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高中数学解析几何解题方法总结

时间:2019-03-04

高中数学解析几何解题方法总结
老师在讲题的时候, 经常如未卜先知一般,就知道已知条件里经常存在着 一个自己完全不知道的信息;或者分析着分析着,就突然来句:“这道题可以用 反证法/数学归纳法……”解法是很精妙,但换你来做,你就是没有意识到要采用 这样的方法。 我也曾经问过老师,为什么你们当时会想到用这种方法?得到的也 往往是“不知道”、“题目做多了就明白了”。

高中数学解析几何解题方法我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势: (1)题型稳定:近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题,一 个填空题,一个解答题上,占总分值的 20%左右。 (2)整体平衡,重点突出:其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有 遗漏,通过对知识的重新组合,考查时既留意全面,更留意突出重点,对支撑数 学科知识体系的主干知识, 考查时保证较高的比例并保持必要深度。近几年新教 材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型: ① 求曲线方程(类型确定、类型未定); ②直线与圆锥曲线的交点题目(含切线题目);

③与曲线有关的最(极)值题目; ④与曲线有关的几何证实(对称性或求对称曲线、平行、垂直); ⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数目特征;

高中数学解析几何解题方法: (3)能力立意,渗透数学思想:一些虽是常见的基本题型,但假如借助于数 形结合的思想,就能快速正确的得到答案。 (4)题型新奇,位置不定:近几年解析几何试题的难度有所下降,选择题、 填空题均属易中等题,且解答题未必处于压轴题的位置,计算量减少,思考量增 大。加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等),凸现教材中研究 性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。 在近年高考中,对直线与圆内容的考查主要分两部分: (1)以选择题题型考查本章的基本概念和性质,此类题一般难度不大,但每 年必考,考查内容主要有以下几类: ①与本章概念(倾斜角、斜率、夹角、间隔、平行与垂直、线性规划等)有关 的题目; ②对痴光目(包括关于点对称,关于直线对称)要熟记解法; ③与圆的位置有关的题目,其常规方法是研究圆心到直线的间隔. 以及其他“标准件”类型的基础题。 (2)以解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系,此类题综合性比较强,难度 也较大。 预计在今后一、二年内,高考对本章的考查会保持相对稳定,即在题型、题 量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。

相比较而言, 圆锥曲线内容是平面解析几何的核心内容,因而是高考重点考 查的内容, 在每年的高考试卷中一般有 2~3 道客观题和一道解答题,难度上易、 中、难三档题都有,主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质,直线与圆锥的位 置关系等,从近十年高考试题看大致有以下三类: (1)考查圆锥曲线的概念与性质; (2)求曲线方程和求轨迹; (3)关于直线与圆及圆锥曲线的位置关系的题目. 选择题主要以椭圆、双曲线为考查对象,填空题以抛物线为考查对象,解答 题以考查直线与圆锥曲线的位置关系为主,对于求曲线方程和求轨迹的题,高考 一般不给出图形,以考查学生的想象能力、分析题目的能力,从而体现解析几何 的基本思想和方法,圆一般不单独考查,总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型 考题,等轴双曲线基本不出题,坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题,大 多是以选择题形式出现.解析几何的解答题一般为困难,近两年都考查了解析几 何的基本方法——坐标法以及二次曲线性质的运用的命题趋向要引起我们的重 视. 请同学们留意圆锥曲线的定义在解题中的应用, 留意解析几何所研究的题目 背景平面几何的一些性质.从近两年的试题看,解析几何题有前移的趋势,这就 要求考生在基本概念、基本方法、基本技能上多下功夫.参数方程是研究曲线的 辅助工具.高考试题中,涉及较多的是参数方程与普通方程互化及等价变换的数 学思想方法。 考查的重点要落在轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,往往是通过直线 与圆锥曲线方程的联立、消元,借助于韦达定理代人、向量搭桥建立等量关系。 考查题型涉及的知识点题目有求曲线方程题目、 参数的取值范围题目、 最值题目、 定值题目、 直线过定点题目、 对痴光目等, 所以我们要把握这些题目的基本解法。 命题特别留意对思维严密性的考查,解题时需要留意考虑以下几个题目: 1、设曲线方程时看清焦点在哪条坐标轴上;留意方程待定形式及参数方程的 使用。 2、直线的斜率存在与不存在、斜率为零,相交题目留意“D”的影响等。 3、命题结论给出的方式:搞清题目所给的几个小题是并列关系还是递进关 系。假如前后小题各自有强化条件,则为并列关系,前面小题结论后面小题不能 用;不过考题经常给出的是递进关系,有(1)、第一问求曲线方程、第二问讨论直 线和圆锥曲线的位置关系,(2)第一问求离心率、第二问结合圆锥曲线性质求曲 线方程,(3)探索型题目等。解题时要根据不同情况考虑施加不同的解答技巧。 4、题目条件如与向量知识结合,也要留意向量的给出形式:

