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(强烈推荐)2015高考数学:圆锥曲线专题

时间:2017-03-30

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海

2015 高考数学专项突破:圆锥曲线专题

目录 一、知识考点讲解 第一部分 第二部分 第三部分 ..................................................................... 2 ......................................................3 ......................................................5 ......................................................7

了解基本题型 掌握基本知识 掌握基本方法

二、知识考点深入透析 三、圆锥曲线之高考链接 四、基础知识专项训练 五、解答题专项训练

...........................................................13 ....................................................... 15 ...........................................................19 ............................................................... 28 ...................................34 ....................................... 38 ...........................................40

附录:圆锥曲线之高考链接参考答案 附录:基础知识专项训练参考答案 附录:解答题专项训练参考答案

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乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海

一、知识考点讲解
一、圆锥曲线的考查重点: 高考试卷对圆锥曲线的考查主要是: 给出曲线方程, 讨论曲线的基本元素和 简单的几何性质;或给出曲线满足的条件,判断(或求)其轨迹;或给出直线与 曲线、曲线与曲线的位置关系,讨论与其有联系的有关问题(如直线的方程、直 线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等);或讨论直线与曲线、曲线与曲线 的关系;或考查圆锥曲线与其它知识的综合(如与函数、数列、不等式、向量、 导数等)等。

二、圆锥曲线试题的特点: 1、突出重点知识的考查。直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、 几何性质等是圆锥曲线命题的根本, 在对圆锥曲线的考查中, 直线与圆锥曲线的 位置关系仍然是重点。 2、注重数学思想与方法的考查。 3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识,在知识网络 的交汇点处设计问题是高考的一大特点,由于向量具有代数和几何的双重身份, 使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为高考命题的热点, 导数知识的引入为我

们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。

三、命题重点趋势:直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线 1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线,直线与 圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。 2、热点主要体现在:直线与圆锥曲线的基础题;涉及位置关系的判定;轨 迹问题;范围与位置问题;最值问题;存在性问题;弦长问题;对称问题;与平 面向量或导数相结合的问题。 3、直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程,数形结合,分类讨论,化归 与转化等重要的数学思想方法,是高考必考内容之一,这类题型运算量比较大, 思维层次较高, 要求考生分析问题和解决问题的能力、 计算能力较高, 起到了拉

开考生“档次”,有利于选拔的功能,对学生的能力要求也相对较高,是每年高

2

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 考中平面几何部分出题的重点内容

第一部分 了解基本题型
一、高考中常见的圆锥曲线题型 1、直线与圆锥曲线结合的题型 ( 1)求圆锥曲线的轨迹方程: ( ★广东卷常在第一问考查) 这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质, 出现在选择题,填空题或者解答题的第一问,较容易。 ( 2)求直线方程、斜率、线段长度相关问题: 此类题目一般比较困难, 不仅考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握, 而且还 要求较低, 一是

考查学生的综合处理问题的能力, 还要求学生有较强的推算能力。 这类题目容易 与向量、数列、三角函数等知识相结合,学生在解题时,可能会因为抓不住解题 要领而放弃。 ( 3)判断直线与圆锥曲线的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一。 可从代数与几何两

个角度考虑, ①从代数角度看, 可通过将表示直线的方程, 代入圆锥曲线的方程 消元后所得的情况来判断, 但要注意的是: 对于椭圆方程来讲, 所得一元方程必 是一元二次方程, 而对双曲线方程来讲未必。 例如:将 y 中消 y 后整理得: (b
2

kx

m 代入

x a

2 2

y b

2 2

1

a k )x

2

2

2

2a kmx
kx

2

am

2

2

ab

2

2

0

,当 k
k

b a b a

时,该方程为一次方程, 时,该方程为二次方程,

此时直线 y

m 与双曲线的渐近线平行,当

这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系。 ②从几何角度看, 可分为三类: 无公共点, 仅有一个公共点及两个相异的公 共点,具体如下: ①直线与圆锥曲线的相离关系, 常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离 的最大值或最小值来解决。 ②直线与圆锥曲线仅有一个公共点, 对于椭圆, 表示直线与其相切; 对于双

3

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 曲线,表示与其相切或与双曲线的渐近线平行, 或直线与其对称轴平行。 ③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点, 线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 表示直线与圆锥曲线相割, 此时直 对于抛物线, 表示直线与其相切

2、圆与圆锥曲线结合的题型 这类题目要求学生对圆锥曲线、 圆以及直线的知识非常熟悉, 并有较强的综 合能力。 3、圆锥曲线与圆锥曲线结合的题型 这类题目在高考中并不是常考题型,但也是一个命题热点。题目中经常涉 及两种圆锥曲线, 对这部份知识要求较高, 必须熟练掌握才能进行解题, 还有这 类题目看起来比较复杂, 容易使人产生退却之心, 所以面对这种题型, 我们要克 服心理的恐惧,认真分析题意,结合学过的知识来解题。 4、圆锥曲线与向量知识结合的题型 在解决解析几何问题时,平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征, 而且又方便计算, 把解析几何与平面向量综合在一起进行测试, 可以有效地考查

考生的数形结合思想 . 因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合。高考对 解析几何与向量综合考查, 采取了新旧结合, 以旧带新, 使新的内容和旧的内容 有机地结合在一起设问,就形成了新的高考命题的热点。

二、常见的一些题型: 题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系; 题型二:弦的垂直平分线问题; 题型三:动弦过定点的问题; 题型四:过已知曲线上定点的弦的问题; 题型五:共线向量问题; 题型六:面积问题; 题型七:弦或弦长为定值问题; 题型八:角度问题; 问题九:四点共线问题; 问题十:范围问题(本质是函数问题) ; 问题十一、存在性问题: (存在点,存在直线 y
kx m ,存在实数,存在图形:

4

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 三角形(等比、等腰、直角) ,四边形(矩形、菱形、正方形) ,圆) 。 三、热点问题: 1、定义与轨迹方程问题; (★广东卷常在第一问考查) 2、交点与中点弦问题; 3、弦长及面积问题; 4、对称问题; 5、最值问题; 6、范围问题; 7、存在性问题; 8、定值、定点、定直线问题。

第二部分 掌握基本知识
1、与一元二次方程 ax ( 1) 判别式:
b
2 2

bx c
4ac 。

0(a

0) 相关的知识:(三个“二次”问题)

( 2) 韦达定理: 若一元二次方程 ax 则 x1
x2 b a , x1 x2 c a

2

bx c

0( a

0) 有两个不同的根 x1 , x2 ,

。 0( a 0) 有两个不同的根 x1 , x2 ,

( 3) 求根公式: 若一元二次方程 ax2 bx c b b
2



x1/ 2

4 ac

2a



2、与直线相关的知识: ( 1) 直线方程的五种形式: 点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。 ( 2)与直线相关的重要内容:① ② 点到直线的距离公式: d ( 3) 弦长公式: 直线 y
2

倾斜角与斜率: k Ax0 A By0
2

tan ,

[0, ) ;

C
2



B

kx

b 上两点 A( x1 , y1), B( x2 , y 2 ) 间的距离:
2 2

AB

1 k

x1

x2

(1 k )[( x1

x2 )

4 x1 x2 ] (或 AB

1

1 2 y1 k

y2 ,

较少用) 。 ( 4) 两条直线 l1 : y ① l1 l2 k1k 2 k1 x b1, l 2 : y 1; ② k2 x b2 的位置关系: l1 // l 2 k1 k2 且 b1 b2 。

5

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 ( 5) 中点坐标公式: 已知两点 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ,若点 M ( x, y) 是线段 AB 的中 点, 则 x
x1 2 x2 ,y y1 2 y2



3、圆锥曲线的重要知识: 考纲要求: 对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质,文理科要求有所不 同。 文科:掌握椭圆,了解双曲线及抛物线;理科:掌握椭圆及抛物线, 了解双曲线。 (1) 、圆锥曲线的定义及几何图形:椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何图形。 (2) 、圆锥曲线的标准方程: ① 椭
2


2



标 准







x a

2 2

y b

2 2

1(a

b

0且 a

2

b

2

c )

