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2012年秋期南阳市五校联谊高中三年级期中考试文科数学试题

时间:2012-11-22


2012 年秋期南阳市五校联谊高中三年级期中考试 2012.11. 注意事项: ⑴本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 8 页,总分 150 分,考试时间 120 分钟. ⑵答题之前,先将答题卷密封线内项目写清楚. ⑶请把第Ⅰ卷中你认为正确选项的代号填写在答题卷上方选择题答题栏内,若使 用答题卡,请在答题卡上将相应的选项涂黑. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) . 1.已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1, 2,3} , B ? {2, 4} ,则 CU A) B 为( ( ? A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} ) D.{0,2,3,4} )

2.已知 a、b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a+3b|= ( A. 7 3.不等式 B. 10 C. 13 D.4

x( x ? 2) ( ) ? 0 的解集为 x ?3 A. {x | x ? ?2, 或0 ? x ? 3} B. {x | ?2 ? x ? 2, 或x ? 3}

C. {x | x ? ?2, 或x ? 0} 4. 以下说法错误的是( ..

D. {x | x ? 0, 或x ? 3} )

A.命题“若 x2 ? 3x ? 2 ? 0? 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”. B.“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.若 p ? q 为假命题,则 p 、q 均为假命题. D.若命题 p: ?x ? R,使得 x2 ? x ? 1 ? 0? 则 ?p ? ?x ? R,则 x 2 ? x ? 1 ? 0 .
高三文科数学试卷 第 1 页 (共 8 页)

5.若 cos? ? 0, 且 sin 2? ? 0, 则角? 的终边所在象限是 (



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.函数 y ? sin x ? lg x 零点的个数为( ) A. 0 B.1 C.2 D.3 7.若函数 f ( x) ? a x ? b ? 1(a ? 0且a ? 1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有( A. 0 ? a ? 1且b ? 0 C. a ? 1且b ? 0 8.若函数 f ( x) ? sin B. 0 ? a ? 1且b ? 0 D. a ? 1且b ? 0 )

x ?? (? ?[0, 2 ? ]) 是偶函数,则 ? 的值为( ) 3 ? 2? 3? 5? A. B. C. D. 2 3 2 3 1 a?b ) ,则 下 列 不等 式 成立 的 是 9. 若 a ? b ? 1 ,P= lg a ? lg b , Q ? (lg a ? lg b) , R ? lg( 2 2



) B. P ? Q ? R
??? ? ??? ?

A. R ? P ? Q

C. Q ? P ? R

D. R ? Q ? P

10.已知:如图, | OA |?| OB |? 1 ,
???? ??? ? ??? ? OC ? ? OA ? ? OB

??? ? ??? ? ???? ??? ? ? OA 与 OB 的夹角为 120 , OC 与 OA 的夹角为 30? ,若

?、? ? R )则 等于 (

? ?

) D.2
B O A C

A.

3 2

B.

2 3 3

C.

1 2

11.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成立, 则 ( ) A. ? 1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 2
1 3 1 2

C. ? ? a ?

3 2

1 2

D. ? ? a ?

1 2

3 2

12.设 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 2bx ? c, 当 x ? (0,1) 时取得极大值,当 x ? (1, 2) 时取得极小值,则
b?2 的取值范围为( a ?1 1 1 1 A. ( ,1) B. ( , ) 4 4 2

) C. ( ,1)
1 2

D. (1, 4)

高三文科数学试卷

第 2 页 (共 8 页)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) . 13.函数 f ( x) ? 4 ? 2 x 的值域是_________________. 14.已知 ? ? (? ,
3? ), tan ? ? 2 ,则 cos? 的值为__________________. 2 1 3

15.已知偶函数 f (x) 在区间 [0,??) 上单调递减,则满足 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 的取值范围 是_____________. 16.函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象如图所示,则 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ??? f ? 2012? ? .
y
2 0 2 6

x

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) . 17.(本小题满分 10 分)已知集合 A ? {x | (Ⅰ)当=3 时, m 求 A ? (?R B) ; (Ⅱ)若 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4} ,求实数 m 的值. 18.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 且 cos A = .
4 (Ⅱ) 若 b=4, ?ABC 的面积 S ? 6 ,求 sin B 的值. 6 ? 1, x ? R}, B ? {x | x 2 ? 2 x ? m ? 0}. x ?1

4 5

(Ⅰ)求 2 sin( 2 A ? ) 的值;

?

高三文科数学试卷

第 3 页 (共 8 页)

19.(本小题满分 12 分) 已知向量 a =(cos ? x, 3 sin( ? - ? x)),
b =(cos ? x,sin(

? + ? x))( ? >0),函数 f(x)=2 a · b +1 的最小值正周 2

期为 2. (Ⅰ)求 ? 的值;
1 (Ⅱ)求函数 f(x)在区间 [0, ] 上的值域. 2

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? 2a x ? a2 x (a ? 1) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若 x ?[?2,1] ,函数 f ( x) 的最小值为-7,求 f ( x) 的最大值. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在 x ? ?1 处取得极值,且在 x=0 处的切线 斜率为 ? 3 . (Ⅰ) f (x) 的解析式; (Ⅱ)若过点 A(2, m) 可作曲线 y ? f (x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x (a ? R) . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ?
f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率;

(Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (III) g ( x) ? x2 ? 2x ? 2 , 设 若对任意 x1 ? (0, ??) , 均存在 x2 ??0,1? , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 求 a 的取值范围.

