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必修二立体几何较难题汇总

时间:

1.四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G、H,则四面体 EFGH 的表面积与

四面体 ABCD 的表面积的比值是( )

A) 1

B) 1

C) 1

D) 1

27

16

9

8

如图,连接 AF、AG 并延长与 BC、CD 相交于 M、N, 由于 F、G 分别是三角形的重心, 所以 M、N 分别是 BC、CD 的中点, 且 AF:AM=AG:AN=2:3, 所以 FG:MN=2:3, 又 MN:BD=1:2,所以 FG:BD=1:3, 即两个四面体的相似比是 1:3, 所以两个四面体的表面积的比是 1:9;故选 C.
如图,平面 α∥平面 β∥平面 γ,两条直线 l,m 分别与平面 α,β,γ 相交于点 A,B,C 和点 D,E,F.已知 AC=15cm,DE=5cm,AB︰BC=1︰3,求 AB,BC,EF 的长
设平面α‖β,A、C∈α,B、D∈β直线 AB 与 CD 交于 S,若 AS=18,BS=9,CD=34, 则 CS=?68/3 或 68
与空间四边形 ABCD 四个顶点距离相等的平面共有多少个?
七个
你可以把它想象成一个三棱锥

四个顶点各对应一个 有四个, 两条相对棱对应一个 共三组相对棱 因此有三个
总共有七个
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形, 已知 BD=2AD=8, AB=2DC= 。

(1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积

解:(1)证明:在

中,由于



所以



又平面

平面

,平面

平面

平面



所以

平面





平面



故平面

平面









(2)过 作

交 于 O,

由于平面

平面



所以

平面

因此 为四棱锥

的高,



是边长为 4 的等边三角形

因此

在底面四边形

中,





所以四边形

是梯形,



中,斜边 边上的高为



此即为梯形

的高,

所以四边形

的面积为





(2008 福建)(6)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面

BB1D1D 所成角的正弦值为

6
A.
3

26
B.
5

D1 A1

C1 B1

15
C.
5

10
D.
5

D A

C B

.(15)如图,二面角? ? l ? ? 的大小是 60°,线段 AB ? ? . B?l , AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是 3
4

? ?A
?
.? B

19.(本小题满分 12 分)

如图,直三棱柱

ABC-A1B1C1

中,AC=BC=

1 2

AA1,D

是棱

AA1

的中点,DC1⊥BD。

(1)证明:DC1⊥BC;

C1

B1

(2)求二面角 A1-BD-C1 的大小。

A1

【解析】(1)在 Rt?DAC 中, AD ? AC ,

得: ?ADC ? 45? ,

D

同理: ?A1DC1 ? 45? ? ?CDC1 ? 90? , 得: DC1 ? DC 。

C B

又 DC1⊥BD, DC BD ? D ,

A

所以 DC1 ? 平面 BCD 。 而 BC ? 平面 BCD ,所以 DC1 ? BC 。
(2)解法一:(几何法)

由 DC1 ? BC,CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1A1 ? BC ? AC 。

取 A1B1 的中点 O ,连接 C1O , OD 。 因为 A1C1 ? B1C1 ,所以 C1O ? A1B1 , 因为面 A1B1C1 ? 面 A1BD ,所以 C1O ? 面 A1BD ,从而 C1O ? BD , 又 DC1⊥BD,所以 BD ? 面 DC1O ,因为 OD ? 平面 DC1O ,所以 BD ? OD 。 由 BD ? OD ,BD⊥DC1,所以 ?C1DO 为二面角 A1-BD-C1 的平面角。

设 AA1 ? 2a , AC ? BC ? a ,则 C1O ?

2a 2



C1D

?

2a ,

在直角△

C1OD



C1O

?

OD

, C1O

?

1 2

C1D



所以 ?C1DO ? 30? 。 因此二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30? 。

D1

A1

O

D A

C1 B1
C B

(2007)2、(北京市西城区 2012 年 4 月高三抽样测试)下列四个正方体图形中, A、B 为正方 体的两个顶点, M、N、P 分别为其所在棱的中点,能得出
AB // 平面 MNP 的图形的序号是( )

A. ①、③

B. ①、④

C. ②、③

D. ②、④

答案:B

3、(吉林省吉林市 2012 届上期末)三棱锥 P—ABC 的高 PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,

M、N 分别在 BC 和 PO 上,且 CM=x,PN=2CM,试问下面的四个图像中哪个图像大

致描绘了三棱锥 N—AMC 的体积 V 与 x 的变化关系( x ? (0,3) )( )

答案:A
ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证:AP∥GH.

