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2013年全国高中数学联赛一试试卷(完美WORD)

时间:2013-10-13


2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.
1.设集合 A = {2, 0,1, 3} ,集合 B = {x | - x ? A, 2 为____________.
??? ??? ? ? 2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 在抛物线 y 2 = 4 x 上,满足 OA ?OB - 4 ,F 是

x2

A} .则集合 B 中所有元素的和

抛物线的焦点. 则 S?OFA ?S?OFB

_____________.

3.在 ?ABC 中,已知 sin A = 10sin B sin C, cos A = 10cos B cos C ,则 tan A 的值为______. 4.已知正三棱锥 P - ABC 底面边长为 1 ,高为 2 ,则其内切球半径为________. 5.设 a, b 为实数,函数 f ( x) = ax + b 满足:对任意 x ? [0, 1] ,有 f ( x ) ? 1 . 则 ab 的最 大值为_____________. 6.从 1, 2, ?, 20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为__________. 7.若实数 x, y 满足 x - 4 y = 2 x - y ,则 x 的取值范围是____________. 8.已知数列 {an } 共有 9 项,其中 a1 = a9 = 1 ,且对每个 i ? {1, 2, ?, 8} ,均有
禳 ai + 1 镲 ? 镲 1, 2, 睚 ai 镲 镲 铪 1 ,则这样的数列的个数为__________. 2

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分,解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
9. (本题满分 16 分)给定正数 {xn } 满足 Sn ? 2Sn- 1 , n 证明:存在常数 C > 0 ,使得
2, 3, ? ,这里 Sn = x1 + ? + xn .

xn 匙C 2n , n = 1, 2, ? .
10. 本题满分 20 分) ( 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆的方程为

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) , a 2 b2

A1、A2 分别为椭圆的左、右顶点, F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点, P 为椭圆上不同于 A1 和

A2 的任意一点. 若平面中两个点 Q、R 满足 QA1 ^ PA , QA2 ^ PA2 , RF ^ PF , RF2 ^ PF2 ,试 1 1 1

确定线段 QR 的长度与 b 的大小关系,并给出证明. 11. (本题满分 20 分)求所有的正实数对 (a, b) ,使得函数 f ( x) = ax 2 + b 满足:对任意 实数 x, y ,有 f ( xy) + f ( x + y)
f ( x) f ( y ) .


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