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10-多重积分习题课-41页PPT精选文档_图文

时间:2019-09-05

一、主要内容

定义 定义



几何意义 几何意义



重 积

性质 性质







计算法 计算法



应用 应用

1、二重积分的定义

定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数,将

闭区域 D 任意分成n 个小闭区域?? 1 ,?? 2 , ? ,

?? n,其中?? i 表示第i 个小闭区域,也表示它的面积,

在每个?? i 上任取一点(?i ,?i ) ,

作乘积 f (?i ,?i )?? i ,

(i ? 1,2,?, n),

n
并作和 ? f (?i ,?i )?? i ,
i ?1

如果当各小闭区域的直径中的最大值? 趋近于零

时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f ( x, y)

在闭区域 D 上的二重积分,

记为?? f ( x, y)d? ,

D

n

即??
D

f

( x,

y)d?

?

lim ?
? ?0 i?1

f

(?i ,?i

)?? i

2、二重积分的几何意义

当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积.

当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的 负值.

3、二重积分的性质

性质1 当 k为常数时,

?k ?(x f,y)d ?? k?f?(x,y)d ?.

D

D

性质2

?[?f(x,y)?g(x,y)d ]?
D

??f?(x,y)d???g ?(x,y)d?.

D

D

性质3 对区域具有可加性 (D ?D 1?D 2)

?f? (x ,y )d ?? ?f? (x ,y )d ?? ?f? (x ,y )d ?.

D

D 1

D 2

性质4 若?为D的面积 ????1?d????d?.

D

D

性质5 若在D上, f(x ,y )? g (x ,y )

特殊地

??f(x,y)d???g ?(x,y)d?.

D

D

??f(x,y)d????f(x,y)d?.

D

D

性质6 设M、m分别是f(x, y)在闭区域D上的最
大值和最小值,? 为D的面积,则
m? ???f(x, y)d? ?M?
D
(二重积分估值不等式)
性质7 设函数 f ( x, y)在闭区域 D上连续,? 为 D 的面积,则在 D 上至少存在一点(? ,? )使得
?? f ( x, y)d? ? f (? ,?) ?? .
D
(二重积分中值定理)

4、二重积分的计算

(1)直角坐标系下

? ? [X-型] D : a?x?b , 1 (x )?y?2 (x ).

?? ?? ? f(x ,y)d?b d? x 2(x)f(x ,y)d.y

D

a ?1(x)

X-型区域的特点: 穿过区域且平行于y
轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

? ? [Y-型] D : c?y?d, 1 (y )? x ?2 (y ).
?? ?? ? f(x ,y)d?dd? y 2(y)f(x ,y)d.x c ?1(y)
D
Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点.

(2)极坐标系下
D 1:?? ???, ?1 (?)? r? ?2 (?).

??f(rco?s,rsi?n)rd?rd
D1

? ?? ? ? ?
?d

?2(?)f(rco,rs si)n rd . r

? ?1(?)

D 2:?? ???, 0?r??(?).

??f(rco?s,rsi?n)rd?rd
D2
? ? ??d ??(?)f(rc? o ,rs s? i)n rd . r ?0
D 3: 0? ??2 ?, 0?r??(?).

??f(rco?s,rsi?n)rd?rd

? ?? ? ? D3

2 ? ?(?)

? d f(rco ,rs si)n rd . r

0

0

5、三重积分的定义

设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域?上的有界函

数,将闭区域? 任意分成 n个小闭区域?v1, ?v2 ,
?,?vn,其中?vn表示第i 个小闭区域,也表示它的 体积, 在每个?vi上任取一点(?i ,?i ,? i )作乘积
f (?i ,?i ,? i ) ? ?vi ,(i ? 1,2,?, n),并作和, 如果当各
小闭区域的直径中的最大值? 趋近于零时,这和式

的极限存在,则称此极限为函数 f ( x, y, z)在闭区域

? 上的三重积分,记为

??? n
? ?f ?(x ,?y ,z ) d ? l ? v ? 0 im f(i,i,i) ? v i.