2



x

y

1(m

0, n

m

n (x

0且 m
2

n) ;
2 2 2

(距离式方程:

c)

y

(x x a
2 2

c)

y
2 2

2a )
2 2 2

② 双 曲 线 的 标 准 方 程 :
2 2

y b

1(a

0, b

0且 c

a

b )



x

y

m

n

1(m n

0) ;
2 2 2 2

(距离式方程: | ( x ③抛物线的标准方程: y 2

c)

y

( x c)

y | 2a )

2 px( p

0) ,还有三类。
a , b , c 三者的关

( 3) 、圆锥曲线的基本性质:必须要熟透,特别是离心率,参数 系, p 的几何意义等。 ( 4) 、圆锥曲线的其它知识: (了解一下,能运用解题更好 )
2b 2b ;双曲线: ;抛物线:2 p ; ①通径: 椭圆: a a
2 2

②焦点三角形面积公式:

P 在椭圆上时, S F1PF2

b tan

2

2

, ; 2

P在双曲线上时, S F PF
1

2

b

2

1 tan

6

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 (
2

其 ,cos | PF1 | | PF2 | 4c , PF1 PF2 | PF1 || PF2 | cos ) | PF1 | | PF2 |
2



F1PF2

③焦半径公式: 椭圆焦点在 x轴上时为 a ex0; 焦点在 y轴上时为 a ey0 , (简记为“左加右减,上加下减” ) ; 双曲线焦点在 x轴上时为 e | x0 | a ;
抛物线焦点在 x轴上时为 | x1 | p 2 , 焦点在 y轴上时为 | y1 | p 2

。 4、常结合其它知识进行综合考查: ( 1) 圆的相关知识: 两种方程,特别是直线与圆、两圆的位置关系。 ( 2) 导数的相关知识: 求导公式及运算法则,特别是与切线方程相关的知识。 ( 3) 向量的相关知识: 向量数量积的定义及坐标运算,两向量的平行与垂直的 判断条件等。 ( 4) 三角函数的相关知识: 各类公式及图象与性质等。 ( 5)不等式的相关知识: 不等式的基本性质,不等式的证明方法,均值定理等。

第三部分 掌握基本方法
一、圆锥曲线题型的解题方法分析 高考圆锥曲线试题常用的数学方法有:配方法、换元法、待定系数法、数学 归纳法、参数法、消去法等。 1 、解题的通法分析: 高考数学试题特别注重对中学数学通性通法的考查, 这符合高考命题原则:

考查基础知识, 注重数学思想, 培养实践能力。 中学数学的通性通法是指数学教 材中蕴涵的基本数学思想(化归思想、转化思想、分类思想、函数方程的思想、 数形结合的思想)和常用的数学方法(数形结合,配方法,换元法,消元法,待 定系数法等)。

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乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 解决圆锥曲线这部分知识有关的习题时,我们最常用的数学方法有数形结 合,待定系数法, 化归转化等。 在求解直线与圆锥曲线的问题时我们一般都可以 将直线方程与圆锥曲线方程联立, 得到一个方程组, 通过消元得到一个一元二次 方程再来求解。 就是要利用已知条件找到参数与参数之间或是与已知量之间的关 系, 这时一般会用到韦达定理进行转化。 例如要判断直线与圆锥曲线的位置关系, 我们就可以联立直线方程与圆锥曲线方程, 消 y 得到一个关于 x 的一个一元二次 =b
2

方程,然后我们就可以根据一个一元二次方程的△

4 ac 的值来判断。

直线与圆锥曲线的位置关系的判断: (直线与圆锥曲线的位置关系有 相切、相离 ) 设直线 L 的方程是: Ax 由 Ax By c f (x, y) 0 0 消去 y 得: ax2
2

相交、

By

c

0 ,圆锥曲线的 C 方程是 : f ( x, y)

0 ,则

bx c
4 ac ,则

0(a

0)

(* )

设方程( * )的判别式是△ = b ( 1)若圆锥曲线 f ( x, y) 若△ = b
2

0 是椭圆

4 ac >0

方程( * )有两个不等实根

直线 L 与椭圆 C 相交

直线与

椭圆 C 有两个不同的公共点。 若△ = b2
4 ac =0

方程( * )有两个相等的实根

直线 L 与椭圆 C 相切

直线

与椭圆 C 只有一个公共点。 若方程△ =b 2 无公共点。 ( 2)若圆锥曲线 f ( x, y) 若△ = b2
4 ac >0 0 是双曲线 4 ac <0

方程( * )无实根

直线 L 与椭圆 C 相离

直线与椭圆

方程( * )有两个不等实根

直线 L 与双曲线 C 相交

直线

与双曲线 C 有两个不同的公共点。 若△ = b
2

4 ac =0

方程( * )有两个相等的实根

直线 L 与双曲线 C 相切



线与双曲线 C 只有一个公共点。 若△ = b
2

4 ac <0

方程( * )无实根

直线 L 与双曲线 C 相离

直线与双曲线

C 无公共点。 注意 当直线 L 与渐近线平行, 直线 L 也与双曲线是相交的, 此时直线 L 与双

8

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 曲线只有一个公共点 . 故直线 L 与双曲线 C 只有一个公共点时,直线 可能相交也可能相切。 ( 3)若圆锥曲线 f ( x, y) 若△ = b
2

L 与双曲线

0 是抛物线

4 ac >0

方程( * )有两个不等实根

直线 L 与抛物线 C 相交

直线

与抛物线 C 有两个不同的公共点。 若△ = b2
4 ac =0

方程( * )有两个相等的实根

直线 L 与抛物线 C 相切



线与抛物线 C 只有一个公共点。 若△ = b
2

4 ac <0

方程( * )无实根

直线 L 与抛物线 C 相离

直线与抛物线

C 无公共点。 注意 当直线 L 与抛物线的对称轴平行时, 直线 L 与抛物线 C只有一个公共点, 此时直线 L 与抛物线 C 相交,故直线 L 与抛物线 C 只有一个公共点时可能相交也 可能相切。 系统掌握求曲线(轨迹)方程的常用方法(直译法、定义法、待定系数法、 动点转移法、参数法等) ;掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质,解答直线 与圆的位置关系的思想方法; 熟练掌握圆锥曲线的标准方程、 几何性质及其应用; 掌握与圆锥曲线有关的参数讨论问题的解法; 方法,提高分析问题和解决问题的能力。 2、合理选择适当方法优化解题过程: 数学的解题过程一般是由理解问题开始, 经过探讨思路, 转化问题直至解决 掌握解答解析几何综合问题的思想

问题题目的意思至为重要, 然后我们才能分解问题, 把一个复杂的问题转化成几 个简单的熟悉的问题,通过逐步分解,进而解决问题。所以在解题前,首先我们 应该从全方位、 多角度的分析问题, 根据自己的知识经验, 适时的调整分析问题 的角度,再充分回忆与之相关的知识点把陌生的问题转化为一些熟悉的题型, 到一个正确的简便的解题方法。 合理选择方法, 提高运算能力。 解析几何问题的一般思路易于寻找, 量大,所以合理选择运算方法可以优化解题过程、减少运算量 但运算 找

. 通常减少运算量

的方法有合理建立坐标系; 充分利用定义; 充分利用平面几何知识; 整体消元法 等。

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乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 对圆锥曲线的基础知识首先要扎实,关于解题技巧可以考虑下面几点: 某些问题要注意运用圆锥曲线定义来解题; ③与中点有关问题多数要用“点差法”; 麻烦的劲头”; ①

②与弦有关问题多数要用韦达定理; ④计算能力一定要过硬,要有“不怕

⑤与角度,垂直有关问题,要恰当运用“向量”的知识。 也是考试中容易出大题的 直线截圆锥

直线和圆锥曲线的问题是解析几何中的典型问题,

考点。解决这类问题的关键就是要明白直线和圆锥曲线问题的本质。

曲线就会在曲线内形成弦,这是一个最大的出题点,根据弦就可以涉及到弦长; 另外直线和圆锥曲线有交点, 涉及到交点就会涉及到坐标的一些问题, 交点、原点等一些特殊点构成一些关系还会涉及到角度问题。 若是再和

