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第十章第三课时空间点线面之间的位置关系

时间:2012-12-23


第3课时 空间点、线、面 之间的位置关系

基础知识梳理
1.平面的基本性质
名称 图示 文字表示 符号表示

公理 1

如果一条直线 上的 两点 在一 A∈l,B∈l, 且A∈α, 个平面内,那 B∈α?l?α 么这条直线在 此平面内

基础知识梳理
名称 公理 2 图示 文字表示 过不在一条直线 上的三点,有且 只有一个平面 符号表示

公理 3

如果两个不重合 的平面有一个公 P∈α,且 共点,那么它们 P∈β?α∩β 有且只有一条 过 =l,且P∈l 该点的公共直线

基础知识梳理
2.空间两直线的位置关系 (1)位置关系的分类
有且只有一个
没有 没有

基础知识梳理
(2)平行公理 公理4:平行于同一直线的两 条直线 互相平行 ——空间平行线 的传递性. (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分 别对应平行 ,那么这两个角相等 或互补.

基础知识梳理
(4)异面直线所成的角 设a、b是异面直线,经过空间任一点 O,分别作直线a′∥a,b′∥b,把直线a′与 b′所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a、b 所成的角. 如果两条异面直线所成的角是 直角, 则称这两条直线互相垂直.

基础知识梳理
3.直线和平面的位置关系
位置关系 图示 符号表 示 公共点 个数

直线l在平面 α内

l?α

无数个

基础知识梳理
位置关系
直线l与平面 α相交

图示

符号表示

公共点个 数 一个

l∩α=A

直线l与平面 α平行

l∥α

0个

基础知识梳理
4.平面与平面的位置关系
位置 关系 两平 面平 行 图示 符号表 示 α∥β 公共点个 数 0个

两平 面相 交

a∩β=l

无数个(这 些公共点 均在交线l 上)

三基能力强化
1.分别在两个平面内的两条直 线的位置关系是( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 答案:D

三基能力强化

2.已知a,b是异面直线,直线 c∥直线a,则c与b( ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 答案:C

三基能力强化
3.已知A、B、C表示不同的 点,l表示直线,α、β表示不同的平 面,则下列推理错误的是( ) A.A∈l,A∈α,B∈l, B∈α?l?α B.A∈α,A∈β,B∈α, B∈β?a∩β=AB C.l?α,A∈l?A?α D.A∈α,A∈l,l?α?l∩α=A 答案:C

三基能力强化
4.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线AC与B1C1 所成的角为 . 答案:45° 5.三条直线两两相交,可以确 定__________个平面. 答案:1或3

课堂互动讲练
考点一 点共线问题

证明共线问题:(1)可由两点连 一条直线,再验证其他各点均在这 条直线上;(2)可直接验证这些点都 在同一条特定的直线上——两相交 平面的唯一交线,关键是通过绘出 图形,作出两个适当的平面或辅助 平面,证明这些点是这两个平面的 公共点.

课堂互动讲练
例1
如图,在四面体ABCD中作截面 PQR,PQ、CB的延长线交于M,RQ、 DB的延长线交于N,RP、DC的延长线交 于K.求证:M、N、K三点共线.

课堂互动讲练

【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线,由公理3可知,只要证明 M、N、K都在平面BCD与平面PQR 的交线上即可.

课堂互动讲练
PQ∩CB=M? ? RQ∩DB=N ?? ? RP∩DC=K ?

【证明】

M、N、K∈平面BCD ? ?? M、N、K∈平面PQR ?

M、N、K在平面BCD与平面PQR 的交线上,即M、N、K三点共线.

课堂互动讲练

【名师点评】 错误主要出现在 不能正确判断M、N、K所在平面.

课堂互动讲练
考点二 线共点问题

证明共点问题一般是证明三条 直线交于一点.首先证明其中的两 条直线相交于一点,然后再说明第 三条直线是经过这两条直线的两个 平面的交线,由公理3可知两个平 面的公共点必在两个平面的交线 上,即三条直线交于一点.

课堂互动讲练
例2 如图所示,已知空间四边形ABCD中, E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别

CF CG 2 是边 BC、CD 上的点,且 = = ,求证: CB CD 3

三条直线EF、GH、AC交于一点.

课堂互动讲练

【思路点拨】 先证E、F、G、 H四点共面,再证EF、GH交于一 点,然后证明这一点在AC上.

课堂互动讲练
【证明】 ∵E、H分别是AB、AD的中点,
1 ∴由中位线定理知,EH 綊 BD. 2 CF CG 2 又∵ = = , CB CD 3 2 ∴在△CBD 中,FG∥BD,且 FG= BD. 3

∴由公理4知,EH∥FG,且EH<FG. ∴四边形EFGH是梯形,EH、FG为上、下 两底.

课堂互动讲练
∴两腰EF、GH所在直线必相交 于一点P. ∵P∈直线EF,EF?平面ABC, ∴P∈平面ABC.同理可得P∈平面 ADC, ∴P在平面ABC和平面ADC的交 线上. 又∵面ABC∩面ADC=AC, ∴P∈直线AC.故EF、GH、AC三 直线交于一点.

课堂互动讲练

【思维总结】 证明线共点的方 法一般是先证两条直线相交于一点, 然后再证明这一点在第三条直线上, 而证明后者,往往是利用这点在两个 平面的交线上.

课堂互动讲练
互动探究 若本例中的其他条件不变,将比例改 AE CF AH CG 为 = =2, = =3.求证: EB FB HD GD EH、FG、BD 三线共点.