(1)、直接反映图形位置关系和性质的,如?=0,=( ),λ,以及过三角形“四心” 的向量表达式等; (2)、=λ:假如已知 M 的坐标,按向量展开;假如未知 M 的坐标,按定比分点 公式代进表示 M 点坐标。 (3)、若题目条件由多个向量表达式给出,则考虑其图形特征(数形结合)。 5、考虑圆锥曲线的第一定义、第二定义的区别使用,留意圆锥曲线的性质 的应用。 6、留意数形结合,特别留意图形反映的平面几何性质。 7、解析几何题的另一个考查的重点就是学生的基本运算能力,所以解析几 何考题学生普遍感觉较难对付。 为此我们有必要在平常的解题变形的过程中,发 现积累一些式子的常用变形技巧,如假分式的分离技巧,对痴规换的技巧,构造 对称式用韦达定理代进的技巧, 构造均值不等式的变形技巧等,以便提升解题速 度。 8、平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征,所以这两者多有结 合,在它们的知识点交汇处命题,也是高考命题的一大亮点.直线与圆锥曲线的 位置关系题目是常考常新、经久不衰的一个考查重点,另外,圆锥曲线中参数的 取值范围题目、最值题目、定值题目、对痴光目等综合性题目也是高考的常考题 型.解析几何题一般来说计算量较大且有一定的技巧性, 需要“精打细算”, 近几年 解析几何题目的难度有所降低, 但还是一个综合性较强的题目,对考生的意志品 质和数学机智都是一种考验, 是高考试题中区分度较大的一个题目,有可能作为 今年高考的一个压轴题出现. 例 1 已知点 A(-1,0),B(1,-1)和抛物线.,O 为坐标原点,过点 A 的动直线 l 交抛物线 C 于 M、P,直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q,如图. (1)若△ POM 的面积为,求向量与的夹角。 (2)试证实直线 PQ 恒过一个定点。 高考命题虽说千变万化, 但只要找出相应的一些规律,我们就大胆地猜想高 考解答题命题的一些思路和趋势,指导我们后面的温习。对待高考,我们应该采 取正确的态度,再大胆猜测的同时,更要注重基础知识的进一步巩固,多做一些 简单的综合练习,进步自己的解题能力.

