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2017届高考数学(文)一轮复习讲练测:专题12.4 复数(讲).doc

时间:2017-04-06

【课前小测摸底细】 1.【人教 A 版教材习题改编】 .复数 A.

?i ( i 是虚数单位)的实部是( 1 ? 2i 1 i 5
D.-

).

1 5

B.-

1 5

C.-

2 5

【答案】D 【解析】

?i ?1 ? 2i ? ?i ?2 ? i 2 1 2 ? ? ? ? ? i ,它的实部为 ? ,故选 D. 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 5 5 5 5


2. (2016 江苏 2) 复数 z ? ?1 ? 2i ?? 3 ? i ? , 其中 i 为虚数单位, 则 z 的实部是 【答案】5 【解析】由复数乘法法则可得 z ? 5 ? 5i ,故 z 的实部是 5 . 3. 【2017 湖南长沙】若复数 z 满足 A.1 C. i 【答案】A 【解析】

1? i 7 ,则复数 z 的虚部为( ? i ( i 为虚数单位) z



B. ?1 D. ?i

4.【基础经典试题】若复数 z 满足 【答案】二

z ? 2i ,则 z 对应的点位于第________象限. 1? i

【解析】 z ? 2i ?1 ? i ? ? ?2 ? 2i ,因此 z 对应的点为 ? ?2, 2 ? ,在第二象限内. 5.【改编自 2014 山东高考】已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 2 ? bi 与 a ? i 互为共轭复数, 则 (a ? bi ) ? (
2

) B. 5 ? 4i C. 3 ? 4i D. 3 ? 4i

A. 5 ? 4i

【答案】 D 【解析】由已知得, a ? 2, b ? 1 ,即 a ? bi ? 2 ? i ,所以 (a ? bi ) ? (2 ? i ) ? 3 ? 4i, 选 D .
2 2

【考点深度剖析】 1.复数是高考的热点,每年必考,常以选择、填空形式出现. 【经典例题精析】 考点 1 复数的概念 【1-1】 (2016 上海理 2)设 z ? 【答案】-3 【解析】分析 在部分教材中, Im z 表示复数的虚部, Rez 表示复数的实部. 解析 因为 z ? ?i ? 3 ? 2i ? ? 2 ? 3i ,故 Im z ? ?3 .故填 ?3 . 【1-2】 【2017 湖南长沙】已知 i 是虚数单位,复数 z ? i ?

3 ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 Im z ? i



1 ,则复数 z 的虚部是( 1? i



1 2 3 C. ? 2
A. ? 【答案】C 【解析】

B.

3 2

D.2

【1-3】已知复数 z ? A. | z |? 2 的虚部为﹣1 【答案】C

2 ,则 ?1 ? i



) B.z 的实部为 1 C.z

D.z 的共轭复数为 1+i

【课本回眸】 1. i 称为虚数单位,规定 i 2 ? ?1 ; 2.形如 a ? bi ( a, b ? R )的数叫复数, 其中 a, b 分别是它的实部和虚部. 若b ? 0, 则 a ? bi 为

实数;若 b ? 0 ,则 a ? bi 为虚数;若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 a ? bi 为纯虚数. 3.共轭复数:复数 a ? bi 称为复数 z ? a ? bi 的共轭复数,记为 z ,那么 z 与 z 对应复平面上 的点关于实轴对称,且 z ? z ? 2a , z ? z ? 2bi , z z ? z ? a 2 ? b 2 , z ? z ? z ? R
2

a ? bi 与 c ? di 共轭? a ? c, b ? ?d ( a, b , c, d ? R ).
【方法规律技巧】 1.解决复数概念问题的方法及注意事项:(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为 复数的实部与虚部应该满足的条件问题, 只需把复数化为代数形式, 列出实部和虚部满足的 方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为 a ? bi ( a, b ? R )的形式,以确定实 部和虚部. 2.复数是实数的条件:① z ? a ? bi ? R ? b ? 0(a, b ? R ) ;② z ? R ? z ? z ;③

z ? R ? z2 ? 0 .
3.复数是纯虚数的条件: ① z ? a ? bi 是纯虚数 ? a ? 0 且 b ? 0(a, b ? R ) ; ② z 是纯虚数

? z ? z ? 0( z ? 0) ;③ z 是纯虚数 ? z 2 ? 0 .
4.复数与实数不同处:任意两个实数可以比较大小,而任意两个复数中至少有一个不是实数 时就不能比较大小. 【新题变式探究】 【变式一】 【2015 高考四川,理 2】设 i 是虚数单位,则复数 i 3 ? (A)-i 【答案】C 【解析】 (B)-3i (C)i.

2 ( i

) (D)3i

i3 ?