解析几何就是利用

代数方法解决几何问题, 因此这些几何上的角度, 弦长等一些关系都要转化成坐 标,以及方程的形式。 但是问题的本质还是几何问题, 因此更多的利用圆锥曲线 的几何性质可以化简计算。 比如,在坐标法中向量是和几何问题结合最紧密的方 法,因此涉及到角度等一些问题可以用向量去做, 公式计算要稍简单一些。 这类题的计算量一般会比较大, 在解题时可以使用一些小技巧简化计算。 如涉及到焦点的问题看看可不可以用圆锥曲线的第二定义转化。 可以将点到点之间的距离转化为点到直线之间的距离, 比 这样会比直接利用直线的夹角

利用第二定义就

而且一般情况下直线还是

垂直于 x 轴或 y 轴的,这样直接就和坐标联系上了, 这种方法在圆锥曲线中含有 参数的时候还是挺好使的, 一般在答题中应用不多, 小题中会有不少应用, 因此 还是要掌握好第二定义。 3、解题中应避免的误区: 在“圆锥曲线”内容中, 为了研究曲线与方程之间之间的各种关系, 引进了

一些基本概念和数学方法, 例如“圆锥曲线”, “曲线的方程”等概念, 函数与 方程的数学思想、 数形结合思想、 回归定义等方法, 对于这类特定的概念理解不 准确,对这些方法的掌握存在某些缺陷,解题时就容易进入误区。 对圆锥曲线的两个定义在第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆 中,与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数 2a ,且此常数一定要大于 2a ,当常数 等于 | F1 F2 | 时,轨迹是线段 | F1 F2 | ,当常数小于 | F1F2 | 时,无轨迹;双曲线中, 与两定点 F1, F2 的距离的差的绝对值等于常数
2a ,且此常数 2a 一定要小于

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乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 | F1F2 | ,定义中的“绝对值”与 2a <| F1F2 | 不可忽视,若 2a =| F1F2 | ,则轨迹是以 F1 , F2 为端点的两条射线, 若 2a >| F1F2 | ,则轨迹不存在, 若去掉定义中的绝对值 则轨迹仅示双曲线的一支。 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、 点线距为分母”,其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上 要善于运用第二定义对它们进

的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系, 行相互转化。

在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点

F1, F2 的位置,是

椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两 个参数 a、 b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件; 在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向。 判断直线与圆锥曲线的位置关系时应该注意: 直线与双曲线、 抛物线只有一

个公共点时的位置关系有两种情形: 相切和相交。 如果直线与双曲线的渐近线平 行时 , 直线与双曲线相交 , 但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时 与抛物线相交 , 也只有一个交点。 二、 圆锥曲线题型的常用解法: 1、定义法: ( 1)椭圆有两种定义。 第一定义中, r 1+r 2=2a。第二定义中, r 1=ed1 r ( 2)双曲线有两种定义。第一定义中, r1 r2
2

, 直线

=ed2。

2a ,当 r 1>r 2 时,注意 r 2 的

最小值为 c-a :第二定义中, r 1=ed1,r 2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常 将半径与“点到准线的距离”互相转化。 ( 3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛 物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法: 因直线的方程是一次的, 圆锥曲线的方程是二次的, 故直线与圆锥曲线的问 题常转化为方程组关系问题, 最终转化为一元二次方程问题, 故用韦达定理及判 别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一, 尤其是弦中点问题, 弦长问题, 可用

韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。

11

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 3、设而不求法: 解析几何的运算中, 常设一些量而并不解解出这些量, 利用这些量过渡使问 题得以解决,这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相 交而产生的 弦中点 问题,常用 “点差法”,即设弦的两个端点 A(x 1,y 1),B(x 2 ,y 2), 弦 AB 中点为 M(x0,y 0) ,将点 A、 B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点 与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法。 点差法(中点弦问题) : 设 A x1 , y1 、 B x2 , y 2 , M a , b 为椭圆 弦 AB 中点, 则有
x1
2

x

2

y

2

4

3

1的

y1 3

2

4 x1

1,

x2 4 x2

2

y2 3

2

1 ,两式相减得

x1

2

x2 4 3a 4b

2

y1

2

y2 3

2

0,

x2 x1 4

y1

y 2 y1 3

y2

k AB =



( 1)

x a

2 2

y b

2 2

1( a

b

0) 与直线 l 相交于 A、 B,设弦 AB中点为 M(x0,y 0) ,则



x0 a
2

y0 b x a
2 2 2

k

0;

( 2)

y b

2 2

1(a

0, b

0) 与直线 l 相交于 A、 B,设弦 AB 中点为 M(x0,y 0 ) 则



x0 a
2
2

y0 b
2

k

0;

( 3)y =2px( p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB中点为 M(x0,y 0 ), 则有 2y0k=2p, 即 y0 k=p。

4、数形结合法: 解析几何是代数与几何的一种统一, 常要将代数的运算推理与几何的论证说 明结合起来考虑问题, 在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观 性, 尤其是将某些代数式子利用其结构特征, 想象为某些图形的几何意义而构图, 用图形的性质来说明代数性质。 如 “ 2x+y” , 令 2x+y=b, 则 b 表示斜率为 -2 的直线在 y 轴上的截距;如 “ x +y ” , 令
x
2
2 2

y

2

d, 则 d 表示点 P ( x, y )到原点的距离; 又如“

y x

3 2

” , 令

y x

3 2

=k,

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乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 则 k 表示点 P( x 、 y )与点 A( -2 , 3)这两点连线的斜率 ,,

5、参数法: ( 1)点参数:利用点在某曲线上设点(常设“主动点” 依次求出其他相关量,再列式求解。如 ) ,以此点为参数,

x 轴上一动点 P,常设 P( t , 0) ;直线

x-2y+1=0 上一动点 P。除设 P( x 1,y 1)外,也可直接设 P( 2y,-1,y 1) ( 2 ) 斜 率 为 参 数 : 当 直 线 过 某 一 定 点 P(x 0,y 0) 时 , 常 设 此 直 线 为 y-y 0=k(x-x 0) ,即以 k 为参数,再按命题要求依次列式求解等。 ( 3)角参数:当研究有关转动的问题时,常设某一个角为参数,尤其是圆 与椭圆上的动点问题。

6、代入法: 这里所讲的“代入法” ,主要是指条件的不同顺序的代入方法,如对于命题: “已知条件 P1,P 2 求(或求证)目标 Q ” ,方法 1 是将条件 P1 代入条件 P2,方法 2 可将条件 P2 代入条件 P1 ,方法 3 可将目标 Q 以待定的形式进行假设, 代入 P1,P 2, 这就是待定法。 不同的代入方法常会影响解题的难易程度, 择简易的代入法。 因此要学会分析, 选

二、知识考点深入透析
一、近几年文科圆锥曲线试题“知识点及问题”分析:
年 份 试 题 相 关 知 识 椭圆,抛物线,直线, 椭圆的标准方程、直线方程。 问题类型 ( 1)求椭圆的标准方程; ( 2)与直线、 抛物线相结合, 相切知识, 求直线方程。 ( 1)求轨迹方程 (射线及抛物线方程) ; ( 2)最值问题(求最小值,及此时点的 坐标); ( 3)参数的取值范围(直线与抛物线结 合,求直线斜率的取值范围) 备注

2012 年 ( 20)

2011 年 ( 21)

轨迹方程,抛物线,求轨迹; 最值问题; 直线相关知识; 解方程组

13

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 曲线: y nx 即抛物线;
2

2010 年 ( 21)

2009 年 ( 19) 2008 年 ( 20)

切线方程(求导法); 两种距离公式; 分析法证明;裂项求和知识; 椭圆、圆; 点与圆的位置关系判断;

( 1)求切线方程及特殊点的坐标; ( 2)最值问题(最大值时,求某点的坐 标); ( 3)证明不等式成立 ( 1)求方程(椭圆的方程); ( 2)求三角形的面积; ( 3)存在性问题 (是否存在圆包含椭圆) ( 1)求方程(椭圆及抛物线的方程); ( 2)探究性问题(存在点 P 使得三角形 为直角三角形,点 P 的个数)

2007 年 ( 19)

椭圆、抛物线; 切线方程(求导法) 向量的数量积(垂直问题) 一元二次方程解的个数 (判别式) 圆、椭圆及定义; ( 1)求方程(圆的方程); 两点间的距离公式; ( 2)存在性问题(存在点与距离相等问 解方程组; 题)。