一、高考温习建议: 本章内容是高考重点考查的内容, 在每年的高考考试卷中占总分的 15%左釉 冬分值一直保持稳定,一般有 2-3 道客观题和一道解答题。选择题、填空题不仅 重视基础知识和基本方法, 而且具有一定的灵活性与综合性, 难度以中档题居多, 解答题注重考生对基本方法,数学思想的理解、把握和灵活运用,综合性强,难 度较大,常作为把关题或压轴题,其重点是直线与圆锥曲线的位置关系,求曲线 方程,关于圆锥曲线的最值题目。考查数形结合、等价转换、分类讨论、函数与 方程、逻辑推理诸方面的能力,对思维能力、思维方法的要求较高。 高中数学解析几何解题方法: 近几年,解析几何考查的热门有以下几个 ――求曲线方程或点的轨迹 ――求参数的取值范围 ――求值域或最值 ――直线与圆锥曲线的位置关系 以上几个题目往往是相互交叉的,例如求轨迹方程时就要考虑参数的范围, 而参数范围题目或者最值题目,又要结合直线与圆锥曲线关系进行。 总结近几年的高考试题,温习时应留意以下题目: 1、重点把握椭圆、双曲线、抛物线的定义或性质

这是由于椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质是本章的基石,高考所考的题 目都要涉及到这些内容,要善于多角度、多层次不断巩固强化三基,努力促进知 识的深化、升华。 2、重视求曲线的方程或曲线的轨迹 曲线的方程或轨迹题目往往是高考解答题的命题对象,而且难度较大,所以 要把握求曲线的方程或曲线的轨迹的一般方法:定义法、直接法、待定系数法、 代进法(中间变量法)、相关点法等,还应留意与向量、三角等知知趣结合。 3、加强直线与圆锥曲线的位置关系题目的温习 由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热门, 这类题目常涉及到圆锥 曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直题目,因此分析题目 时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系往解决题目, 这样 就加强了对数学各种能力的考查,其中着力抓好“运算关”,增强抽象运算与变形 能力。解析几何的解题思路轻易分析出来,往往由于运算不过关中途而废,在学 习过程中, 应当通过解题, 寻求公道运算方案, 以及简化运算的基本途径和方法, 亲身经历运算困难的发生与克服困难的完整过程,增强解决复杂题目的信心。 4、重视对数学思想、方法进行回纳提炼,达到优化解题思路,简化解题过 程的目的。 用好方程思想。解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线, 因此把直线与圆锥曲线相交的弦长题目利用韦达定理进行整体处理, 就可简化解 题运算量。

用好函数思想,把握坐标法。 二、知识梳理 ●求曲线方程或点的轨迹

求曲线的轨迹方程是解析几何的基本题目之一,是高考中的一个热门和重 点, 在历年高考中出现的频率较高,特别是当今高考的改革以考查学生的创新意 识为突破口,注重考查学生的逻辑思维能力、运算能力、分析题目和解决题目的 能力,而轨迹方程这一热门,则能很好地反映学生在这些方面能力的把握程度。 下面先容几种常用的方法 (1) 直接法:动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,我们只 需把这种关系“翻译”成含 x、粉底液哪个牌子好 y 的等式就得到曲线轨迹方程。 (2) 定义法:其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则可根据定义直接求 出动点的轨迹方程。 (3) 几何法:若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段中垂线、角平分线性质 等),可以用几何法,列出几何式,再代进点的坐标较简单。 (4) 相关点法(代进法):有些题目中,某动点满足的条件不便用等式列出, 但动点是随着另一动点(称为相关点)而运动的,假如相关点所满足的条件是明显 的, 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标, 再把相关点代进其所满足的方程, 即可求得动点的轨迹方程。 (5) 参数法:有时求动点应满足的几何条件不易得出,也无明显的相关点, 但却较易发现这个动点的运动经常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距)等 的制约,即动点坐标(x、y)中的 x、y 分别随另一变量的变化而变化,我们可称这 个变量为参数,建立轨迹的参数方程,这种方法叫参数法。消往参数,即可得到 轨迹普通方程。选定参变量要特别留意它的取值范围对动点坐标取值范围的影 响。 (6) 交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹题目, 这类题目常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消往参数求出所求轨迹方 程,该法经常与参数法并用。 ●求参数范围题目 在解析几何题目中, 常用到参数来刻划点和曲线的运动和变化,对于参变量 范围的讨论,则需要用到变与不变的相互转化,需要用函数和变量往思考,因此 要用函数和方程的思想作指导, 利用已知变量的取值范围以及方程的根的状况求 出参数的取值范围。 例 1、已知椭圆 C: 试确定 m 的范围,使得对于直线 l: y = 4x+m 椭圆上 有不同的两点关于直线 l 对称。 例 2、已知双曲线的中心在原点,右顶点为 A(1,0),点 P、Q 在双曲线的右 支上,点 M (m , 0 ) 到直线 AP 的间隔为 1,