2 2i ? ?i ? 2 ? ?i ? 2i ? i ,选 C. i i 1? z = i ,则|z|=( 1? z
)

【变式二】 【2015 高考新课标 1,理 1】设复数 z 满足 (A)1 【答案】A (B) 2

(C) 3

(D)2

考点 2 复数相等,复数的几何意义 【2-1】 (2016 山东理 1)若复数 z 满足 2 z ? z ? 3 ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 z ? ( ).

A. 1 ? 2i 【答案】B

B. 1 ? 2i

C. ?1 ? 2i

D. ?1 ? 2i

【解析】设 z ? a ? bi, (a, b ? R ) ,则 2 z ? z ? z ? ( z ? z ) ? a ? bi ? 2a ?

3a ? bi ? 3 ? 2i ,所以 a ? 1, b ? ?2 ,即 z ? 1 ? 2i .故选 B.
【2-2】 (2016 天津理 9)已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 ?1 ? i ??1 ? bi ? ? a ,则 _______. 【答案】2

a 的值为 b

【2-3】 (2016 全国乙理 2)设 (1 ? i) x ? 1 ? yi ,其中 x , y 是实数,则 x ? yi = ( A. 1 【答案】B 【解析】由 ?1 ? i ? x ? 1 ? yi ,得 x ? y ? 1 ,所以 x ? yi ? 1 ? i ? 【课本回眸】 B.

).

2

C. 3

D.2

2 .故选 B.

1.复数的相等设复数 z1 ? a1 ? b1i, z2 ? a2 ? b2i (a1 , b1 , a2 , b2 ? R ) ,那么 z1 ? z2 的充要条件 是: a1 ? b1且a2 ? b2 .特别 z ? a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 . 2.复数的模:向量 OZ 的模 r 叫做复数 z ? a ? bi ( a, b ? R )的模,记作 z 或 a ? bi ,即

??? ?

z ? a ? bi ? a 2 ? b 2 .
3.复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面 x 轴叫做实轴, y 轴除去原点叫 做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表 示虚数. 复数的几何表示:复数 z ? a ? bi ( a, b ? R )可用平面直角坐标系内点 Z ? a, b ? 来表示.这 时称此平面为复平面,这样,全体复数集 C 与复平面上全体点集是一一对应的. 复数的几何意义 (1)复数 z ? a ? bi 复平面内的点 Z ? a, b ? ( a, b ? R ).

(2)复数 z ? a ? bi ( a, b ? R )

??? ? OZ ? ? a, b ? .

4.复平面内复数 z 对应的点的几个基本轨迹: (1) z ? z0 ? r (r 是正常数) ? 轨迹是一个圆. (2) z ? z1 ? z ? z2 ( z1、z2 是复常数) ? 轨迹是一条直线. (3) z ? z1 ? z ? z2 ? 2a ( z1、z2 是复常数, a 是正常数) ? 轨迹有三种可能情形:a)当

2a ? z1 ? z 2 时,轨迹为椭圆;b)当 2a ? z1 ? z 2 时,轨迹为一条线段;c)当 2a ? z1 ? z 2
时,轨迹不存在. (4) z ? z1 ? z ? z2 ? 2a (a 是正常数) ? 轨迹有三种可能情形:a)当 2a ? z1 ? z 2 时, 轨迹为双曲线;b)当 2a ? z1 ? z 2 时,轨迹为两条射线;c)当 2a ? z1 ? z 2 时,轨迹不存在. 【方法规律技巧】 1. 对复数几何意义的理解及应用 (1)复数 z、复平面上的点 z 及向量 OZ 相互联系,即 z ? a ? bi ( a, b ? R ) ? Z ? a, b ? ?

??? ?

??? ? OZ
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系 在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观. 2. 注意复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”. 3. 处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发,把复数问 题转化成实数问题来处理.由于复数 z ? a ? bi ( a, b ? R ),由它的实部与虚部唯一确定, 故复数 z 与点 Z ? a, b ? 相对应. 【新题变式探究】 【变式一】 【2015 高考安徽,理 1】设 i 是虚数单位,则复数 于( ) (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

2i 在复平面内所对应的点位 1? i

(A)第一象限 【答案】B

【变式二】 【稳派 2014 年普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷(五)】i 是虚数单位,

复数 z ?

k ?i 在复平面内对应的点在第三象限,则实数 k 的范围是( i
B. k ? 0 C. k ? 0 D. k ? 0



A. k ? 0 【答案】B

【解析】 因为 z ? 故选 B.

k ?i 又在复平面内对应的点 (?1, ? k ) 在第三象限, 所以 k ? 0 , ? ?1 ? ki , i

考点 3 复数的运算 【3-1】 (2016 全国丙卷 2)若 z ? 1 ? 2i ,则 A. 1 【答案】C 【解析】因为 z ? z ? z
2

4i ?( z z ?1
C. i

). D. ?i

B. ?1

? 5, 所以

4i 4i ? ? i .故选 C. zz ? 1 4
6

【3-2】 (2016 四川理 2)设 i 为虚数单位,则 ( x ? i) 的展开式中含 x 4 的项为( A. ?15 x 4 【答案】A B. 15x 4 C. ?20ix 4 D. 20ix 4

).