二、圆锥曲线试题研究:
1、曲线类型: 以椭圆、抛物线为主,结合圆、直线或其它曲线进行综合考查。

2、试题特点:

( 1)综合性; ( 4)新颖性;

( 2)抽象性; ( 5)问题的连惯性;

( 3)动态性; ( 6)含参数。

3、试题中的问题类型: ( 1)求方程或轨迹类型: 常在第一问中设置,以圆及圆锥曲线的方程为主; ( 2)与最值相关的类型: 按题意要求,满足最大或最小值时,求某点或某知识; ( 3)存在性类型: 据题意,判断是否存在点或图形满足题意,要说明理由; ( 4)探究性类型: 根据题意,探究问题的多样性; ( 5)证明类型: 根据给定条件,证明不等式或等式成立; ( 6)取值范围类型: 设置参数,根据题意,求参数的取值范围或求其它的取值 范围。

4、解题常用的知识要点: ( 1)各圆锥曲线的知识,特别是椭圆、抛物线的定义;

14

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 ( 2)圆、直线的相关知识,特别是直线的斜率知识; ( 3)求曲线轨迹的方法; ( 4)与最值相关的两种距离:点到直线的距离及两点间的距离; ( 5)一元二次方程(组)及不等式的相关知识:判别式,韦达定理,解方程组, 均值定理等; ( 6)与导数相关的知识,特别是求切线方程的知识。

5、常用的数学思想:

( 1)数形结合;

( 2)分类讨论。

三、圆锥曲线之高考链接
2012 文 20、 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 为 F1 ( 1,0) ,且点 P(0,1) 在 C1 上 . ( 1)求椭圆 C1 的方程; ( 2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y2 4 x 相切,求直线 l 的方程 .
x a
2 2 2

y b

2

1( a

b

0 )的左焦点

15

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 2011 文 21、 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x
2 交 x 轴于点 A ,设 P 是 l 上一点, MPO AOP .

M 是线段 OP 的垂直平分线上一点,且满足

( 1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; ( 2)已知 T (1, 1) .设 H 是 E 上动点,求 | HO | | HT | 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; ( 3)过点 T (1, 1) 且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点, 求直线 l 1 的斜率 k 的取值范围.

2010 文 21、 (本小题满分 14 分) 已知曲线 Cn: y nx , 点 Pnx ( ny , n( )xn 0 , yn 0 )
2

是曲线 Cn 上的点 ( n 1,2… ) .

( 1) 试写出曲线 Cn 在点 Pn 处的切线 l n 的方程,并求出 l n 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; ( 2)若原点 O (0,0) 到 l n 的距离与线段 PnQn 的长度之比取得最大值,试求试点 的坐标 ( xn , yn ) ; ( 3)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, 坐标, xn 与 yn 是满足( 2)中条件的点 Pn 的 Pn

16

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
s

证明:
n 1

( m 1) xn 2

( k 1) yn

ms

ks ( s 1,2, … )

2009 文 19、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点 , 长轴在 x 轴上 ,离心率为 F1 和 F2 , 椭 圆 Ck : x
2

3 2

, 两个焦点分别为 12. 圆

G

上 一 点 到 F1 和 F2 的 距 离 之 和 为 21 0 (k
R ) 的圆心为点 Ak .

y

2

2kx

4y

(1)求椭圆 G 的方程;

(2) 求 Ak F1 F2 的面积;

(3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由。

17

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 2008 文 20、 (本小题满分 14 分) 设b
0 ,椭圆方程为 x
2 2

y b

2

2b

2

1 ,抛物线方程为 x

2

8( y b) .如图 6 所
G ,已知抛
y F G F1 A O B x

示,过点 F (0, b

2) 作 x 轴的平行线, 与抛物线在第一象限的交点为

物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点

F1 .

( 1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; ( 2)设 A, B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物 线上是否存在点 P ,使得 △ ABP 为直角三角形?若存在,请 指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点 的坐标) .

图 6

2007文 19、 ( 本小题满分 14分 ) 在平面直角坐标系 xOy中,已知圆心在第二象限、半径为
y x 相切于坐标原点 0 .椭圆

2 2 的圆 C与直线

x a

2 2

y

2

9

1 与圆 C的一个交点到椭圆两焦点的距离

之和为 10. (1) 求圆 C的方程; (2) 试探究圆 C上是否存在异于原点的点 Q ,使 Q 到椭圆右焦点 F的距离等于线段 OF 的长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 .

18

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海

四、基础知识专项训练
1、圆锥曲线的定义: ( 1) 方程 ( x 6) 2
y
2

( x 6)

2

y

2

8 表示的曲线是



( 2) 已知点 Q ( 2 2 , 0 ) 及抛物线 y 是 。

x

2

4

上一动点 p( x, y ), 则 y+|PQ| 的最小值

2、圆锥曲线的标准方程 : ( 1) 方程 Ax2 By2 C 表示椭圆的充要条件是什么?
x 3
2

( 2) 已知方程

y k 2

2

k

1 表示椭圆,则 k 的取值范围为



( 3) 若 x, y 是

R ,且 3x 2 2 y2

6 ,则 x

y 的最大值是 _

,x

2

y 的最小值

2

。 提示:应用线性规划方法解。

( 4) 方程 Ax

2

By

2

C 表示双曲线的充要条件是什么?

( 5) 设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e 过点 P(4, 10) ,则 C 的方程为 。

2 的双曲线 C

( 6) 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x 上移动, AB 中点为 M ,求点 M 到 x 轴的最短距离。

2

3、圆锥曲线焦点位置的判断: (首先化成标准方程,然后再判断) 已知方程 是 x
2

y 。

2

m 1

2 m

1 表示焦点在

y 轴上的椭圆,则

m 的取值范围

19

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 4、圆锥曲线的几何性质: ( 1) 若椭圆
x
2 2

y

5

m

1 的离心率 e

10 5

,则 m 的值是

。 1 时,则椭圆

( 2) 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 长轴的最小值为 。

( 3) 双曲线的渐近线方程是 3x 2 y 0 ,则该双曲线的离心率等于



( 4) 双曲线 ax by 1的离心率为 5 ,则 a : b = 提示:应用离心率的第二道公式。

2

2



( 5)设双曲线

x a

2 2

y b

2 2

1( a>0,b>0 )中,离心率 e∈ [

2 ,2], 则两条渐近线夹

角(锐角或直角) θ的取值范围是



( 6) 设 a 0, a R ,则抛物线 y 4ax2 的焦点坐标为



5、直线与圆锥曲线的位置关系: 2 2 ( 1) 若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点,则 围是 。

k 的取值范

( 2 ) 直线 y ― kx ― 1=0 与椭圆 是 。

x

2

y

2

5

m

1 恒有公共点,则

m 的取值范围

( 3) 过双曲线 则这样的直线有

x

2

y

2

1

2

1 的右焦点直线交双曲线于

A、 B 两点,若│ AB —= 4,

条。

( 4)过点 ( 2, 4) 作直线与抛物线 y2

8x 只有一个公共点,这样的直线有

条。

20

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 ( 5) 过点 (0,2) 与双曲线 x 9 围为 。
2

y 16

2

1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范

( 6) 过双曲线 x

2

y

2

2

1 的右焦点作直线 l 交双曲线于

A、 B 两点,若 AB

4,

则满足条件的直线 l 有

条。

( 7)对于抛物线 C: y 关系是 。

2

4 x ,我们称满足 y 0

2

4x0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内
2( x x 0 ) 与抛物线 C 的位置

部,若点 M ( x0, y0 ) 在抛物线的内部,则直线 l : y 0 y

( 8)过抛物线 y

2

4x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ
p 1 q

1 的长分别是 p、 q ,则



( 9) 设双曲线

x

2

y

2

9 右支和右准线分别于 P, Q , R ,则

16

1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、 PFR 和 QFR 的大小关系为

(

填大

于、小于或等于 ) 。

( 10)求椭圆 7 x 2 4 y 2

28 上的点到直线 3x 2 y 16

0的最短距离。

( 11)直线 y ax 1 与双曲线 3x y 1交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上?②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点?

