直线 a 至少平行于平面 β 内的一条直线,则 a∥β 或者 a?β,故“直线 a∥平面β”是“直线 a 至 少平行于平面 β 内的一条直线”的充分不必要条件.

2.已知 a,b 为两条不同的直线,α,β 为两个不同 平面,则下列命题中正确的是( D ) A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 α∥β,a∥b,b?α ,则 a∥α C.若 a∥α,b?α ,则 a∥b D.若 a∥b,b∥α,a?α ,则 a∥α

【解析】对于 A,a 与 b 可能相交,也可能异面; 对于 B,a 也可能在 α 内;对于 C,a 与 b 也可能异面, 故选 D.

3.在空间中,a、b 是两条不同的直线,α、β 是两 个不同的平面,下列命题正确的是( D ) A.若 a∥α,b∥a,则 b∥α B.若 a∥α,b∥α,a?β ,b?β ,则 β∥α C.若 α∥β,b∥α,则 b∥β D.若 α∥β,a?α ,则 a∥β

【解析】A 中,由条件可以推出 b∥α 或 b?α;B 中,由条件可以推出 β∥α 或 α 与 β 相交;C 中,由条 件可以推出 b∥β 或 b?β,D 正确.

4.平面 α∥平面 β,直线 a?α ,点 P∈β,则过点 P 的直线中( C ) A.不存在与 a 平行的直线 B.不一定存在与 a 平行的直线 C.有且只有一条直线与 a 平行 D.有无数条与 a 平行的直线
【解析】由面面平行的性质定理知 C 正确,故选 C.

5.对于互不相同的直线 l,m,n 和平面 α,β,γ, 给出下列三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α ,m?β ,则 α∥β; ②若 α∥β,l?α ,m?β ,则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. ③ . 其中真命题为________

【知识要点】 1.直线与平面平行的判定 平面外 一条直线和这个 (1) 判定定理:如果 ___________ _________ , 那么这条直线和这个 平面内 的一条直线__________ 平行 平面平行.即 a∥b,a?α ,b?α ?a∥α . 平行 , (2)(面面平行的性质定理)如果两个平面________ 那么一个平面内的直线与另一个平面平行,即 α∥β,a?α ________________ ,则 a∥β.

2.直线与平面平行的性质 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平 交线 面和这个平面相交; 那么这条直线就和__________ 平行, 即 a∥α,a?β ,α ∩β =b,则___________ . a∥b 3.两个平面平行的判定 (1)判定定理:如果一个平面内有两条___________ 相交 直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (2)垂直于同一条___________ 的两个平面平行. 直线 平面 (3)平行于同一个___________ 的两个平面平行.

4.两个平面平行的性质 (1) 两 个 平 面 平 行 , 其 中 一 个 平 面 内 的 任意一条直线 必平行于另一个平面. _______________ (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么 交线 互相平行. 它们的___________ 垂直 (3)一条直线___________ 于两个平行平面中的一个 垂直 平面,它也___________ 于另一个平面.

一、直线与平面平行的判定和性质 例1已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是正三角形, 侧棱与底面垂直,点 D 是 A1C1 的中点,求证:BC1∥平 面 AB1D.

【解析】证法一:如图,连结 A1B,设 AB1∩A1B =O,则 O 为 A1B 的中点,连结 OD,则 OD 为△A1BC1 的中位线,∴OD∥BC1, ∵OD?平面 AB1D,BC1?平面 AB1D, ∴BC1∥平面 AB1D.

证法二: 延长 AD 与 CC1 的延长线交于 E, 连接 B1E. ∵D 为 A1C1 的中点,且 DC1∥AC, EC1 DC1 1 ∴ EC = AC =2, ∴EC1=C1C=BB1, 又 EC1∥B1B, ∴四边形 BB1EC1 是平行四边形, ∴BC1∥B1E, 又∵B1E?平面 AB1D,BC1?平面 AB1D, ∴BC1∥平面 AB1D.

证法三:取 AC 中点 E,连接 DE,BE,EC1. 由 AE 綊 DC1 知 AEC1D 为平行四边形, ∴AD∥C1E. 又∵DE 綊 CC1 綊 BB1, ∴四边形 BB1DE 为平行四边形, ∴BE∥B1D. ∴平面 AB1D∥平面 BC1E, 又 BC1?平面 BC1E,∴BC1∥平面 AB1D.

【点评】1.证明直线与平面平行,一般有以下几种 方法: (1)若用定义直接判定,一般用反证法; (2)用判定定理来证明,关键是在平面内找(或作)一 条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证 明过程; (3)应用两平面平行的一个性质,即两平面平行时, 其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.

〔变式题〕如图平面内两正方形 ABCD 与 ABEF, 点 M、N 分别在对角线 AC、FB 上,且 AM∶MC= FN∶NB,沿 AB 折成直二面角. (1)证明:折叠后 MN∥平面 CBE; (2)若 AM∶MC=2∶3, 在线段 AB 上是否存在一点 G,使平面 MGN∥平面 CBE?若存在,试确定点 G 的 位置.