课堂互动讲练
AE CF 证明:因为 = =2, EB FB 所以 EF∥AC. AH CG 又 = =3, HD GD ∴HG∥AC, ∴EF∥HG,且EF>HG. 所以四边形EFGH为梯形,设EH 与FG交于点P, 则P∈平面ABD,P∈平面BCD, 所以P在两平面的交线BD上, 所以EH、FG、BD三线共点.

课堂互动讲练
考点三
点、线共面问题

证明若干条线(或若干个点)共面,一般来 说有两种途径:一是首先由题目条件中的部 分线(或点)确定一个平面,然后再证明其余的 线(或点)均在这个平面内;二是将所有元素分 为几个部分,然后分别确定几个平面,再证 这些平面重合.本题最容易忽视“三线共点” 这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细 推敲问题中每一句话的含义.

课堂互动讲练
例3

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,点E、F分别是棱AA1、CC1的中 点,求证:D1、E、F、B共面.

课堂互动讲练

【思路点拨】 连结D1E、 D1F→D1E与DG相交,D1F与DC 相交→证明两交点与B共线.

课堂互动讲练
【证明】 ∵D1、E、F三点不共

线,

∴D1、E、F三点确定一平面α, 又由题意可知D1E与DA共面于平面 A1D且不平行,故分别延长D1E、DA 相交于G,则G∈直线D1E?平面α, ∴G∈α.同理,设直线D1F与DC的 延长线交于点H,则H∈平面α.

课堂互动讲练

课堂互动讲练
又∵点G、B、H均属于平面 AC,且由题设条件知E为AA1的中点 且AE∥DD1,从而AG=AD=AB, ∴△AGB为等腰直角三角形, ∴∠ABG=45°,同理∠CBH= 45°, 又∵∠ABC=90°,从而点 B∈α, ∴D1、E、F、B共面.

课堂互动讲练

【名师点评】 题中是先说明 D1、E、F确定一平面,再说明B在所 确定的平面内,也可证明D1E∥BF, 从而说明四点共面.

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考点四 异面直线的判定

证明两直线为异面直线的方法: 1.定义法(不易操作). 2.反证法:先假设两条直线不 是异面直线,即两直线平行或相交, 由假设的条件出发,经过严密的推 理,导出矛盾,从而否定假设肯定两 条直线异面.此法在异面直线的判定 中经常用到.

课堂互动讲练
3.客观题中,也可用下述结论: 过平面外一点和平面内一点的直 线,与平面内不过该点的直线是异面直 线,如图.

课堂互动讲练
例4 如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、 B1C1的中点.问: (1)AM和CN是否是异面直线?说 明理由. (2)D1B和CC1是否是异面直线? 说明理由.

课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)易证 MN∥AC,所以AM与CN不是异面直 线.(2)由图易判断D1B和CC1是异面 直线,证明时常用反证法.

课堂互动讲练
【解】 (1)不是异面直线.理由: 连结MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点, ∴MN∥A1C1. 4分 又∵A1A綊C1C, ∴A1ACC1为平行四边形. ∴A1C1∥AC,得到MN∥AC, ∴A、M、N、C在同一平面内, 故AM和CN不是异面直线. 6分

课堂互动讲练
(2)是异面直线.理由: ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体, ∴B、C、C1、D1不共面. 8分 假设D1B与CC1不是异面直线, 则存在平面α,使D1B?平面α, CC1?平面α, ∴D1、B、C、C1∈α, ∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体 矛盾. ∴假设不成立,即D1B与CC1是异 面直线. 12分

课堂互动讲练

【名师点评】 证明异面直线的 方法中反证法最常用,不能把异面直 线误解为:分别在不同平面内的两条 直线为异面直线.

课堂互动讲练
高考检阅 (本题满分6分)由四个全 等的等边三角形围成的封闭 几何体称为正四面体.如 图,在正四面体ABCD中, E、F分别是BC和AD的中 点.CF与DE是一对异面直 线,在图中适当地选取一点 作出异面直线CF与DE的平 行线,找出异面直线CF与 DE所成的角.

课堂互动讲练
由四个全等的等边三 角形围成的封闭几何体称 为正四面体.如图,在正 四面体ABCD中,E、F分 别是BC和AD的中点.CF 与DE是一对异面直线,在 图中适当地选取一点作出 异面直线CF与DE的平行 线,找出异面直线CF与 DE所成的角.

课堂互动讲练
解:选取平面BCF,该平面有以 下两个特点:①该平面包含直线CF; ②该平面与DE相交于点E.在平面BCF 中,过点E作CF的平行线交BF于点 N,连结ND,可以看出:EN与ED所 成的角即为异面直线FC与ED所成的 角. 6分

规律方法总结
1.公理1反映了平面的本质属 性,通过直线的“直”和“无限延伸”的 特性,揭示了平面的“平”和“无限延 展”的特征.其作用是:(1)检验平 面;(2)判断直线在平面内;(3)由直线 在平面内判定直线上的点在平面内.

规律方法总结
2.公理2的作用:确定平面的依 据.它提供了把空间问题转化为平面问 题的条件.例如:三点确定几个平面? 当三点共线时,三点确定无数个平面; 当三点不共线时,确定一个平面,所以 三点确定一个或无数个平面. 公理2中的“有且只有一个”包含两 层含义:(1)“有”说明平面的存在性; (2)“只有一个”说明平面的唯一性.

规律方法总结
3.公理3进一步反映了平面的延展 性.其作用是:(1)判定两平面相交; (2)作两平面相交的交线(当知道两个平 面的两个公共点时,这两点的连线就是 交线);(3)证明多点共线(如果几个点都 是某两个平面的公共点,则这几个点都 在这两个平面的交线上).

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