?

i? 1

6、三重积分的几何意义
当 f (x, y,z) ?1时,
???dv?V 表示空间区域的体积. ?
7、三重积分的性质
类似于二重积分的性质.

8、三重积分的计算

(1) 直角坐标

? : z 1 ( x , y ) ? z ? z 2 ( x , y ) y 1 ( x ) ? ; y ? y 2 ( x ) a ? x ? ; b .
??? ? ? ? f(x ,y ,z ) d? v b dy 2 x (x )dz 2 ( y x ,y )f(x ,y ,z ) d . a y 1 (x ) z 1 (x ,y ) ?
? ? { x ,y ( , z ) ( x ,y ) ? D z ,c 1 ? z ? c 2 }.

??f(?x,y,z)d? v?cc 1 2d?zf?(x,y,z)dx. dy

?

D z

(2) 柱面坐标

? x ? r cos ? ,

? ?

y

?

r

sin

?

,

?? z ? z .

d? vrd?d r,d z

???f(x,y,z)dv ?
????f(rco?s,rsin?,z)rdr?ddz. ?

9、重积分的应用

(1) 体积 在曲 z?面 f(x,y)与区 D之 域间直柱
的体积为
V???f(x,y)dxd. y D
(2) 曲面面积
设S曲面的方程为: z?f(x,y).

?? ? ? 曲面S的面积为 A?

? ? 1??z ?x

? 2 ?z ?y

2dx;dy

Dxy

(3) 重心

设 有 一 平 面 薄 片 , 占 有 x面 o上 y 的 闭 区 域 D ,
在 点 (x,y)处 的 面 密 度 为 ?(x,y), 假 定 ?(x,y)在
D 上 连 续 , 平 面 薄 片 的 重 心 为

?? x?( x, y)d?

?? y?( x, y)d?

x? D

,

?? ?( x, y)d?

y? D

.

?? ?( x, y)d?

D

D

当薄片是均匀的,重心称为形心.

x ? A1 ?D?xd?,

y ? A1 ?D?yd?.

其中A???d?
D

设物体占有空间闭区域?,在点( x, y, z)处的
密度为?( x, y, z),假定?( x, y, z)在?上连续,则
该物体的重心为

x?M 1 ????x?dv, y?M 1 ????y?dv, z ?M 1 ????z?dv.

其中 M?????dv. ?

当物体是均匀的,重心称为形心.

1

x

?

M

?? ?

?xdv,

1

y

?

M

???ydv, ?

z

?

1 M

???zdv. ?

其中M???d?v为物体的. 质量 ?

(4) 转动惯量
设有一平面薄片,占有 xoy面上的闭区域
D,在点( x, y)处的面密度为? ( x, y),假定 ? ( x, y)在 D上连续,平面薄片对于 x轴和 y 轴的
转动惯量为
薄片对于x轴的转动惯量
Ix???y2?(x,y)d?, D
薄片对于y轴的转动惯量
Iy ???x2?(x,y)d?. D

设物体占有空间闭区域?,在点( x, y, z)处的
密度为?( x, y, z),假定?( x, y, z)在?上连续,则
该物体对坐标轴及原点的转动惯量为
Ix???(?y2?z2)?d,v ?
Iy ???(z?2?x2)?d,v ?
Iz ???(?x2?y2)?d,v ?
??? Io? (x2?y2?z2)?d.v ?

(5) 引力

设有一平面薄片,占有 xoy面上的闭区域 D,
在点( x, y)处的面密度为? ( x, y),假定? ( x, y)在
D上连续,计算该平面薄片对位于z 轴上的点 M0(0,0,a)处的单位质点的引力.(a ? 0)
薄片对 z轴上单位质点的引力 F?{Fx,Fy,Fz},

?? ?? Fx?fD(x2??(x y,2y?)x a2)2 3d?, Fy?fD(x2??(x y,2y?)a y2)2 3d?,

?? F z??afD(x2? ?(yx2,? y)a2)2 3d?.

f 为引力常数

二、典型例题

?? 例1 计算 x2d?.其D 中 由 y?x,y?1,x?2

y2
D

x

围成.