平面α过正方形 ABCD- A1B1C1D1的三个顶点 B,D, A1,α与底面 A1B1C1D1的交线为 L, 则 L 与 B1D1 的位置关系?
如图,正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB,在 AE,BD 上各有一点 P, Q,且 AP=DQ。求证:PQ∥面 BCE
4 下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,则四个点 不共面的一个图是( ).

空间三条直线,其中一条和其他两条都相交,那这三条直线中的两条能确定的平

面个数是多少

1、

若三条直线只有一个交点,则可以确定一个或三个平面;

2、

若这三条直线有两个不同的交点,则可以确定一个或三个平面。

3、

若这三条直线有三个不同的交点,则可确定以一个平面。

答案:一个或三个
线面平行的判定定理证明 线面平行的判定定理是:若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这 条直线与这个平面平行。 线面平行的定义是:若直线与平面没有公共点,则称此直线与该平面平行。 证明:设直线 a‖直线 b,a 不在平面 α 内,b 在平面 α 内。用反证法证明 a‖α。 假设直线 a 与平面 α 不平行,则由于 a 不在平面 α 内,有 a 与 α 相交,设 a∩α=A。 则点 A 不在直线 b 上,否则 a∩b=A 与 a‖b 矛盾。 过点 A 在平面 α 内作直线 c‖b,由 a‖b 得 a‖c。 而 A∈a,且 A∈c,即 a∩c=A,这与 a‖c 相矛盾。 于是假设错误,故原命题正确。(反证法)

例题 2 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所 在直线都是异面直线,求 k 的最大值.

解答 考察如图所示的正方体上的四条线段 AC, BC1,D1B1,A1D,它们所在直线两两都是异面直线.又 若有 5 条或 5 条以上两两异面的直线,则它们的端点 相异且个数不少于 10,与正方体只有 8 个顶点矛 盾.故 K 的最大值是 4.

D1 A1
D

C1 B1
C

A

B

练习 1 在正方体的 8 个顶点、12 条棱的中点、6 个面的中心及正方体的中心共

计 27 个点中,问共线的三点组的个数是多少

解答 两端点都为顶点的共线三点组共有 8? 7 ? 28 个;两端点都为面的中心共线 2

三点组共有 6?1 ? 3 个;两端点都为各棱中点的共线三点组共有 12? 3 ? 18个,且

2

2

没有别的类型的共线三点组,所以总共有 28 ? 3?18 ? 49 个.

例题 3 在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对角线 A1B 上存在一点 P 使得 AP+D1P 最短,求 AP+D1P 的最小值.

解答 将等腰直角三角形 AA1B 沿 A1B 折起至 A?A1B ,使三角形 A?A1B 与四边形

A1BCD1 共面,联结 A?D1 ,则 A?D1 的长即为 AP+ D1P 的最小值,所以,

A?D1 ? 12 ?12 ? 2?1?1? cos1350 ? 2 ? 2

练习 3 已知单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对棱 BB1、D1 上有两个动点 E、F,

BE=D1F=

?( 0

?

?

?

1 2

).设

EF

与 AB

所成的角为 ?

,与

BC 所成的角为

?

,求?

?

?

的最小值.

解答 当 ? ? 1 时,? ? ? ? ? .不难证明? ? ? ? f (?) 是单调减函数.因此? ? ? 的

2

2

最小值为 ? . 2

例十七、(2000 年全国联赛一试)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面

体的棱长为 a ,则这个球的体积是



分析:由正四面体的图象的对称性可知,内切球的球心必为正四面体的中心,球

与各棱相切,其切点必为各棱中点,考查三组对棱中点的连线交于一点,即为内

切球的球心,所以每组对棱间的距离即为内切球的直径,于是有: 2r ? 2 a 2

3



V

?

4 3

??

? ? ???

2 4

? a???

?

2? a3 24

P

练习:同样可用体积法求出棱长为 a 的正四面体的外

接球和内切球的半径.分析可知,正四面体的内切球
A
与外接球球心相同,将球心与正四面体的个顶点相连,

O
Rr
E

C D B

可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥,于是可知内切球的半径即为正四面体

高度的四分之一,外接球半径即为高度的四分之三.故只要求出正四面体的高度

即可.

又: h ?

a2

?

? ??

?

3 3

a

?2 ???

?

2 a2 ? 6 a ,所以, R ? 6 a, r ? 6 a .

