nbhkdz.com冰点文库

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第10章第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理

时间:

第一节

分类加法计数原理与分步 乘法计数原理(理)

[主干知识梳理] 一、分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的 方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件

事共有N= m+n 种不同方法.

二、分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做

第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种
不同的方法.

[基础自测自评]

1.(教材习题改编)在所有的两位数中,个位数字大于十位数
字的两位数共有 ( A.50个 C.36个 B.45个 D.38个 )

C

[利用分类加法计数原理,共有8+7+6+5+4+3+2

+1=36个.]

2.(教材习题改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、

乙所选的课程中恰有1门相同的选法有
( A.6种 C.24种 C [分步完成, B.12种 D.30种 )

①甲、乙两人从4门课程中选1门有4种方法;
②甲从剩下的3门中选1门有3种方法;

③乙从剩下的2门中选1门有2种方法,
故共有4×3×2=24.]

3 .有 4 位教师在同一年级的 4个班中各教一个班的数学,在 数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方 法有

(
A.8种 C.10种 B.9种 D.11种

)

B [分四步完成,共有3×3×1×1=9种.]

4 .由 0, 1 , 2 , 3这四个数字组成的四位数中,有重复数字 的四位数共有________.

解析

由 0, 1 ,2 , 3可组成的四位数共有 3×43 = 192 个,

其中无重复的数字的四位数共有 3A = 18 个,故有 192 - 18=174个. 答案 174

5.(教材习题改编 )5名毕业生报考三所中学任教,每人仅报 一所学校,则不同的报名方法的种数是________.

解析 共有3×3×3×3×3=35=243.
答案 243

[关键要点点拨] 1.两个原理的联系与区别: 两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的.区别在 于:(1)分类加法计数原理是“分类”,分步乘法计数原

理是“分步”;(2)分类加法计数原理中每类方法中的每
一种方法都能独立完成这件事,分步乘法计数原理中每 步中每种方法都只能做这件事的一步,不能独立完成这 件事. 2.对于较复杂的问题有时要两个原理综合使用,即先分类

再分步或先分步再分类.

分类加法计数原理 [典题导入] (2014·江西六校联考)若自然数n使得作竖式加法n+ (n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“良数”.例如: 32 是“良数”,因为 32 + 33 + 34 不产生进位现象; 23 不是

“良数”,因为23+24+25产生进位现象.那么小于1 000的
“良数”的个数为 ( )

A.27 C.39

B.36 D.48

[ 听课记录 ]

一位“良数”有 0 , 1 , 2 ,共 3 个;两位数的

“良数”十位数可以是 1 , 2, 3 ,两位数的“良数”有 10,
11 , 12 , 20 , 21 , 22 , 30 , 31 , 32 ,共 9 个;三位数的“良 数”有百位为 1,2 , 3 ,十位数为 0 的,个位可以是 0 , 1, 2 , 共3×3=9个,百位为1,2,3,十位不是零时,十位个位可 以是两位“良数”,共有3×9=27个.根据分类加法计数原

理,共有48个小于1 000的“良数”.
答案 D

[规律方法] 利用分类加法计数原理解题时,应注意:

(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统
一,不能遗漏. (2)分类时,注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一 类,且不能重复. (3)对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法.

[跟踪训练]

1.(2012·孝感统考)如图所示,在A、B间有四个焊接点1,2,
3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现A、 B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有 ( )

A.9种 C.13种 若脱落1个,则有(1),(4)共2种;

B.11种 D.15种

C [按照焊接点脱落的个数进行分类.
若脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,

3)共6种;
若脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4) 共4种; 若脱落4个,有(1,2,3,4)共1种. 综上共有2+6+4+1=13种焊接点脱落的情况.]

分步乘法计数原理 [典题导入] (1)用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个

数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数
有 ( A.6个 C.18个 B.9个 D.36个 )

[ 听课记录 ]

由题意知, 1 , 2 , 3 中必有某一个数字重复使

用2次.第一步确定谁被使用2次,有3种方法;第二步把这2
个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上,也有 3 种方法; 第三步将余下的 2 个数放在四位数余下的 2 个位置上,有 2 种 方法.故共可组成3×3×2=18个不同的四位数. 答案 C

(2)(2014·湖南长郡中学、衡阳八中等十二校一联)用红、黄、

蓝三种颜色去涂图中标号为1、2、…、9的9个小正方形(如
图),使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同, 且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的 所有涂法共有________种. 1 4 2 5 3 6

7

8

9

[听课记录 ]

把区域分为三部分,第一部分1、5 、9,有3 种

涂法.第二部分4、7、8,当5、7同色时,4、8各有2种涂法,

共4种涂法;当5、7异色时,7有2种涂法,4、8均只有1种涂
法,故第二部分共 4 + 2 = 6 种涂法.第三部分与第二部分一 样,共 6 种涂法.由分步计数原理,可得共有 3×6×6 = 108 种涂法. 答案 108

[规律方法] 解决此类问题,首先将完成这件事的过程分步,然后再找出

每一步中的方法多少种,求其积.
[注意] 各步之间相互联系,依次完成后,才能做完这件事, 即步与步之间的方法相互独立,逐步完成.