(1)若直线 AP 的斜率为 k ,且 ,求实数 m 的取值范围 (2)当 时,ΔAPQ 的内心恰好是点 M,求此双曲线的方程 ●值域和最值题目 与解析几何有关的函数的值域或弦长、面积等的最大值、最小值题目是解析 几何与函数的综合题目,需要以函数为工具来处理。 解析几何中的最值题目,一般是根据条件列出所求目标――函数的关系式, 然后根据函数关系式的特征选用参数法、 配方法、 判别式法, 应用不等式的性质, 以及三角函数最值法等求出它的最大值或最小值。另外,还可借助图形,利用数 形结正当求最值。 例1、如图,已知抛物线 y2 = 4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜 角为 π/4 的直线 l 与线段 OA 相交(不过 O 点或 A 点),且交抛物线于 M、N 两点,求△ AMN 面积最大时直线的方程,并求△ AMN 的最大面积。

●直线与圆锥曲线关系题目 1、直线与圆锥曲线的位置关系题目,从代数角度转化为一个方程组实解个 数研究(如能数形结合,可借助图形的几何性质则较为简便)。即判定直线与圆锥 曲线 C 的位置关系时,可将直线方程带进曲线 C 的方程,消往 y(有时消往 x 更方 便),得到一个关于 x 的一元方程 ax2 + bx + c = 0 当 a=0 时,这是一个一次方程,若方程有解,则 l 与 C 相交,此时只有一 个公共点。若 C 为双曲线,则 l 平行与双曲线的渐进线;若 C 为抛物线,则 l 平 行与抛物线的对称轴。所以当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线和 双曲线、抛物线可能相交,也可能相切。 当 a≠0 时,若 Δ>0 l 与 C 相交

Δ=0 l 与 C 相切 Δ<0 l 与 C 相离 2、涉及圆锥曲线的弦长,一般用弦长公式结合韦达定理求解。 解决弦中点有两种常用办法:一是利用韦达定理及中点坐标公式;二是利用 端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造出中点坐标和斜率的关系(点差法) 中点弦题目就是当直线与圆锥曲线相交时, 得到一条显冬进一步研究弦的中 点的题目. 中点弦题目是解析几何中的重点和热门题目, 在高考试题中经常出现. 解决圆锥曲线的中点弦题目,“点差法”是一个行之有效的方法,“点差法”顾名思 义是代点作差的办法. 其步骤可扼要地叙述为:①设出弦的两个端点的坐标;② 将端点的坐标代进圆锥曲线方程相减;③得到弦的中点坐标与所在直线的斜率的 关系,从而求出直线的方程;④ 作简 要的检验. 本文试图通过对一道高考试题解法的探讨,谈点个人见解. 一、高考试题 椭圆 C: + = 1(a> b > 0)的两个焦点为 F1, F2, 点 P 在椭圆 C 上, 且 PF1⊥F1F2, |PF1|=, |PF2| = . (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 若直线 l 过圆 x2 + y2 + 4x - 2y = 0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A,B 两点,窃 读,B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程. 二、解题思路 第(1)题的解法不再赘述,答案是:+ = 1,在此基础上研究第(2)题的解法. 1. 运用方程组的思路 设 A(x1,y1),B(x2,y2),已知圆的方程为(x + 2)2 + (y - 1)2 = 5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1),从而可设直线 l 的方程为:y= k(x+ 2)+1. ∴y= k(x+ 2)+ 1,+=1.消 y 得 (4 + 9k2)x2 + (36k2 + 18k)x + 36k2 + 36k - 27 = 0. ∵ A,B 关于点 M 对称, ∴ = - = -2,解得 k =. ∴ 直线 l 的方程为:8x - 9y + 25 = 0.