3

3

4

12

例二十三、(1991 年全国联赛一试)设正三棱锥 P—ABC 的高为 PO,M 为 PO

的中点,过 AM 作与棱 BC 平行的平面,将三棱锥截为上、下两个部分,试求此

两部分的体积比. 分析:取 BC 的中点 D,连接 PD 交 AM 于 G,设 所作的平行于 BC 的平面交平面 PBC 于 EF,由 直线与平面平行的性质定理得:EF∥BC,连接

P

F

MG

HE

C

AE,AF,则平面 AEF 为合乎要求的截面.

A

作 OH∥PG,交 AG 于点 H,则:OH=PG.

BC ? PD ? PG ? GD ? 1? GD ? 1? GD ? 1? AD ? 5 ;

EF PG PG

PG OH AO 2

故: VA?PEF VA?PBC

?

S?PEF S?PBC

?

? ??

EF BC

2
? ? ?

? 4 ;于是: VA?PEF

25

VA? EFBC

?

4. 21

O

D

B

8、如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线,那么与a,b,c都相交的直线有

(A) 0 条

(B) 1 条

(C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条

解:在 a、b、c 上取三条线段 AB、CC?、A?D?,作一个平行六面体 ABCD—A?B?C?D?, 在 c 上取线段 A?D?上一点 P,过 a、P 作 一个平面,与 DD?交于 Q、与 CC?交于 R,则 QR∥a,于是 PR 不与 a 平行,但 PR 与 a 共面.故 PR 与 a 相交.由于可 以取无穷多个点 P.故选 D.
c
P

Q D’ C’ b

D

R C

a

A‘ B‘

A

BS

3. 设四棱锥 P ? ABCD的底面不是平行四边形, 用平面? 去截此四棱锥, 使得

截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ? (

)

(A) 不存在 (B)只有 1 个 (C) 恰有 4 个 (D)有无数多个

例一、(1991 年全国联赛一试)由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的

个数为

(A)4;

(B)8;

(C)12;

(D)24.

分析:一个正方体一共有 8 个顶点,根据正方体的结构特征可知,构成正三角形

的边必须是正方体的面对角线.考虑正方体的 12 条面对角线,从中任取一条可

与其他面对角线构成两个等边三角形,即每一条边要在构成的等边三角形中出现

两次,故所有边共出现 2C112 ? 24 次,而每一个三角形由三边构成,故一共可构成
的等边三角形个数为 24 ? 8 个. 3
例 1 在桌面上放着四个两两相切、 半 径均为 r 的球, 试确定其顶端离桌面的 高度;并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个 球均相切的小球的半径.

(2012 重庆)9.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱

与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是( A )

A. (0, 2)

B. (0, 3)

C. (1, 2)

D. (1, 3)

(2010 全国)(6)直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,
则异面直线 BA1 与 AC1所成的角等于( C ) (A)30° (B)45°(C)60° (D)90° 6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的性质、异面直线所成 的角、异面直线所成的角的求法. 【解析】延长 CA 到 D,使得 AD ? AC ,则 ADA1C1 为平行四边形, ?DA1B 就是

异面直线

BA1 与 AC1所成的角,又三角形 A1DB 为等边三角形,??DA1B ? 600

过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 作直线 a,使 a 与棱 AB, AD, A A1 所在直线 所成的角都相等,这样的直线 a 可以作( D )

A)1 条

B)2 条

C)3 条

D)4 条

(2010 重庆)(9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( D )

(A)只有 1 个

(B)恰有 3 个

(C)恰有 4 个

(D)有无穷多个

11.如图,M 是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列命题

①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都相交; ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB 、 B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 B1C1 都相交; ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB 、 B1C1 都平行. 其中真命题是:

A B
A1

B1

D C
M
D1 C1

A.②③④

B.①③④

C.①②④

D.①②③

3、 如图:在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,EF 分别是棱 BC 与 C1D1 的中点.

求证:EF //平面 BDD1B1 (方法两种)

D1

E

C1

A1

B1

D A

C
F B

4、如图,P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,Q 是 PA 的中点.

求证:PC//平面 BDQ(隐含中点的运用)

P

Q

A

D

B

C

(20)(本题满分 14 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC,∠ABC=120°。E 为线 段 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A’DE,使平面 A’DE⊥平面 BCD,F 为线段 A’C 的中点。求证:BF∥平面 A’DE(方法两种)
18. (本小题满分 12 分)
如 图 , 直 三 棱 柱 ABC-A'B'C' , ?BAC=90? , AB=AC=?AA' ,点 M ,N 分别为 A'B 和 B'C' 的中点 证明: MN //平面A'ACC' ;


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