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南京大学(11商院)概率统计期末试卷

时间:2017-12-27


南京大学数学课程试卷
2012/2013 学年 第 一 考试时间 2013.1.9 题号 得分 一 36 系别 三 12 四 10 学期 考试形式 闭卷 学号 五 10 六 12

(商学院 11 级)
概率统计 (A 卷) 姓名 七 10 合计

课程名称

二 10

Φ (1.0)=0.8413, ? (1.28) = 0.90 , ? (1.64) = 0.95 , ? (1.96) = 0.975 , ? (2.33) = 0.99 , t 0.025 (16)=2.12, t 0.025 (17)=2.11, t 0.05 (16)=1.746, t 0.05 (17)=1.740 ? (2.58)=0.995, 一. (6 分×6=36 分) 1.某产品有 15 件,其中有次品 2 件,现从中任取 3 件,求至少取到 1 件次品的概率.

2.设随机变量 ? ~N(1, 4),

1 ? ~E( ), 且 ? 与 ? 独立,求 E(5 ? -3? ) 和 3

D(5 ? -3? )的值.

3 .设随机变量 X 和 Y 的 EX=EY=2 , DX=1 , DY=4 , rXY =0.5, P( X ? Y ? 6) 至多为多少?

用切比雪夫不等式计算

4.设总体 X 与 Y 相互独立, 且都服从 N(0 , ? 2 ), 和 Y 的样本,求统计量 T=

(X 1 , X 2 , X 3 )和 (Y 1 , Y 2 , Y 3 , Y 4 )分别是来自 X

?X
i ?1

3

2 i

? (Y
i ?1

4

的分布(如有自由度,须给出) .
2

i

?Y )

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5.若总体 ? ~N( ? , 0.9 2 ), 取自总体的容量为 9 的样本均值 x =5,求未知参数 ? 的置信度为 0.95 的置信区间.

为样本,求 ? 的极大似然估计量.

?e ?( x ?? ) , 6. 已知总体 X 的概率密度函数为 f(x, ? ) = ? ?0 ,

x ?? , ? 为未知参数,X 1 ,X 2 , … X n x ??

1 . 如果做了四次伯努利独立试验,事件 A 均未发生, 4 2 则事件 B 也不发生; 如果四次伯努利试验中事件 A 发生一次,则事件 B 发生的概率为 ; 而四次试验 3 中若事件 A 发生两次及两次以上,则事件 B 一定发生. 试求: (1)P(B) ; (2)若已知事件 B 已经发生, 问 四次试验中事件 A 至少发生两次及两次以上的概率.

二. (10 分)设事件 A 在一次试验中发生的概率为

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?2 ? x ? y , 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 三. (12 分)设( ? , ? )~p(x, y)= ? , 其它 ? 0, (2) ? 与 ? 的相关系数 r?? .

试求: (1) 边际密度 p? ( x) 和 p? ( y) ;

四.(10 分)设某种电子元件的使用寿命(单位:小时)服从参数为 λ =0.1 的指数分布,其使用情况 是第一个损坏第二个立即使用,第二个损坏第三个立即使用等等.已知每个元件的价格为 10 元,那 么在一年中至少需要多少元才能以 95%的概率保证该元件够用(假设一年有 306 个工作日,每个工 作日为 8 小时) .

五 . (10 分 ) 设 X 1 ,X 2 , … T=

X n 为 取 自 总 体 X 的 样 本 , E(X)= ? , D(X)= ? 2 , 试 问 统 计 量

n 2 . ? iX i 是 ? 的无偏和一致估计量吗?(须说明理由) n(n ? 1) i ?1

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六. (12 分)设有两总体 X~N ( ?1 , ? 2 ) 和 Y~N (?2, ? 2 ) , 且相互独立, X 1 , X 2 , …, X n 1 与 Y1 , Y 2 , …, Yn2

1 n1 1 n2 2 2 ( X ? X ) (Yi ? Y ) 2 , (1) 分别是取自 X 与 Y 的样本, 设S = 和S2 = ? ? i n 2 ? 1 i ?1 n 1 ? 1 i ?1
2 1
2 2 有 T=aS 1 +bS 2 2 均是 ? 的无偏估计; (2)试确定常数 a 和 b, 使

试证对任意常数 a 和 b , a+b=1, 方差 D(T)达到最小.

七.(10 分)已知某种罐头中维生素 C(Vc)的含量 X 服从正态分布,按照规定 Vc 的平均含量不得少于 21 毫克, 现从一批罐头中取了 17 罐, 算得 Vc 含量平均值 x =19, 样本标准差 S=
1 17 ( xi ? x ) 2 =3.98, ? 16 i ?1

(1)问该批罐头 Vc 的含量是否合格? ( ? =0.05)(2)求 ? =EX 的置信度为 95%的置信区间.

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