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(文科)高中数学选修重要知识点

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选修 1-2 数学知识点

第一部分

统计案例
②制作散点图,判断线性相关关系

1.线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系;

③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)

?

n ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ?b ? n 2 ? xi2 ? nx ? ? i ?1 ? ? ? a ? y ? bx

注意:线性回归直线经过定点 ( x, y) .

2.相关系数(判定两个变量线性相关性) :

r?

? (x
i ?1 n i ?1

n

i

? x)( yi ? y )
n

? ( xi ? x ) 2 ? ( y i ? y ) 2
i ?1

注:⑴ r >0 时,变量 x , y 正相关; r <0 时,变量 x , y 负相关; ⑵ | r | 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强; | r | 接近于 0 时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系.

3.回归效果的判定:⑴残差: ei ? yi ? yi ;⑵残差平方和: ( yi ? yi) 2 ;⑶相关指数 R 2 ? 1 ?
i ?1

?

?

?

n

?

? ( yi ? yi ) 2 ?(y
i ?1 i ?1 n

n

?

.
i

? yi )

2

注:① R 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好; 4.独立性检验(分类变量关系) :
2

2

② R 越接近于 1, ,则回归效果越好.

2

随机变量 K 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱.

第二部分 推理与证明 一.推理:
⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后 提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理. ①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个 别事实概括出一般结论的推理. 简称归纳. 注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理. ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称 为类比推理,简称类比. 注:类比推理是特殊到特殊的推理. ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论. 演绎推理是由一般到特殊的推理. “三段论” 是演绎推理的一般模式, 包括: ⑴大前提---------已知的一般结论; ⑵小前提---------所研究的特殊情况; ⑶结论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断.

二.证明
⒈直接证明 ⑴综合法: 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推法或由因导果法. ⑵分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等) ,这种证明的方法叫分析法.分析法又叫逆推证法 或执果索因法. 2.间接证明------反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错 1/5

误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法.

第三部分
1.概念:z=a+bi,a,b∈R)

复数

(1) z 为实数 ? b=0 (a,b∈R); (2) z 是虚数 ? b≠0(a,b∈R); z 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R); (3) a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i; (2) z1.z2 = (a+bi) (c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;(3)
3.几个重要的结论:

z1 (a ? bi)(c ? di) ? bd bc ? ad (z ≠0) ; = ? ac ? i 2 z 2 (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2 c2 ? d 2

(1) (1 ? i) 2 ? ?2i ;⑷ 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i;
1? i 1? i

(2) i 性质:T=4; i 4n ? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i ; i 4n ? i 4n?1 ? i 4?2 ? i 4n?3 ? 0;
4.运算律: (1) z
m

? z n ? z m?n ; (2)(z m ) n ? z mn ; (3)(z1 ? z2 ) m ? z1 z2 (m, n ? N );
m m

5.模的性质: || z1 | ? | z 2 ||?| z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 | ;

选修 4-1 数学知识点
平行线等分线段定理
平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 推理 1 :经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 推理 2 :经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.

平分线分线段成比例定理
平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

相似三角形的判定及性质
相似三角形的判定: 定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似 系数). 由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑 6 个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应边是否分别 成比例,显然比较麻烦.所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法: (1)两角对应相等,两 三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似. 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与三角形相似. 判定定理 1 :对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三 角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似. 判定定理 2 :对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等, 那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 判定定理 3 :对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个 三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似. 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的 第三边. 定理: (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; 2/5

(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. 定理: 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例, 那么这两个直角三 角形相似. 相似三角形的性质: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比; (2)相似三角 形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方.

直角三角形的射影定理
射影定理: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜 边的比例中项.

圆周定理
圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半. 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论 1 :同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论 2 :半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.

圆内接四边形的性质与判定定理
定理 1 :圆的内接四边形的对角互补. 定理 2 :圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. 圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.

圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论 1 :经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论 2 :经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

弦切角的性质

弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

与圆有关的比例线段
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. 割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.

选修 4-5 数学知识点
1、不等式的基本性质 ①(对称性) ; ②(传递性)③(可加性)a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性)a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④ (可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc(同向正数可乘性) n n n n ⑤(平方法则) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , 且n ? 1) ; (开方法则) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , 且n ? 1) ⑥(倒数法则) a ? b ? 0 ? 2、几个重要不等式

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

3/5

① a2 ? b2 ? 2ab ? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).

变形公式: ab ?

a 2 ? b2 . 2

②(基本不等式)
2

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).变形公式:
?

a ? b ? 2 ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?

求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③(三个正数的算术—几何平均不等式)

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). 3

④ a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b .

2 a?b a 2 ? b2 ⑥几个著名不等式①平均不等式: ?1 , 当且仅当 a ? b 时取 " ? " ) . ? ab ? ? (a, b ? R? , ?1 a ?b 2 2
(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均). 变形公式:ab ? ?
2 2 ( a ? b) 2 ? a?b ? a ?b 2 2 a ? b ? . ? ; ? 2 2 ? 2 ? 2

3、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 4、一元二次不等式的解法: 求一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0)
2

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.
f ( x) 5、 指数不等式的解法: ⑴ a ? 1 时, a ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ;⑵ 0 ? a ? 1 时, a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ? 6、对数不等式的解法⑴ a ? 1 , log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ⑵ 0 ? a ? 1 , log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?
7、含绝对值不等式的解法: ⑴定义法: a ? ?

?a (a ? 0) . ??a (a ? 0)

⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x).
2 2

⑶同解变形法,其同解定理有:

① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); ③ f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g( x) ( g( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 4/5 ④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0)

规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:
2

⑴讨论 a 与 0 的大小;⑵讨论 ? 与 0 的大小;⑶讨论两根的大小.

5/5


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