2

2

6、弦长公式 : 2 ( 1)过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 x 1+x2=6,那么 |AB| 等于 。

A( x 1, y 1) ,B( x 2,y 2)两点,若

21

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
2

( 2)过抛物线 y 2x 焦点的直线交抛物线于 标原点,则 Δ ABC 重心的横坐标为

A、 B 两点,已知 |AB|=10 ,O 为坐 。

( 3) 已知抛物线 y2

2 px( p
3 4

0) 的焦点恰为双曲线 12x 的直线交抛物线于

2

4y

2

3 的右焦点,过

抛物线的焦点且倾斜角为
| y1 y 2 | 的值为(

P ( x1 , y1 )

, Q( x2 , y2 ) 两点,则

) B. 4 C. 4 2 D. 8

A. 2

7、圆锥曲线的中点弦问: 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。 2 2 2 b x0 x y 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 在椭圆 2 ;在双 2 a b a y0 曲线 y
2

x a

2 2

y b

2 2

1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率

k= k=

b x0 a y0
p y0
2

2

;在抛物线

2 px( p

0) 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率
x
2



( 1) 如果椭圆 是

y

2

36

9

1 弦被点 A( 4, 2)平分,那么这条弦所在的直线方程



( 2) 已知直线 y=- x+1 与椭圆

x a

2 2

y b

2 2

1(a

b

0) 相交于 A、 B 两点,且线段

AB的中点在直线 L: x - 2y=0 上,则此椭圆的离心率为



( 3) 试确定
y 4x

m 的取值范围,使得椭圆

x 4

2

y 3

2

1 上有不同的两点关于直线

m 对称。

( 4 ) 抛物线 是

y=2x 截一组斜率为 。

2

2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程

22

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海

0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解 特别提醒 :因为 有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 0!

8、动点轨迹方程 : ( 1) 求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; ( 2) 求轨迹方程的常用方法: ① 直接法 :直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y ) 0 ; 已知动点 P 到定点 F(1,0) 和直线 x
3 的距离之和等于 4, 求 P 的轨迹方程。

② 待定系数法 :已知所求曲线的类型, 求曲线方程――先根据条件设出所求曲线 的方程,再由条件确定其待定系数。 线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M (m ,0) ( m 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积 为 2m,以 x 轴为对称轴,过 为 。 A、 O、 B 三点作抛物线,则此抛物线方程

③ 定义法 :先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线, 再由曲线的定义直接写 出动点的轨迹方程; 0 (1) 由动点 P 向圆 x2 y2 1作两条切线 PA 、 PB , 切点分别为 A、 B, ∠ APB=60, 则动点 P 的轨迹方程为 。

( 2)点 M与点 F(4,0) 的距离比它到直线 l:x 5 0 的距离小于 1,则点 M的轨 迹方程是 。

(3) 一动圆与两圆⊙ M :x 动圆圆心的轨迹为

2

y

2

1 和⊙ N :x 。

2

y

2

8 x 12

0 都外切,则

23

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 ④代入转移法 :动点 P ( x, y) 依赖于另一动点 Q ( x0 , y0 ) 的变化而变化,并且 Q( x0 , y0 ) 又在某已知曲线上,则可先用 已知曲线得要求的轨迹方程; 动点 P 是抛物线 y 2,则 M的轨迹方程为
2x
2

x, y 的代数式表示 x0 , y0 ,再将 x0 , y0 代入

1 上任一点,定点为 A ( 0 , 1) , 点 M分 PA 所成的比为



⑤参数法 :当动点 P( x, y ) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点 可用时,可考虑将 x, y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数 得普通方程)。 ( 1)AB是圆 O的直径, 且 |AB|=2 a,M为圆上一动点, 作 MN ⊥ AB ,垂足为 N, 在 OM 上取点 P ,使 | OP | | MN | ,求点 P 的轨迹。



( 2)若点 P(x1 , y1 ) 在圆 x 2 。

y

2

1 上运动,则点 Q ( x 1 y1 , x1

y 1 ) 的轨迹方程

( 3)过抛物线 x 中点 M的轨迹方程是

2

4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点,则弦 AB 的 。

9、与向量相关的题: ( 1)已知双曲线 x
2

y

2

2 5 3

1 的焦点为 F1 、F2 ,点 M在双曲线上且 MF 1 MF 2

0, 则

点 M到 x 轴的距离为( A
4 3

) C
2 3 3

B

D

3

( 2 ) 已 知 i , j 是 x,y b =(x 3) i

轴 正 方 向 的 单 位 向 量 , 设 a = (x

3 )i

yj ,

yj , 且满足 b i =| a |. 求点 P(x,y) 的轨迹。

( 3)已知 A,B 为抛物线 x =2py( p>0) 上异于原点的两点, OA OB 为( 0, 2p) ,

2

0 ,点 C 坐标

24

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 ① 求证: A,B,C 三点共线; ② 若 AM = BM (
R )且 OM AB

0 试求点 M的轨迹方程。

10、圆锥曲线中线段的最值: (1) 抛物线 C:y =4x 上一点 P 到点 A(3,4 的坐标为 。
2

2 ) 与到准线的距离和最小 , 则点 P

(2) 抛物线 C: y =4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 , 则点 Q 的坐标为 。

2

( 3) F 是椭圆 动点。 ① PA 为

x

2

y

2

4

3

1 的右焦点, A(1,1) 为椭圆内一定点, P 为椭圆上一

PF 的 最 小 值 为 。

; ② PA

2 PF 的 最 小 值

25

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 11、焦半径题 (圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离) :利用圆锥曲线的第二定义, 转化到相应准线的距离,即焦半径 r ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 ( 1) 已知椭圆 距离为 。
x
2

y

2

25

16

1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为

3,则点 P 到右准线的

( 2)已知抛物线方程为 y2 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛 物线的焦点的距离等于 。

( 3) 若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为



( 4) 点 P 在椭圆 x 25 则点 P 的横坐标为

2

y 9

2

1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,



( 5)抛物线 y2

2x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB的中点到 y 轴 的距离为 。

( 6) 椭圆
MP 2 MF

x

2

y

2

4

3

1 内有一点 P (1, 1) , F 为右焦点,在椭圆上有一点

M ,使

之值最小,则点 M的坐标为



12、焦点三角形题 (椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形) 对于椭圆 S 为 bc; 对于双曲线 S
b
2



b tan

2

2

c | y0 | ,当 | y0 | b 即 P 为短轴端点时, Smax 的最大值


2

tan

26

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 ( 1)短轴长为 于 A、 B 两点,则 5 ,离心率 e
2 3

的椭圆的两焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作直线交椭圆 。
2 a (a

ABF2 的周长为
y
2

( 2) 设 P 是等轴双曲线 x 2 PF2 F1 F2

0) 右支上一点, F1、 F2 是左右焦点,若

0 , |PF1|=6 ,则该双曲线的方程为



( 3)椭圆

x

2

y

2

9

4

1 <0 时, 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点, 当 PF2 ?PF





点 P 的横坐标的取值范围是



( 4) 双曲线的虚轴长为 4,离心率 e= 直线与双曲线的左支交于 = 。

6 2

, F1、 F2 是它的左右焦点,若过

F1 的

A、 B 两点,且 AB 是 AF 2 与 BF2 等差中项,则 AB

( 5) 已知双曲线的离心率为 F1 PF2 60 , S
PF1F2

2 , F1、 F2 是左右焦点, P 为双曲线上一点,且

12 3 .求该双曲线的标准方程。

13、了解其它结论: ( 1)双曲线 ( 2)以 y 为 x2
a
2

x a

2 2

y b

2 2

1 的渐近线方程为

x a

2 2

y
2 2

2 2

0; 1 共渐近线)的双曲线方程

b a

x 为渐近线(即与双曲线

x a

b 2 y b
2

y b

2 2

(

为参数,

≠ 0);
2

( 3) 中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、 双曲线方程可设为 mx ( 4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 (焦点到相应准线的距离)为
b
2

ny

2

1;

2b a

2

,焦准距

c

,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ;

( 5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; 2 ( 6)若抛物线 y 2 px( p 0) 的焦点弦为 AB , A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ① | AB | x1 x2 p ;② x1 x2 y
2

p

2

4

, y1 y2

p ;