2. 运用“点差法”的思路 已知圆的方程为(x+ 2)2+ (y- 1)2= 5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意 x1≠x2 且 + = 1(1)+= 1(2) 由(1)- (2)得 + = 0(3) 由于 A,B 关于点 M 对称,所以 x1 + x2 = -4,y1 + y2 = 2,代进(3)得 k1 = =, 所以,直线 l 的方程为:8x - 9y + 25 = 0. 经检验,所求直线方程符合题意.

高中数学解析几何解题方法:

三、对两种思路的熟悉 思路 1 运算较复杂, 尤其是消元得到方程这一步,很多学生是不能顺利过关 的;思路 2 运算较简洁,学生易把握. 对于两种思路都必须分析到:直线 l 经过圆 心,而且圆心是弦的中点. 这些方法在考题中经常有所涉及. 四、对“点差法”的思考 1. “点差法”使用条件的反思 “点差法”使用起来较为简洁,那么使用“点差法”的条件是什么? 假设一条直线与曲线 mx2 + ny2 = 1(n, m 是不为零的常数, 且不同时为负数) 相交于 A,B 两点,设 A(x1,x2),B(x2,y2),则 mx12 + ny12= 1,mx22 + ny22 = 1, 两式相减有: m(x1 - x2)(x1 + x2) = -n(y1 - y2)(y1 + y2). 其中 x1+x2 与 y1 + y2 和线段 AB 的中点坐标有关; 为 AB 的斜率. 由此可见, 知道其中一个可以求出另外一个, 意思是说:要用“点差法”,需知道 AB 的中点和 AB 的斜率之一才可求另一个. 然 后进行扼要的检验. 2. 先容一种处理中点弦题目时的巧妙的独到的解法

例题 已知双曲线 x2 - = 1,问是否存在直线 l,使得 M(1,1)为直线 l 被双曲 线所截弦 AB 的中点.若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 由题意得 M(1,1)为显读 B 的中点,可设 A(1+ s,1+ t),B(1- s,1- t),(s,t∈T 订,由于 A,B,M 不重合可知, s,t 不全为零. 又点 A,B 在双曲线 x2-= 1 上, 将点的坐标代进方程得 (1+ s)2-= 1(1)(1- s)2-= 1(2) (1)+ (2) 可得 s2= t2 (3) (1)- (2) 可得 t = 2s (4) 将(4)代进(3)可得 s= 0,t= 0,不可能,故不存在这样的直线. 这里我们回纳一下解题思路: 已知直线 l 与圆锥曲线:ax2 + by2 = 1(a,b 使得方程为圆锥曲线)相交于 A, B 两点,设中点为 M(m,n),求直线 l 方程. 解题思路 设 A(m+ s,n+ t),B(m - s,n - t), (s,t∈T 订,由于 A,B,M 不 重合可知,s,t 不全为零. 又点 A,B 在双曲线 ax2 + by2 = 1 上,将点的坐标代 进方程得 a(m + s)2- b(n+ t)2= 1, a(m-s)2 - b(n- t)2= 1.解得:ams = bnt,am2 +s2 = bn2 + t2. (由于这里全是字母运算,表达式复杂,不再求出所有的表达式的具体 形式,只是谈一下思路)进一步解出 s,t 的值,从而知道 A,B 的坐标,运用两点
式求出直线 l 的方程。

熟记数学公式定律。 高中数学虽然不用像文史类那样死记硬背,但是对于公 式定理是要能够熟练运用的,任何一道题都会有公式的参与,记不住公式,怎么 能够学好数学呢?


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