【3-3】 【2014 辽宁高考理第 2 题】设复数 z 满足 ( z ? 2i )(2 ? i ) ? 5 ,则 z ? ( A. 2 ? 3i 【答案】A 【解析】因为 z ? 【课本回眸】 1. 复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di (a, b, c, d ? R ) ,则 ①加法: z1 ? z2 ? (a ? bi ) ? (c ? di ) ? ? a ? c ? ? ? b ? d ? i ; ②减法: z1 ? z2 ? (a ? bi ) ? (c ? di ) ? ? a ? c ? ? ? b ? d ? i ; ③乘法: z1 z2 ? (a ? bi )(c ? di ) ? ? ac ? bd ? ? ? ad ? bc ? i ; B. 2 ? 3i C. 3 ? 2i D. 3 ? 2i



5 ? 2i ? z ? 2 ? 3i ,故选 A. (2 ? i )

④除法:

z1 a ? bi ac ? bd bc ? ad ? ? ? i ( z2 ? 0) z2 c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

2.复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 z1 ? z2 ? z2 ? z1 ,

? z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? ? z2 ? z3 ? .
3. 复数的乘法不仅满足交换律与结合律,实数集 R 中整数指数幂的运算律,在复数集 C 中仍然成立, 即对任何 ; 4.复数集内的三角形不等式是: z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ,其中左边在复数 z1 , z2 对 应的向量共线且反向(同向)时取等号,右边在复数 z1 , z2 对应的向量共线且同向(反向) 时取等号. 【方法规律技巧】 1. 几个重要的结论: ⑴ | z1 ? z2 |2 ? | z1 ? z2 |2 ? 2(| z1 |2 ? | z2 |2 ) ;⑵ z ? z ?| z |2 ?| z |2 ;⑶若 z 为虚数,则 | z |2 ? z 2 . 2. 常用计算结论: ⑴ (1 ? i ) 2 ? ?2i ;⑵
1? i 1? i







, 有:





?i,

1? i 1? i

? ?i ;⑶ i n ? i n ?1 ? i n ? 2 ? i n ?3 ? 0(n ? N ) ;

⑷ | z |? 1 ? z z ? 1 ? z ?

1 z

; ???

1 3 1 3 ? 3 ? 1, 1? ? ? ?2 ? 0 . ? i, ?2 ? ? ? i ??, 2 2 2 2

3. 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位 i 的看作一类同类项,不含

i 的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把 i 的幂写成最简单的形式,在运算过程
中,要熟悉 i 的特点及熟练应用运算技巧. ,除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数, 解题中要注意把 i 的幂写成最简形式. 4.在复数相关问题的处理中,一般要将复数转化为一般形式 z ? a ? bi ? a ? R, b ? R ? ,明确 复数的实部与虚部,在求解复数的过程中,可以利用到复数的四则运算,然后利用相关的知 识求解复数的相关问题.

5.实数对于四则运算是通行无阻的,但不是任何实数都可以开偶次方.而复数对四则运算和 开方均通行无阻. 【新题变式探究】 【变式一】 【2015 高考重庆,理 11】设复数 a+bi(a,b ? R)的模为 3 ,则(a+bi) (a-bi) =________. 【答案】3

【变式二】 【2015 高考上海,理 2】若复数 z 满足 3 z ? z ? 1 ? i ,其中 i 为虚数单位,则

z?
【答案】



1 1 ? i 4 2
1 1 ? i 4 2

【解析】设 z ? a ? bi (a, b ? R ) ,则 3(a ? bi ) ? a ? bi ? 1 ? i ? 4a ? 1且2b ? 1 ? z ?

三、易错试题常警惕 易错典例:如果复数 m 2 ?1 ? i ? ? ? m ? i ? i 2 为纯虚数,则实数 m 的值为( (A)0 (B)1 (C)-1 )

(D)0或1

易错分析:忽视虚部为零出错. 正确解析:选 A.? m (1 ? i ) ? (m ? i )i ? (m ? m) ? (m ? 1)ii为纯虚数 为纯虚数, .
2 2 2 2

?m 2 ? m ? 0, ? ?? 2 ? m ? 0. m ? 1 ? 0. ? ?
温馨提醒:(1)复数的有关概念是高考的一个重点内容.解答此类问题一般要将复数转化为 一般形式 z ? a ? bi ? a ? R, b ? R ? ,明确复数的实部与虚部,利用相关的知识求解复数的相 关问题. (2)解复数问题的易错点:判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑 它的实部是否有意义. 利用复数相等 a ? bi ? c ? di 列方程时,注意 a, b, c, d ? R a,b,c,d∈R 的前提条件.


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