2

( 7) 若 OA 、 OB 是过抛物线 经

2 px( p

0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线

AB 恒

27

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海

五、解答题专项训练
常用方法:直接法和定义法。
1、已知点 P 是圆 x +y =4 上一个动点,定点 Q 的坐标为( 4,0) , 求线段 PQ的中 点的轨迹方程。
2 2

2、以抛物线 y

2

8 x 上的点 M 与定点 A(6,0) 为端点的线段 MA的中点为 P,求 P

点的轨迹方程。

3、在面积为 1 的 PMN 中, tan M

1 2

, tan N

2 ,建立适当的坐标系,求出

以 M 、 N 为焦点且过 P 点的椭圆方程。

4、已知动圆过定点 1,0 ,且与直线 x

1 相切 , 求动圆的圆心轨迹 C 的方程。

28

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 5、已知:直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A( -1 , 0)和点 B( 0, 8)关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方 程。

6、设抛物线 C : y

x 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x

2

y

2

0 上运动,过 P 作

抛物线 C 的两条切线 PA 、PB ,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点, ( 1)求△ APB 的重心 G 的轨迹方程;

7、动圆 M与圆 C1:(x+1) +y =36 内切 , 与圆 C 2:(x-1) 方程。

2

2

2

+y =4 外切 , 求圆心 M的轨迹

2

29

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 8、已知平面内一动点 P 到点 F (1,0) 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1, ( 1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

9、已知圆 C 方程为: x 2

y

2

4,

( 1)直线 l 过点 P 1,2 ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB | 2 3 ,求直线 l 的 方程;

10、已知椭圆 C:

x a

2 2

y b

2 2

=1(a > b> 0) 的离心率为

5 3

,短轴一个端点到右焦点

的距离为 3. ( 1)求椭圆 C 的方程;

11、已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且该椭圆以抛物线 的焦点 P 为其一个焦点, 以双曲线 准方程;
x
2

y2

16 x

y

2

16

9

1 的焦点 Q 为顶点。 ( 1)求椭圆的标

30

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海

12、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在
y 1 4 x 的焦点,离心率为
2

x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线

2 5 5

. ( 1)求椭圆 C 的标准方程;

13 、 已 知 椭 圆 的 一 个 顶 点 为 A 0, 1 , 焦 点 在 x 轴 上 . 若 右 焦 点 到 直 线 x y 2 2 0 的距离为 3.求椭圆的标准方程;

14、已知椭圆 C :

x a

2 2

y b

2

2

1(a

b

0) 的离心率为

6 3

,椭圆短轴的一个端点与两

个焦点构成的三角形的面积为

5 2 3

. (1)求椭圆 C 的方程;

31

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 15 、 已 知 椭 圆 E :
1 2 x a
2 2

y b

2 2

1 a

b

0 的 一 个 焦 点 为 F1

3,0

, 而且 过 点

H

3,

. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

16、已知椭圆 C :

x

2 2

y

2 2

a b ( 1)求椭圆 C 的方程;

1( a

b

0 )的离心率 e

1 2

,且经过点 A( 2 , 3) .

17、 已知双曲线 C1 : x 2

y

2

m(m

0) 与椭圆 C 2 :

x a

2 2

y b

2 2

1 有公共焦点 F1 , F2 ,

点 N ( 2,1) 是它们的一个公共点 . ( 1)求 C1 , C2 的方程;

32

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
x
2

18 、 已 知 椭 圆 C1 : x
2

y b

2

4

2

1 0

b

2 的离 心 率 等 于

3 2

, 抛 物 线 C2 :

2 py p

0 的焦点在椭圆的顶点上。 ( 1)求抛物线 C2 的方程;

19、已知椭圆 C1 :

x a

2 2

y b

2 2

1( a

b

0 ) 的离心率为

3 3

,直线 L : y

x

2 与以原

点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. ( 1)求椭圆 C1 的方程;

33

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海

附录:圆锥曲线之高考链接参考答案
2012 文 20、解: ( 1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1( 1,0) ,所以 c 1 , 点 P (0,1) 代入椭圆
x a
2 2

y b

2 2

1 ,得

1 b
2

1 ,即 b
2

1,

所以 a

2

b

2

c

2

2 ,所以椭圆 C1 的方程为

x

y

2

1.

2 kx m,

( 2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y x 2 y 1 2 2 ,消去 y 并整理得 (1 2k ) x 2 y kx m 椭圆 C1 相切, 所以
y y
2 2

4kmx 2m

2

2 0 ,因为直线 l 与

16k m

2

2

4(1 2 k )(2 m

2

2

2)

0, 整理得 2 k
2

2

m

2

1

0



4x kx m

,消去 y 并整理得 k 2 x2

(2km 4) x m
2

0。
2 2

因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ②
k m 2 2 或 2 2 2 k m

(2 km 4)

4k m

0 ,整理得 km 1

2 2 。 2 2 2

综合①、②,解得

所以直线 l 的方程为 y

x

2或y MPO

x

2。

2011 文 21、解: ( 1)如图 1,符合

AOP 的点 M 可以在 PO 的左侧和

右侧。 当 M 在 PO 左侧时,显然点 M 是 PO 垂直平分线与 X 轴的交点, 所以易得 M 的轨迹方程为: y=0(x<-1) , 当 M 在 PO 右侧时, 因 为
x 2 MPO AOP ,所以 PM//x 轴,设 M(x,y), 则 P(-2, y),

M
2


x
2

PO

的 垂 直 平 分 线 上 , 所 以
1( ) x y
2

MP

MO , 即 :

y 得: , 4 (x

1) ,

综上所述:当点 P 在 l 上运动时,点 M 的轨迹 E 的方程为:

34

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 y=0(x<-1) 和 4 x 4 y (x
y X=-2 P
2

1) 如图:

M

M A O x

( 2)当 H 在方程 y=0(x<-1) 运动时,显然 HO 当 H 在方程 4 x 4 三 点 共 线 时 , HP HO HT CO y( x
2

HT HT

CO HP

CT HT ,由图知当 P,H,T

1) 上运动时, HO

HT 取得最小值,即

HO

HT 取 得 最小 值, 显然 此时

CT ,

当 PT 直线与 x 轴平行时, PT 直线与曲线 E 的交点即为所求的 H ,设 H(x,-1), 因为 H 在 4 x 4 y 上,得 x=
2

4 3

,所以 H(

4 3 4 3
2

,-1), ,-1);
2

综上所得:( HO

HT ) min =1-(-2)=3 。 H(
2

(3)设直线 l 1:y+1=k(x-1), 联立 4 x 4

y 得: k x

2( k

2

2k

2) x

k

2

2k

3 0

当 k=0 时,显然只有一个交点,不成立。 当k
0 时,

16(2k

2

k 1) 0恒成立。所以当 k

0 时,直线 l 1 与轨迹 E 至少

有两个交点。 可见 l 1 与 y=0(x<-1) 不能有交点,当直线 l 1 过点 C 时, k=
1 0 1 1( 1 ) 2 1 由图可知,当直线 l 1 与轨迹 E 有且仅有两个交点时, k ( , ] (0, 2



2010 文 21、解: ( 1)∵ y 切线 l n 的方程为 y 令x
0 得, y

2nx ,∴ k

2nxn ,

yn
2

2nxn ( x xn ) , yn 2nxn y
2

2 nxn

nxn

2

nxn ,即 Qn (0, nxn ) 。 yn 0,

2

2

( 2)切线 l n 的方程可写成: 2nxn x

2nxn

2

35

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
yn 2 nxn
2 2

原点 O (0,0) 到 l n 的距离为 d
2

nxn 1 4n x
2

2 2 n 2


1
2

(2 nxn )