高三文科数学试卷

第 4 页 (共 8 页)

2012 年秋期南阳市五校联谊高中三年级期中考试 高三文科数学答案
一、选择题 1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.A 14.

二、填空题 13. [0,2) 三、解答题 17. 解:由

5 5

15.

1 2 ( ?? , ) ? ( ,?? ) 3 3

16. 2 2 ? 2

6 x?5 ? 1, 得 ? 0, ??1 ? x ? 5 ? A ? {x | ?1 ? x ? 5} ,..............2 分 x ?1 x ?1

(Ⅰ)当 m=3 时, B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 ?R B ? {x | x ? ?1或x ? 3}

? A ? (CR B) ? {x | 3 ? x ? 5}
(Ⅱ)? A ? {x | ?1 ? x ? 5}, A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4},

...............5 分

? 4 2 ? 2 ? 4 ? m ? 0, 解得m ? 8 ,
此时 B ? {x | ?2 ? x ? 4} ,符合题意,故实数 m 的值为 8. 18.解: (Ⅰ)在△ABC

.................8 分 ..................10 分

中,由 cos A = 得 sin A ? 1 ? ( ) 2 ? ...2 分

4 5

4 5

3 5

? ? ? 则 2 sin(2 A ? ) ? 2 (sin 2 A cos ? cos 2 A sin ) 4 4 4 ? sin 2 A ? cos 2 A
? 2 sin A cos A ? 2 cos2 A ? 1 3 4 4 ? 2 ? ? ? 2 ? ( )2 ?1 5 5 5 31 ? .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 6分 ...... 25

(Ⅱ) ? b ? 4, S ? 6 ? bc sin A ? 6 即 ? 4 ? c ? ? 6 解得 c=5 由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ? ? 9 解得 a=3 ...........................................................................10 分
4?
?

1 2

1 2

3 5

4 5

a b b sin A ? 由正弦定理可得 ,? sin B ? ? sin A sin B a
? 19.解: (Ⅰ) f ( x) ? 2a ? b ? 1 ? 2[cos 2 ?x ? ?

3 5 ? 4 .........12 分 3 5
? ?x)] ? 1

3 sin(? ? ?x) ? sin(

2

高三文科数学试卷

第 5 页 (共 8 页)

? 2 cos 2 ?x ? 2 3 sin(? ? ?x) sin(

?
2

? ?x) ? 1

? cos2?x ? 3 sin(2?x) ? 2 ..........2 分
1 3 ? 2( cos 2?x ? sin 2?x) ? 2 2 2 ? ? 2 sin( 2?x ? ) ? 2 ...............................4 分 6 2? ?2 因为函数 f (x) 的最小正周期为 2,且 ? ? 0 ,所以 2? ? 解得 ? ? .................................6 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 2 sin(?x ? ) ? 2
1 ? ? 2? ? 0 ? x ? ? ? ?x ? ? 2 6 6 3 1 ? ? ? sin(?x ? ) ? 1 2 6 ? 3 ? 2 sin(?x ? 6

?

?

6

)?2? 4

1 ?函数 f ( x)在区间[0, ]上的值域为 [3,4]. .....12 分 2

20.解: (Ⅰ)设 t ? a x ? 0 则y ? ?t 2 ? t ? 1 ? ? t ? 1) 2 ? 2 ( ? t ? ?1 ? 0 ,

? y ? ?t 2 ? t ? 1 ? ? ? 1) 2 ? 2在区间( , ?) 上单调递 (t 0?
? y ? 1 ? 函数 f ( x) 的值域域为 (??,1) ...............5 分



(Ⅱ)? x ? [?2,1] ? t ? [

1 , a] a2

2 2 ( 由(Ⅰ)可知 y ? ?t ? t ? 1 ? ? t ? 1) ? 2在区间[

1 , a] a2

上单调递减

?当t ? a 时函数取得最小值-7,即 ? (a ? 1) 2 ? 2 ? ?7
解得, a ? 2 或 a ? ?4 ? a ? 1 ?a ? 2 当t ? 大值
7 16

1 1 1 2 2 ( ? 时, y ? ?t ? t ? 1 ? ? t ? 1) ? 2在区间[ 2 , a ] 2 a 4 a

取得最

............12 分

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21.解:

........4 分

........8 分

........12 分
22.解: (Ⅰ)由已知 f ?( x) ? 2 ?
1 ( x ? 0) , x

………………2 分

f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 .
故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率为 3 .
1 ax ? 1 ? ( x ? 0) . x x ①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f '( x) ? 0 所以, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) .

………………4 分

(Ⅱ) f '( x) ? a ?

………………6 分

1 ②当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ? . a 1 1 在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 (? , ??) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ? ) ,单调递减区间为 (? , ??) .….8 分 a a

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第 7 页 (共 8 页)

(Ⅲ)由已知,转化为 f ( x)max ? g ( x)max .

g ( x)max ? 2
由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f (e3 ) ? ae3 ? 3 ? 2 ,故不符合题意. )………………10 分
1 1 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? , ??) 上单调递减, a a

故 f ( x) 的极大值即为最大值, f (? ) ? ?1 ? ln( 所以 2 ? ?1 ? ln(?a) ,解得 a ? ?

1 a

1 ) ? ?1 ? ln(? a) , ?a
………12 分

1 . e3

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