[跟踪训练] 2.有0、1、2、…、8这9个数字.

(1)用这9个数字组成四位数,共有多少个不同的四位数?
(2)用这9个数字组成四位密码,共有多少个不同的四位密 码? 解析 (1)未强调四位数的各位数字不重复,只需首位不 为0,依次确定千、百、十、个位,各有8、9、9、9种方

法,∴共能组成8×93=5 832个不同的四位数.

(2)每一位上的数字都有9种方法.

∴共能组成94=6 561个不同的四位密码.

两个原理的综合应用 [典题导入] (2012·山东高考)现有16张不同的卡片,其中红色、 黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张.从中任取 3 张,要求这 3 张卡

片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种
数为 ( A.232 B.252 C.472 D.484 )

[听课记录] 若没有红色卡片,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3
1 1 2 1 张,若都不同色则有 C1 × C × C = 64 种,若 2 张同色,则有 C × C 4 4 4 3 2 1 1 × C2 × C = 144( 种 ) ;若红色卡片有 1 张,剩余 2 张不同色,则有 C 4 4 4 1 × C2 C1 C1 C1 C2 3× 4× 4=192(种),剩余 2 张同色,则有 C4× 3× 4=72(种),

所以不同的取法有 64+144+192+72=472(种). 答案 C

[互动探究] 本例条件变为“有 5 张卡片,它们的正、反面分别写着 0 与1 ,

2与3,4与5,6与7,8与9,将其中任意三张并排放在一起组
成三位数”,问不同的三位数有多少个? 解析 分两类:第一类,百位数字是 1 ,有 8×6 = 48 个三位

数;第二类,百位数字不是 1 ,有 8×8×6 = 384 个三位数, 根据分类计数原理共有48+384=432个三位数.

[规律方法] 用两个原理解决计数问题时,关键是明确需要分类还是分

步.
(1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计 数,最后用分类加法计数原理求和得到总数;分步要做到 “步骤完整”. (2)对于复杂问题,可同时运用两个计数原理或借助列表、画

圈的方法来帮助分析.

[跟踪训练] 3 .已知集合 M∈{1 ,- 2 , 3} , N∈{ - 4 , 5 , 6 ,- 7} ,从

两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标
在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数 是 ( A.18 B.10 )

C.16

D.14

D [M中的元素作点的横坐标,N中的元素作点的纵坐标, 在第一象限的点共有2×2个,在第二象限的点共有1×2

个.N中的元素作点的横坐标,M中的元素作点的纵坐标,
在第一象限的点共有2×2个,在第二象限的点共有2×2 个.所求不同的点的个数是2×2+1×2+2×2+2×2= 14(个).]

【创新探究】

分类讨论思想在计数原理中的应用 (2012·四川高考)方程ay=b2x2+c中的a,b,

c∈ {-3,-2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同,在
所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 ( A.60条 C.71条 B.62条 D.80条 )

【思路导析】 分 c=0 和 c≠0 两种情况讨论. 【解析】 显然方程 ay=b2x2+c 表示抛物线时,有 ab≠0,故该 b2 2 c 方程等价于 y= x + . a a (1)当 c=0 时,从{-3,-2,1,2,3}中任取 2 个数作为 a,b 的 值,有 A2 5=20 种不同的方法, 当 a 一定,b 的取值互为相反数时,对应的抛物线相同,这样的 抛物线共有 4×3=12 条,所以此时不同的抛物线共有 A2 5-6=14 条;

(2)当 c≠0 时,从{-3,-2,1,2,3}中任取 3 个数作为 a,b, c 的值有 A3 5=60 种不同的方法, 当 a,c 的值一定,而 b 的值互为相反数时,对应的抛物线相同,
3 这样的抛物线共有 4A2 3=24 条,所以此时不同的抛物线有 A5-12

=48 条. 综上所述,满足题意的不同的抛物线有 14+48=62 条. 【答案】 B

【高手支招】

分类加法计数原理体现了分类讨论思想在计

数原理中的应用.解决此类问题的关键是确定分类标准,做

到不重复、不遗漏.

[体验高考] 1.(2013·福建高考)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的

方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为
( A.14 C.12 B.13 D.10 )

B [因为a,b∈{-1,0,1,2},可分为两类:①当a=0时, b可能为-1或1或0或2,即b有4种不同的选法;②当a≠0时,

依题意得Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.当a=-1时,b有4种不同
的选法,当a=1时,b可能为-1或0或1.即b有3种不同的选法, 当a=2时,b可能为-1或0,即b有2种不同的选法.根据分 类加法计数原理,(a,b)的个数共有4+4+3+2=13.]