线段 PnQn 的长度为 PnQn 故,
d Pn Q n nxn 1 4n x
2 2 n

xn 1 1

(2 nxn ) 1

2 2

xn 1 4n xn ,

nxn

4 nxn

4



当且仅当

1 nxn nxn
2

4 nxn ,即 xn 1 4n

1 2n

时取等号“ =” ,
1 1

此时 yn

,点 P n 的坐标为 (

2 n 4n

,

)。

36

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
x a
2 2

2009 文 19、解: ( 1)设椭圆 G 的方程为: 2a 12 则 c a 为 : 3 , 解得 2
x
2

y b

2 2

1

(a

b

0 )半焦距为 c,

a c

6 3 3

,

b

2

a

2

c

2

36

27

9 , 所求椭圆 G 的方程

y

2

36 1 2

9 F1F 2

1

.
1 2 0
2 2



2


6 3



AK









K ,2



SV AK F1F 2

2
2

6 3 2 12 k
2

( 3)若 k 若k

0 ,由 6

0 21

5 12 k

0 可知点( 6, 0)在圆 Ck 外,

0 ,由 ( 6)

0

12 k 0 21 5 12 k

0 可知点( -6, 0)在圆 Ck 外;

不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.。

2008 文 20、解: ( 1)由 x 当y
y 1 4 b 2 时, x
4

2

8( y b) 得 y

1 8

x

2

b, 2) , 2) x 4 ,即 y x b 2,

4,

G 点的坐标为 (4, b

x , y |x 0得 x

1 ,过点 G 的切线方程为 y (b F1 点的坐标为 (2 b, 0) ;
2 b

令y

2 b,

由椭圆方程得 F1 点的坐标为 ( b, 0) ,

b ,即 b x
2

1,

因此,所求的椭圆方程及抛物线方程分别为 ( 2)

2

y

2

1和 x

2

8( y 1) .

P , 以 PAB 为直角的 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 Rt △ ABP 只有一个, 同理以 PBA 为直角的 Rt △ ABP 只有一个; 若以 APB 为直角, 设 P 点的坐标为 1 2 , x x 1 8
2





A, B
2











(

,, 2 0, )

, (

由 2

0

)

AB AB
2

x

2

1 8

x

2

1

0得

1 64

x

4

5 4

x

2

1

0,

关于 x 的一元二次方程有一解, 个;

x 有二解,即以

APB 为直角的 Rt △ ABP 有二

37

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 因此抛物线上共存在 4 个点使 △ ABP 为直角三角形. 2007文 19、解: (1) 设圆的方程为 ( x s) 2 依题意 s 解得 s
2

( y t)
0 ,,,,

2

8 ,,,,,,,,, 5分

2分

t

2

8,

|s t | 2

2 2, s

0, t

2, t

2 , 故所求圆的方程为

(x

2)

2

( y 2) !)

2

8 ,,,,,,,,

7

分 ( 注 : 此问若结合图形加以分析会大大降低运算量 (2) 由椭圆的第一定义可得
F ( 4, 0) ,, 2a 10 a

5 , 故椭圆方程为

x

2

y

2

25 4)
2

9 y0
2

1 , 焦点

9分 Q ( x0 , y0 ) , 8 ,,,,,,,
12 5

设 ( x0 2)
2



题 11分



( x0

16

,

( y0
4

2)
, y0

2

解得 x0

5 4 12 存在 Q ( , ) ,, 5 5

或 x0

0, y0

0 ( 舍去 ) ,,,,,,,,

13分

14分

附录:基础知识专项训练参考答案
1、圆锥曲线的定义: ( 1) 双曲线的左支; ( 2) 2; 2、圆锥曲线的标准方程 : ( 1) ABC ≠ 0,且 A, B, C 同号, A≠ B; ( 3) 5, 2 ;提示:应用线性规划方法解。 ( 5) x2
y
2

( 2) ( 3,

1 2

)

(

1 2

, 2) ;

( 4) ABC ≠ 0,且 A, B 异号;

6;

( 6)

5 4



3、圆锥曲线焦点位置的判断: (首先化成标准方程,然后再判断)
( , 1) 3 (1, ) ; 2 13 2 13 3

4、圆锥曲线的几何性质: ( 1) 3 或 ( 4) 4 或 ( 5) [
, 3 2

25 3
1 4



( 2) 2 2 ;

( 3)





;提示:应用离心率的第二道公式。
];

( 6) ( 0,

1 16 a

);

5、直线与圆锥曲线的位置关系: ( 1) (15 3 ,-1) ; ( 2) [1 , 5) ∪ ( 5, +∞) ; ( 3) 3;( 4) 2; ( 5)
4 3 , 4 5 3



38

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 ( 6) 3;( 7)相离; ( 8)1; ( 9)等于;( 10)
1。 ②a 6、弦长公式 : ( 1) 8 ; ( 2) 3 ; ( 3) C 7、圆锥曲线的中点弦问: 8 13 13

;( 11)①

3, 3 ;

( 1) x 2 y 8

0 ; ( 2)

2 2

; ( 3)

2 13 2 13 ; , 13 13 0;

( 4) x

1 2

(y

1 2

);

8、动点轨迹方程 : ① 直接法 :直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y ) y
2

12( x

4)(3 x
2

x
2

4) 或 y

2

4 x(0
2

x

3) ;

② 待定系数法 : y 2 ③ 定义法 : (1) y
6x

2x ; 4 ; ( 2) y
1 ; 3
2

16 x ; (3) 双曲线的一支;

④ 代入转移法 : y ⑤ 参数法 :( 1) x 2

2

y

a | y | ; ( 2) y

2

2 x 1(| x |

1 2

) ; ( 3) x

2

2y 2 ;

9、与向量相关的题: ( 1) C ( 2)解: 得y
2

b i

(x

3) i

2

yi

j

x

3 ,∴ x

3

(x

3)

2

y ,化简

2

4 3x , 3 ,0) 为焦点以 x ), B( x2 ,
2

故,点 P 的轨迹是以 ( ( 3) ① 证明: 设 A( x1, x1x2 x1 x1 x2 x2
2 2 2

3 为准线的抛物线。 0得 x1
2

x1

2

x2

2

2p

2p

) ,由 OA OB

2p 2 p x1
2

0, (2 p

x1 x2 x1
2

4 p ,又 ) ( x2

AC ( x1 ,2 p

2p

), AB ( x2 x1,

x2

2

x1

2

2p

)

2p

2p

x1 ) 0 ,

AC // AB ,即 A,B,C 三点共线。

R) ② 解:由( 1)知直线 AB过定点 C,又由 OM AB 0 及 AM = BM ( 知 OM AB ,垂足为 M ,所以点 M 的轨迹为以 OC为直径的圆,除去坐标原点。即 2 2 2 点 M的轨迹方程为 x +( y-p ) =p ( x 0, y 0) 。 10、圆锥曲线中线段的最值:

分析: ( 1) A 在抛物线外,如图,连

PF ,则 PH

PF ,因而易发

A Q H P F B

现,当 A、 P、 F 三点共线时,距离和最小。 ( 2) B 在抛物线内,如图,作 QR ⊥ l 交于 R ,则当 B、 Q 、R 三点共 线时,距离和最小。 解: ( 1) ( 2, 2) ( 2) (
1 4 ,1 ) 。

39

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 ( 3)解: ① 4PA PF PA 5 , 设另一焦点为 F ,则 F (-1,0) 连 A F ,P F , 2a PF 2a ( PF PA ) PA 2a AF 4 5,
F 0 ′ y A F P H x

当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时 , 45。
2

PF 取得最小值为

② 3 ,作出右准线 l ,作 PH ⊥ l 交于 H ,因 a =4,b =3,c =1, a=2 ,c=1,e= ∴ PF
1 2 PH ,即 2 PF PH

2

2

1 2



,∴ PA

2 PF
a
2

PA

PH

当 A、 P、 H 三点共线时,其和最小,最小值为

c

xA

4 1

3

11、焦半径题 (圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离) :利用圆锥曲线的第二定义, 转化到相应准线的距离,即焦半径 r ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 ( 1)
35 3



(2) 7 ;

( 3)(2, 4) ;

( 4)

25

12

; ( 5) 2 ; ( 6)(

2 6 3

, 1) ;

12、焦点三角形题 (椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形) ( 1) 6 ; ( 2)x 2 y 2
4;


2

3 5 3 5 x ( 3)( , ) ;( 4)8 2 ;( 5) 5 5 4

y

2

12

1。

附录:解答题专项训练参考答案
1、解: 设线段 PQ的中点坐标为 M (x,y) ,由 Q ( 4, 0) , 得点 P( 2x -4 , 2y ) , 2 2 2 2 代入圆的方程 x +y =4, 得( 2x -4 ) +( 2y) =4, 2 2 整理可得 所求轨迹为( x -2 ) +y =1.
x x0 2 y0 2 6 x0 y0 2x 2y 6

2、解: 设点 M ( x0 , y0 ), P ( x, y) ,则
y
2 2

,∴



代入 y0

8x0

得: y

4 x 12 . 此即为点 P 的轨迹方程.