【解析】(1)如图,设直线 AN 与 BE 交于点 H,连 接 CH, ∵△ANF∽△HNB, FN AN AM FN ∴NB=NH,又MC=NB, AN AM ∴NH=MC,∴MN∥CH. 又 MN?平面 CBE,CH?平面 CBE,∴MN∥平面 CBE. (2)存在,过 M 作 MG⊥AB,垂足为 G,连接 NG, 则 MG∥BC,∴MG∥平面 CBE. 又 MN∥平面 CBE,MG∩MN=M, ∴平面 MGN∥平面 CBE, 即 G 在 AB 线上,且 AG∶GB=AM∶MC=2∶3.

二、面面平行的判定和性质 例2如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中.求证:平面 A1BD∥平面 CB1D1.

【解析】证法一:∵A1BCD1 为矩形, ∴ A 1B ∥ D 1C . 又 D1C?平面 CB1D1,A1B? 平面 CB1D1, ∴A1B∥平面 CB1D1.同理,A1D∥平面 CB1D1. 又 A1B∩A1D=A1, ∴平面 A1BD∥平面 CB1D1. 证法二:AC 是 AC1 在底面 ABCD 上的射影. ∵AC⊥BD.∴AC1⊥BD. 同理可证,AC1⊥A1B. 又 A1B 与 BD 是平面 A1BD 上的两条相交直线, ∴AC1⊥平面 A1BD. 同理可证,AC1⊥平面 CB1D1. ∴平面 A1BD∥平面 CB1D1.

三、线面平行有关的探究问题 例3如图,在四棱锥 S-ABCD 中,SA=AB=AD= 2,SB=SD=2 2,底面 ABCD 是菱形,且∠ABC=60 °,E 为 CD 的中点. (1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2)侧棱 SB 上是否存在点 F, 使得 CF∥平面 SAE? 并证明你的结论.

【解析】(1)∵SA=AB=AD=2,SB=SD=2 2, 则有 SB2=SA2+AB2,SD2=SA2+AD2, ∴SA⊥AB,SA⊥AD,又 AB∩AD=A ∴SA⊥底面 ABCD, 1 1 ∴VS-ABCD=3S 四边形 ABCD×SA=3×2×2×sin 60° 4 3 ×2= 3 . (2)F 为侧棱 SB 的中点时,CF∥平面 SAE. 证法一:设 N 为 SA 的中点,连 NF,NE,FC, 则 NF 是△SAB 的中位线, 1 1 ∴NF∥AB 且 NF=2AB, 又 CE∥AB 且 CE=2AB, ∴CE∥NF 且 CE=NF,∴四边形 CENF 为平行四 边形, ∴CF∥NE,∵NE?平面 SAE,CF?平面 SAE, ∴CF∥平面 SAE.

证法二:设 M 为 AB 的中点,连 MF,MC,FC, 则 MF 是△SAB 的中位线, ∴MF∥SA,∵SA?平面 SAE,MF?平面 SAE, ∴MF∥平面 SAE. 同理,由 CM∥AE,得 CM∥平面 SAE. 又 MF∩MC=M,平面 FMC∥平面 SAE, 又∵CF?平面 FMC,∴CF∥平面 SAE.

备选题〕例4如图,P 为平行四边形 ABCD 所在平 面外一点,M、N 分别为 AB、PC 的中点,平面 PAD∩ 平面 PBC=l. (1)判断 BC 与 l 的位置关系,并证明你的结论; (2)判断 MN 与平面 PAD 的位置关系,并证明你的结论.

【解析】(1)BC∥l. ∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴BC∥AD. 又 BC?平面 PAD,AD?平面 PAD,∴BC∥平面 PAD. 又 BC ? 平 面 PBC , 平 面 PBC∩ 平 面 PAD = l.∴BC∥l. (2)MN∥平面 PAD.证明:取 CD 的中点 E, 连结 ME,NE. ∵M,N 分别为 AB,PC 的中点, ∴ME∥AD,NE∥PD. 又 ME?平面 PAD,NE?平面 PAD, ∴ME∥平面 PAD,NE∥平面 PAD,又 ME∩NE = E, ∴平面 MNE∥平面 PAD. 而 MN?平面 MNE,∴MN∥平面 PAD.

【点评】从本题中我们可以看出,解关于线面平行 问题的关键是:要在平面内找一直线与已知直线平行, 将问题转化为同一平面内的两直线平行问题来解决.

1.对线面平行,面面平行的认识一般按照“定义 ——判定定理——性质定理——应用”的顺序.其中定 义中的条件和结论是相互充要的,它既可以作为判定线 面平行和面面平行的方法,又可以作为线面平行和面面 平行的性质来应用. 2.在解决线面、面面平行判定时,一般遵循从“低 维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平 行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺 序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具 体条件而定,决不可过于“模式化” . 3.在应用有关定理、定义等解决问题时,应当注意 规范性训练,即从定理、定义的每个条件开始,培养一 种规范、严密的逻辑推理习惯,切不可只求目标,不顾 过程,或言不达意,出现推理“断层”的错误.

(2012 浙江)如图,在侧棱垂直底面的四棱锥 ABCD -A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥AB,AB= 2,AD=2, BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与 直线 AA1 的交点. (1)证明:(ⅰ)EF∥A1D1;(ⅱ)BA1⊥平面 B1C1EF; (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值.