解 X-型 D:1?y?x,1?x?2. x

?? ? ? ? x2

x 2

x2

d y2
D

?

1dx1 x

dy y2

D

? ? ?

2 1

(?

x2 y

)

x 1 x

dx

2
? (x3 ?x)dx? 1

9. 4

? 例2 计 ?y ? ?算 x 2 d .其 D : ? 1 中 ? x ? 1 ,0 ? y ? 1 . D
解 先去掉绝对值符号,如图

??y?x2d?

D3

D

D1
? ??(x2 ?y)d????(y?x2)d?

D2

D1?D2

D3

? ? ? ? ?1 dx x 2 (x 2? y )d? y 1 d1 x (y ? x 2 )d? y 11 .

? 1 0

? 1 x 2

15

? ? 例3 更换I 积 ?2 ad分 x 2 axf次 (x ,y)d序 .(y a? 0 )

0

2 a? x2



?0?x?2a,

D:

? ?

2ax ?x2?y?

2a,x

将积分 D分 区成 D 域 1,D2 及D3三部 , 分

D1

: y2 ? 2a

x?a?

a2 ?y2,

D1

0? y?a;

D2 D3

D 2:2 ya 2?x?2a,a?y?2a;

D3:a? a2?y2 ?x?2a, 0?y?a;

? ? 故I?0adyya2?a2?y2 f(x,y)dx 2a

2a 2a

a

2a

? ? ? ? ? 0

dyy2

f(x,y)dx ? dy

0

a? a2?y2

f(x,y)d.x

2a

例4 计算 ?? x2?y2d?.其中 D是由心脏线 D
r?a(1?co?s)和圆 r?a所围的面积() 取. 圆

解 ?? x2 ? y2d?

D

?

a (1? cos ? )

? ? ?

2 ??

d?

a

r ? rdr

? ?1 32?? 2? 2a3[1 (?co?s)3?1]d?

?a3(22??). 92

例5 证明

? ? ? bdx x(x?y)n ? 2f(y)d? y1 b(b?y)n ? 1f(y)d.y

aa

n?1a

? ? 证

b
dx

x
(x?

y)n?2

f

(y)dy

a

a

b

? ? ?

b
dy

b
(x?

y)n?2

f

(y)dx

a

y

a

? ?a bf(y)d[n y1 ?1(x?y)n ? 1]b y

? ? 1 b(b?y)n?1f(y)d.y n?1a

y?x
D

a

b

??? 例6. 计算三重积分 z2dxdydz,其中?是两个 ?
球 x2?y2?z2?R2及 x 2? y 2? z2? 2 R z(R ? 0 )

的公共部分. 提示: 由于被积函数缺 x , y ,

D 2 z zR

R

利用“先二后一” 计算方便 . D 1 z

2

o

y

R 2

R

原式 = ? z 2 d z ?? d x d y ? ? z 2 d z ?? d x d y

x

0

D1 z

R 2

D2 z

R

? ? ?

2

R

z2??(2Rz?z2)dz? z2 ??(R2 ?z2)dz?

59 ? R5

0

R

480

2

??? 例7.计算三重积分 (y2 ?z2)dv ,其中?是由 xoy ?
平面上曲线 y2 ? 2x 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面

x ?5 所围成的闭区域。

?x? x

提示:利用柱坐标

? ?

y

?

r

cos

?

?

1 2

r2

?x?5

??

z

?

r

sin

?

?

:

? ?

0?r ?

10

?? 0???2?

? ? ? 2?
原式 ? d ?

10

5

r 3d r d x

? 250 ?