3、解:以 MN 的中点为原点, MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标系, 设 P ( x , y) .

40

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
y



x y x cy

c 1 c 2 1.

2,

x ∴ y

5 3c 4 3 c且c 3 2

即 P(

5 2 3

,

2 3

)

,

25

4
2 2



12a a
2

b

3b 3 4

2

1,


,

a b

2

2

15 , 4 3.

∴所求椭圆方程为

4x

2

y

2

1 .

15

3

4、解: 设 M 为动圆圆心, 由题意知: MF

F 1,0 ,过点 M 作直线 x

1 的垂线,垂足为 N , 1 的距离相等, 1 为准线,

MN , 即动点 M 到定点 F 与定直线 x

由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F 1,0 为焦点, x
2 ∴ 动点 R 的轨迹方程为 y

4x .
/ /

5、解: 设 A、 B 关于 L 的对称点分别为 A 、 B ,则利用对称性可求得它们的坐标 分别为: A (
/

k k

2 2

1 1

, k
2

2k
2

1

) ,B

/(

16 k k
2

, 1 1

8( k k

2

1) 1

2

) 。因为 A 、 B 均在抛物线上,

/

/

代入,消去 p,得: k -k-1=0. 解得: k=

5 2

,p=

2 5 5

. 所以直线 L 的方程为:

y=

1 2

5

x, 抛物线 C 的方程为 y =

2

4 5 5

x.
x0 ) ,

2 2 6、解: ( 1) 设切点 A、 B 坐标分别为 ( x, x0 ) 和 ( x1 , x1 )(( x1

∴ 切 线 AP 的 方 程 为 : 2 x0 x 2 x1 x y x1
2

y

x0

2

0;

切 线 BP 的 方 程 为 :

0; x0 2 x1

解得 P 点的坐标为: xP

, yP

x0 x1

所以△ APB的重心 G 的坐标为
2 2

xG

x0

x1 3

xP

xP ,
2

yG

y0

y1 3 3 yG

yP

x0

x1

x0 x1

( x0

x1 )

2

x0 x1

4xP

yp

3
2

3

3

,

所以 y p

4 x G ,由点 P 在直线 l 上运动, 从而得到重心 G 的轨迹方程

41

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 为:
x ( 3y 4x )
2

2

0 ,即 y

1 3

(4 x

2

x

2 ).

7、分析:作图时,要注意相切时的 “图形特征”:两个圆心与切点这三点共线 (如 图中的 A、 M 、 C 共线, B、 D 、 M 共线) 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半 径” (如图中的 MC 7、解: 如图, MC ∴ MA MB 8 MD ) 。 MD ,∴ AC (* )
2

MA

MB

DB 即6

MA

MB

2, y C M D A 0B 5 x

∴点 M的轨迹为椭圆, 2a=8, a=4, c=1, b =15 轨迹方程为
x
2

y

2

1

16

15

点评: 得到方程( * )后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解, 即列出

(x

1)

2

y

2

(x

1)

2

y

2

4 ,再移项,平方,

, 相当于将椭圆标准方程推

导了一遍,较繁琐!

8. 解: ( 1)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意为 化简得 y 2 2 x 2 | x |, 当x 0时, y
2 2

( x 1)

2

y

2

| x | 1.

4 x; 当 x 4 x( x

0时 ,y=0. 0) .
1 , l 与圆的两个交 y k 2 0

所以 , 动点 P 的轨迹 C 的方程为 , y

0)和 y=0( x

9. 解: ( 1)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x 点坐标为 1, 3 和 1, 3 ,其距离为 2 3 2 ②若直线 l 不垂直于 x 轴, 设其方程为 y

满足题意 , 1 分 kx 1, 即 kx
2

设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 2 4 d ,得 d 1 | k 2| 3 ∴1 ,k , 2 4 k 1 故所求直线方程为 3 x 4 y 5 0 综上所述,所求直线为 3 x 4 y 5 c 5 a 3 a 3 a
x
2 2

0或x

1

10. 解: ( 1)设椭圆的半焦距为 c ,依题意

b

2

c

2

b

2,

所求椭圆方程为

y

2

9

4

1

42

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海
2

11.解: ( 1)抛物线 y
(5,0)

16x 的焦点 P 为 (4,0) ,双曲线

x

2

y

2

16

9

1 的焦点 Q 为

∴可设椭圆的标准方程为

x a

2 2

y b

2 2

1 ,由已知有 a
2 2

b

0 ,且 a

5,c

4

∴b

2

25 16

9 ,∴椭圆的标准方程为
2 2 2 2

x

y

25

9

1。

12. 解: ( 1)设椭圆 C 的方程为 抛物线方程化为 x 2 即 b 1 由e c a a
2

x a

y b

1 ( a> b> 0) ,

4 y ,其焦点为 (0,1) , 则椭圆 C 的一个顶点为 (0,1) ,

b a
2

2

2 5 5

,∴ a
x
2

2

5,

所以椭圆 C 的标准方程为

5

y

2

1 x a
2 2 2 2

13.解: ( 1)依题意可设椭圆方程为 a 由题设 2 故 , 所求椭圆的方程为
x
2 2 2

y

1 ,则右焦点 F

a

1,0

1

2 2 3 ,解得 a 2
x
2 2

3 ,

y

2

1 c 6 3

3
2

y b

14.解: ( 1)因为 a
1 2 b 2c

1(a

b

0)

满足 a
2

2

b

2

2 c , a

,

5 2 3

,解得 a
2 2

5, b

2

5 3



则椭圆方程为

x

5

y 5 3

1.

15.解: (Ⅰ) 解法一 : 由题意得 a

2

b

2

3,

3 2 a

1 2 4b

1 , 解得 a

2

4, b

2

1,

43

乘风破浪会有时,直挂云帆济沧海 所以椭圆 E 的方程为
x
2

4

y

2

1. 3,0 , F2 7 2 1 2 3,0 , 2, b
2

解法二 : 椭圆的两个交点分别为 F1 由椭圆的定义可得 2 a | PF1 | | PF 2 |
x
2 2

4 , 所以 a

1,

所以椭圆 E 的方程为

4

y

1.

16.解: ( 1)依题意, e

c a

a

2

b a

2

1 2 , 从而 b 2
1 , 解得 a
2

3 4

a

2

点 A( 2 , 3 ) 在椭圆上,所以 椭圆 C 的方程为
x
2

4 a
2

9 b
2

16 , b

2

12

y

2

1.

16

12

17. 解: ( 1) 点 N( 1 2 ) , ∴双曲线 C1 : x 2 y
2

是双曲线 C1 : x 2 从而 F1 ( 1,
2 a
2

y

2

m( m

0) 上的点, m
2 2

( 2)
2

2 2

1 1.
2 ①

∴a 2,0), F2 ( 2,0) ,
1 b
2

b , 且a

b

又点 N ( 2,1) 在椭圆上,则 由①②得 a
2

1 ② x
2

4, b

2

2 , 所以 , 椭圆的方程为

y

2

4

2

1.

18 .解:( 1 )已知椭圆的长半轴为 c 4 b 3 e a 2 2 1 , 椭圆的上顶点 0,1 , 0,1 ,
2

2 ,半焦距为 c

4 b ,由离心率等于

2

b

2

抛物线的焦点为

抛物线的方程为 x

2

4y

19.解: ( 1)∵ e ∵直线 L : y 方程是
x
2

3 3

,∴ e =
2

2

c a

2 2



a

2

b a
2

2

= ,∴ 2a 2
3 2 ,b
2

1

3b .
2

2

x y
2

2 与圆 x 1.

y

2

b 相切,∴ b

2

2 ,∴ a

3 . ∴椭圆 C1 的

3

2

44


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