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数学选修2-2课件:《3.1.1数系的扩充与复数的概念》(选修2-2)

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数系的扩充

复数的概念

3.1.1 数系的扩充与复数的概念

数系的扩充 复

复数的概念

数 系 的 扩 充

数 系 数 数

R
数 数

Q

Z

N

数系的扩充 知识引入

复数的概念

判断下列方程在实数集中的根的个数: 判断下列方程在实数集中的根的个数:
(1) x 2 3x 4 = 0
2个不相等的实根 个不相等的实根

(2) x 2 + 4 x + 5 = 0
无实根

(3) x 2 + 2 x + 1 = 0
2个相等的实根 个相等的实根

( 4) x 2 + 1 = 0
无实根

数系的扩充 知识引入

复数的概念

我们已经知道: 我们已经知道: 对于一元二次方程 没有实数根. x + 1 = 0 没有实数根.
2

思考? 思考?

x = 1
2

我们能否将实数集进行扩充,使得在新的 我们能否将实数集进行扩充, 数集中,该问题能得到圆满解决呢? 数集中,该问题能得到圆满解决呢?

引入一个新数: 引入一个新数:

i

满足

i = 1
2

数系的扩充

复数的概念

现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位, 叫做虚数单位, 并且规定: 并且规定: (1)i2=1; ) =1 进行四则运算, (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运 ) 算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律,结 算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律, 合律和分配律)仍然成立. 合律和分配律)仍然成立.

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数 ∈ 的数叫做复数 的数叫做复数. 形如
全体复数所形成的集合叫做复数集 复数集, 全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C 一般用字母C表示 .

数系的扩充

复数的概念

复数的代数形式: 复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即 表示,

z = a + bi (a ∈ R, b ∈ R )
实部 虚部

其中

称为虚数单位. 虚数单位 i 称为虚数单位.

讨 论?

复数集C和实数集R之间有什么关系? 复数集C和实数集R之间有什么关系?

实数 b = 0 复数a+bi 复数a+bi 纯虚数 a = 0,b ≠ 0 虚数 b ≠ 0 非纯虚数 a ≠ 0,b ≠ 0

C R≠

数系的扩充

复数的概念

1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚 1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚 说明下列数中 实数 哪些是纯虚数 纯虚数, 数,哪些是纯虚数,并指出复数的实部与 虚部. 虚部.

2 + 7 , 0.618,

i , i(1 3 ),
2

2 i, 0 7

3 9 2i,

5 i+8, ,

数系的扩充

复数的概念

例1: 实数m取什么值时,复数 实数m取什么值时,

z = m + 1 + ( m 1)i
(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数? 实数? 虚数?( ?(3 纯虚数?
解: (1)当 m 1 = 0,即 ) (2)当 m 1 ≠ 0 ,即 ) (3)当 m + 1 = 0 ) 复数z 是实数. m = 1时,复数 是实数. 复数z 是虚数. m ≠ 1时,复数 是虚数. 复数z 即 m = 1时,复数 是 纯虚数. 纯虚数.

m 1 ≠ 0

数系的扩充

复数的概念

练习: 练习:当m为何实数时,复数 为何实数时,

Z = m + m 2 + ( m 1)i
2 2

(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数

(3)m=(1)m= ± 1 (2)m ≠ ±1 (3)m=-2

数系的扩充

复数的概念

例2: 已知 ( 2 x 1) + i = y ( 3 y )i 其中 x, y ∈ R, 求
思考? 思考? 两个复数相等应满足什么条件呢? 两个复数相等应满足什么条件呢?

,

x与y . 与

数系的扩充

复数的概念

如果两个复数的实部 虚部分别相 如果两个复数的实部和虚部分别相 实部和 等,那么我们就说这两个复数相等. 那么我们就说这两个复数相等 两个复数相等.
若a, b, c, d ∈ R,

a = c a + bi = c + di b = d

数系的扩充

复数的概念

例2: 已知 ( 2 x 1) + i = y ( 3 y )i 其中 x, y ∈ R, 求

,

x与y . 与

解:根据复数相等的定义,得方程组 根据复数相等的定义, 2 x 1 = y 5 得 x= , y=4 2 1 = ( 3 y )

数系的扩充

复数的概念

1,若x,y为实数,且 为实数,

x + y + yi = 4 + 2i,
2 2

求x,y. 2,若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) (2x 2)+(x =0, =0,求x的值. 的值.

i

数系的扩充

复数的概念

1,(2009年广东卷)下列n的取值中,使 in =1 (i是虚数单位) ,(2009年广东卷 下列n的取值中, 年广东卷) 是虚数单位) 的是( 的是( C ) A,n=2 A,-1 B, B,n=3 B, 0 C, C,n=4 C, C, 1 D, D,n=5 D,i

2,(2005年湖南卷)复数Z=i+i2+i3+i4的值是( B ) ,(2005年湖南卷 复数Z=i 年湖南卷) 的值是(

3,(2009年福建卷)复数i2(1+i)的实部是________. ,(2009年福建卷 复数i (1+i)的实部是 -1 年福建卷) 的实部是________.

数系的扩充

复数的概念

1.虚数单位 的引入 1.虚数单位i的引入; 虚数单位 的引入; 2.复数有关概念: 2.复数有关概念: 复数有关概念
复数的代数形式: 复数的代数形式: z = a + bi (a ∈ R, b ∈ R) 复数的实部 ,虚部 虚数,纯虚数 虚数, 复数相等 a + bi
a = c = c + di b = d

数系的扩充

复数的概念

作业:P106.1.2 作业:


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