【解析】(1)证明:(ⅰ)因为 C1B1∥A1D1,C1B1?平 面 ADD1A1, 所以 C1B1∥平面 A1D1DA. 又因为平面 B1C1EF∩平面 A1D1DA=EF, 所以 C1B1 ∥EF, 所以 A1D1∥EF. (ⅱ)因为 BB1⊥平面 A1B1C1D1,所以 BB1⊥B1C1. 又因为 B1C1⊥B1A1,所以 B1C1⊥平面 ABB1A1, 所以 B1C1⊥BA1. 在矩形 ABB1A1 中,F 是 AA1 的中点, 2 tan ∠ A1B1F = tan ∠ AA1B = 2 , 即 ∠A1B1F = ∠AA1B=45°, 故 BA1⊥B1F. 所以 BA1⊥平面 B1C1EF.

(2)解:设 BA1 与 B1F 交点为 H,连接 C1H. 由(1)知 BA1⊥平面 B1C1EF,所以∠BC1H 是 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角. 4 在矩形 AA1B1B 中,AB= 2,AA1=2,得 BH= . 6 4 在 Rt△BHC1 中,BC1=2 5,BH= ,得 6 BH 30 sin ∠BC1H=BC = 15 . 1 30 所以 BC1 与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是 15 .

【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系, 线面所成角等基础知识,同时考查空间想象能力.在证 明 EF∥A1D1 时,即用到了线面平行判定定理又用到了 线面平行性质定理.

1.两条直线 a、b 满足 a∥b,b?α ,则 a 与平面 α 的位置关系是( C ) A.a∥α B.a 与 α 相交 C.a 与 α 不相交 D.a?α

【解析】由直线与平面位置关系知 a∥α 或 a?α, 故选 C.

2.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线,l1,l2 是 平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一个充分而不必 要条件是( B ) A.m∥β 且 l1∥α B.m∥l1 且 n∥l2 C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l1

【解析】 当 m∥l1,n∥l2 时,α∥β.反之不一定成 立.故选 B.

3.下列命题中正确的个数是( A ) ①若直线 a 不在 α 内,则 a∥α; ②若直线 a 上有无数个点不在平面 α 内,则 a∥α; ③若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与 α 内的任意一条 直线都平行; ④若 l 与平面 α 平行,则 l 与 α 内任何一条直线都 没有公共点; A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】①②中 a 可与 α 相交,③中 l∥α 只能说明 有一系列的平行线与 l 平行,④正确,故选 A.

4.如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方 形,则在下列结论中,错误 的为( C ) .. A.AC⊥BD B.AC∥截面 PQMN C.AC=BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°

【解析】由题知 AC∥PQ∥MN,PN∥QM∥BD, 又截面 PQMN 为正方形,故 A,B,D 正确,选 C.

5.考察下列三个命题,在“________”处都缺少一 个条件.补上这个条件使其构成真命题(其中 l,m 为直 l?α 线,α,β 为平面),则此条件为_________ .

【解析】由线面平行的判定定理知,该条件为 l?α.

6.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不 同的平面,给出下列命题: ①若 m∥α,则 m 平行于 α 内的无数条直线; ②若 α∥β,m?α ,n?β ,则 m∥n; ③若 m?α ,n?α ,且 m∥β,n∥β,则 α∥β; ④若 α∥β,m?α ,则 m∥β. ①④ .(写出所有真命题的序号) 其中的真命题是_______ 【解析】由线面平行的定义及性质知①正确;对于 ②,m,n 可能平行,也可能异面,②错误;对于③,m, n 可以不相交, ③错误; 由面面平行的性质知④正确. 故 正确答案为①④.

7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、 G、M、N 分别是 B1C1,A1D1,A1B1,BD,B1C 的中点, 求证: (1)MN∥平面 CDD1C1; (2)平面 EBD∥平面 FGA.

【解析】(1)如图,连结 BC1,DC1, ∵四边形 BCC1B1 为正方形,N 为 B1C 的中点, ∴N 在 BC1 上,且 N 为 BC1 的中点. 1 又∵M 为 BD 的中点,∵MN 綊2DC1. 又 MN?平面 DCC1D1,DC1?平面 DCC1D1, ∴MN∥平面 CDD1C1. (2)连结 EF,则 EF 綊 AB. ∴四边形 ABEF 为平行四边形. ∴AF∥BE.又∵FG∥B1D1,B1D1∥BD, ∴FG∥BD.又∵AF∩FG=F,BE∩BD=B, ∴平面 EBD∥平面 FGA.

8.已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如下. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 是侧棱 PC 的中点,求证:PA∥平面 BDE.

【解析】(1)由该四棱锥的三视图可知, 该四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2, 1 2 ∴VP-ABCD=3SABCD·PC=3. (2)证明:连结 AC 交 BD 于 F, 则 F 为 AC 的中点, ∵E 为 PC 的中点, ∴PA∥EF, 又 PA?平面 BDE, EF?平面 BDE, ∴PA∥平面 BDE.


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