0

0

r2

3

2

?? 例8. 计算二重积分 I? (x2?xyex2?y2)dxdy,其中

D

y

(1) D为圆域 x2 ?y2 ?1; D

(2) D由直线 y?x,y?? 1,x?1围成 . o 1 x

解: (1) 利用对称性

?? ?? I ? x2dxdy? xyex2?y2dxdy

D

D

?? ?1 (x2?y2)dxdy?0
2D

? ? ?

1

2?
d?

1

r3dr

?

?

20 0

4

?? 例8. 计算二重积分 I? (x2?xyex2?y2)dxdy,
D
其中 (2) D由直线 y?x,y?? 1,x?1围成.

(2) 积分域如图 添加辅助线 y??x

将D 分为 D1 , D 2 , 利用对称性 , 有

?? ? ? I ? x2dxdy? xyex2?y2dxdy

D

D1

? ? ? xyex2?y2dxdy

D2

? ? 1

x

? x2dx dy?0?0?

2

?1

?1

3

y
y?x
o D2 1 x
D1
?1 y??x

测验题

一、选择题:

? ? 1、

1
dx

1? x

f ( x, y)dy=(

0

0

)

? ? ? ? (A)

1? x
dy

1 f ( x, y)dx;

(B)

1
dy

1? x

f ( x, y)dx;

0

0

0

0

? ? (C)

1
dy

1 f ( x, y)dx;

0

0

? ? (D)

1
dy

1? y

f ( x, y)dx.

0

0

2、设 D为 x 2 ? y 2 ? a 2,当a ? ( )时,

?? a2 ? x2 ? y2dxdy ? ?.

D
(A) 1 ;

(B)

3
3



2

(C) 3 3 ; 4

(D)

1
3

.

2

3、当 D 是( )围成的 区域 时,二重 积分?? dxdy =1.
D
(A) x 轴, y 轴及2x ? y ? 2 ? 0;(B) x ? 1 , y ? 1 ; 23
(C) x 轴, y 轴及 x ? 4, y ? 3 ;(D) x ? y ? 1, x ? y ? 1.

4、 ?? xe xy dxdy 的值为(
D
0 ? x ? 1,?1 ? y ? 0 .

). 其中 区域为 D

(A) 1 ; e
(C) ? 1 ; e

(B) e ; (D) 1 .

?? 5 、 设 I ? ( x 2 ? y 2 ) dxdy , 其 中 D 由 x 2 ? y 2 ? a 2 所
D
围 成 ,则I =( ).

? ? ? ? ( A )

2?
d?

a a 2 rdr

? ?a4;(B)

2?
d?

a r 2 ? rdr

? 1 ?a4;

0

0

0

0

2

? ? ? ? ( C )

2?
d?

a r 2 dr ? 2 ? a 3 ; ( D )

2?
d?

a a 2 ? adr

? 2?a4.

0

0

3

0

0

6、 设 ? 是 由 三 个 坐 标 面 与 平 面 x ? 2 y ? z=1 所 围 成 的

空 间 区 域 , 则 ??? xdxdydz = ( ) .

?
(A) 1 ; 48

(B) ? 1 ; 48

(C) 1 ; 24

(D) ? 1 . 24

7、设?

是锥面 z2 c2

?

x2 a2

?

y2 b2

(a

?

0, b

?

0,c

?

0)与平面

x ? 0, y ? 0, z ? c 所围成的空间区域 在第一卦 限



部分,则 ??? ?

xy dxdydz z

=(

).

(A) 1 a2b2 c ; 36

(B) 1 a2b2 b ; 36

(C) 1 b 2c 2 a ; (D) 1 c ab .

36

36

??? 8、 计 算 I ? zdv ,其中 ? 为 z 2 ? x 2 ? y 2 , z ? 1 围 成 的

?

立体,则正确的解法为( )和( ).

2? 1

1

2? 1

1

? ? ? ? ? ? (A)I? d? rdrzd; z(B)I? d? rdrzd; z

0

0

0

0

0

r

2? 1 1

1 2? z

? ? ? ? ? ? (C)I? d? dzrd; r(D)I? dz d? zrd.r

0

0r

00

0

9、曲面 z ? x 2 ? y 2 包含在圆柱 x 2 ? y 2 ? 2x 内部的那

部分面积s ?( ).