2.(2012·安徽高考)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的 交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位 同学互赠一份纪念品.已知6 位同学之间共进行了 13次交

换,则收到4份纪念品的同学人数为
( A.1或3 C.2或3 B.1或4 D.2或4 )

D [设6位同学分别用a,b,c,d,e,f表示. 若任意两位同学之间都进行交换共进行C=15(次)交换,现共 进行了13次交换,说明有两次交换没有发生,此时可能有两

种情况:
(1)由3人构成的2次交换,如a—b和a—c之间的交换没有发生, 则收到4份纪念品的有b,c两人. (2)由4人构成的2次交换,如a—b和c—e之间的交换没有发生, 则收到4份纪念品的有a,b,c,e四人.故选D.]

3.(2012·新课标全国高考)将2名教师,4名学生分成2个小组, 分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1

名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有(
A.12种 C.9种 B.10种 D.8种

)

A [利用分步乘法计数原理和组合数公式求解. 分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有 C1 2 =2(种)选派方法; 第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有 C2 4=6(种) 选派方法. 由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有 2×6=12(种).]

课时作业


2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第1....ppt

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第10章第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理_数学_高中教育_教育专区。 第一节 分类加法计数原理与分步 ...

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业....doc

2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第10章 第2节 排

《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习:排列与组合.ppt

《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习:排列与组合 - 第二节 排列与组合(

...版(理)数学教案:第10章 第1节 分类加法计数原理和分....doc

2018一轮北师大版(理)数学教案:第10章 第1节 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 Word版含解析 - 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分 布 [深研高考 ...

2020届高三数学(人教版)一轮复习分类加法计数原理与分....ppt

2020届高三数学(人教版)一轮复习分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件(19张)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2020届高三数学(人教版)一轮复习课件 ...

...原理概率随机变量及分布列10.1分类加法计数原理与分....ppt

2018版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理模拟_高考_高中教育_教育专区。[A 级 基础达标](时间:40 ...

2019高考理科数学(人教版)一轮复习练习:第十篇 第1节 ....doc

2019高考理科数学(人教版)一轮复习练习:第十第1节 含解析_高考_高中教育_...根据分类加法计数原理,有 6+2=8 种走法.故选 A. 3.高三年级的三个班去...

高三数学课标一轮复习: 分类加法计数原理与分步乘法计....ppt

第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布 10.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理 -3- 年份 2017 计数 原理 2016 2015 2014 9,5 分(理) 14,4 分(...

...原理概率随机变量及其分布1第1讲分类加法计数原理与....doc

通用版2019版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布1第1分类加法计数原理与分步乘_高考_高中教育_教育专区。。。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权...

...数学北师大版一轮复习课件:11.1 分类加法计数原理与....ppt

2020版高考数学北师大版一轮复习课件:11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 _高考_高中教育_教育专区。11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识梳理 ...

...2019版高考数学一轮总复习第章.1分类加法计数原理与....doc

[精品]2019版高考数学一轮总复习第章.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理模拟演练理3 - 精品试卷 2018 版高考数学一轮总复习 第 10 章 计数原理、概率、随机...

...第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理_图文.ppt

高中数学一轮复习计数原理、概率、随机变量及其分布 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理_数学_高中教育_教育专区。 1.纵观近两年各地高考题,涉及本章 1....

2018届高三理科数学一轮复习学案 排列组合.doc

2018届高三理科数学一轮复习学案 排列组合 - 第一节 排列、组合 突破点(一) 两个计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案, 在第 1 类方案中...

《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》习题课件_图文.ppt

分类加法计数原理与分步乘法计数原理习题课件_高三数学_数学_高中教育_教育.

2018-2019届高三数学(文理通用)一轮复习课件:第十一章 ....ppt

2018-2019届高三数学(文理通用)一轮复习课件:第十一章 计数原理11-2_数学_... A 6 6 6种. 1 1 6 由分类加法计数原理,共有 A7 + A A A...

2019届高三数学(理)第一轮复习教学进度表.doc

2019 届高三数学(理)第一轮复习教学进度表 第一轮的复习要以基础知识、 基本...圆锥曲线的综合应用 寒假 1.分类计数原理与分步计数原理 2.排列与组合 3....

2019高考数学(理)一轮复习全套学案.doc

2019高考数学(理)一轮复习全套学案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2019 ...第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第 1 节 分类加法计数原理与分步...

2018届高考数学一轮复习排列组合课件人教A版(全国通用).ppt

2018届高考数学一轮复习排列组合课件人教A版(全国通用)_高三数学_数学_高中教育...考点64 两个计数原理 1.分类加法计数原理 2.分布乘法计数原理 ? 考法1 两个...

分类加法和分步乘法_图文.ppt

分类加法和分步乘法 - 高考一轮总复习 数学(理) 第10章 计数原理、概率、随机变量及分布列 1 板块一 板块二 板块三 板块四 板块五 高考一轮总复习 数学...

分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理带答案).doc

分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理带答案)_数学...从高三一班男生中任选一