(A) 3?;

(B) 2?;

(C) 5?;

(D) 2 2?.

10、由直线 x ? y ? 2, x ? 2, y ? 2所围成的质量分布均匀

(设面密度为 ? )的平面薄板,关于 x 轴的转动惯量

I x =( ). (A) 3? ;

(B) 5? ;

(C) 4? ;

(D) 6? .

二、计算下列二重积分:

1、 ?? ( x 2 ? y 2 )d? , 其 中 D 是 闭 区 域 :
D
0 ? y ? sin x ,0 ? x ? ? .

2、 ?? arctan
D

y d? ,其中 D 是由直线 y ? 0及圆周 x

x 2 ? y 2 ? 4, x 2 ? y 2 ? 1,y ? x 所围成的在第一象

限内的闭区域 .

3、 ?? ( y 2 ? 3 x ? 6 y ? 9 )d? , 其 中 D 是 闭 区
D
域:x2 ? y2 ? R2
?? 4 、 x 2 ? y 2 ? 2 d ? , 其 中 D : x 2 ? y 2 ? 3 .
D

三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序 :

? ? ? ? 1 、

1
dy

2y
f ( x , y )dx ?

3
dy

3? y f ( x , y )dx ;

0

0

1

0

? ? 2 、

1
dx

1? 1? x 2 f ( x , y )dy ;

0

x

a

?

3 、 ?0 d ? ?0 f ( r cos ? , r sin ? )rdr .

1

1

y

四 、 将 三 次 积 分 ?0 dx ?x dy ?x f ( x , y , z )dz 改 换 积 分 次 序 为

x ? y ? z.

五、计算下列三重积分:

1 、 ??? y cos( x ? z )dxdydz , ? : 抛 物 柱 面 y ? x ? 及平面 y ? o, z ? o , x ? z ? ? 所 围 成 的 区 域 . 2

2 、 ??? ( y 2 ? z 2 )dv , 其 中? 是 由 xoy 平 面 上 曲 线

?
y2 ? 2x绕 x 轴旋转而成的曲面与平面x ? 5所围

成的闭区域 .

??? 3 、 z ln( x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ) dv , 其 中? 是 由 球 面 ? x2 ? y2 ? z2 ? 1 x2 ? y2 ? z2 ? 1所围成的闭区域 .

六、求平面 x ? y ? z ? 1被三坐标面所割出的有限部分 a bc

的面积 . 七 、 设 f ( x ) 在 [0 ,1]上 连 续 , 试 证 :

? ? ? ? 1 1

y
f ( x ) f ( y ) f ( z )dxdydz

? 1 [ 1 f ( x )dx ]3 .

0 xx

60

测验题答案

一 、 1、 D; 2、 C; 3、 A; 4、 A; 5、 B;

6、 A; 7、 A; 8、 B,D; 9、 B; 10、 C.

二 、 1 、 ? 2 ? 40 ; 2 、 3 ? 2 ; 3 、 ? R 4 ? 9 ? R 2 ; 4 、 5 ? .

9

64

4

2

2

3? x

三 、 1 、 ?0 dx ? x f ( x , y )dy ;

2

? ? ? ? 2、

1
dy

y2
f ( x , y )dx ?

2
dy

2 y ? y 2 f ( x , y )dx ;

0

0

1

0

? ? 3 、

a
rdr

a f ( r cos ? , r sin ? )d ? .

0

r

1

1

z

四 、 ?0 dz ?z dy ?0 f ( x , y , z )dx .

五 、 1 、 ? 2 ? 1 ; 2 、 250 ? ; 3 、 0 .

16 2

3

六、1 a2b2 ?b2c2 ?c2a2 . 2
七、提示:

? F(x) ? x f (t)dt,则F?(x) ? f (x) 0

? 且F(t) ?

1
f (x)dx,F(0) ? 0

0


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