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高考数学 冲刺60天解题策略 全真模拟试题(二)文

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全真模拟试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第⒂题为选考题,其他 题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回. 注意事项: 1 .答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上 ,认真核对条形码上的姓 名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2 .选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3 .请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4 .保持卷面清洁,不折叠,不破损. 5 .做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑. 参考公式: 锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.
3 1

球的表面积、体积公式: S ? 4? R 2 、 V ? ? R3 ,其中 R 为球的半径.
3

4

样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差 平均数.

s?

1 [( x ? x ) 2 ? ( x ? x ) 2 ? 2 n 1

? ( xn ? x) ] ,其中 x 为样本
2

?? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式: b
第I卷

i ?1

? xi yi ? nx ? y
i ?1

n

? xi ? nx

n

2

2

? ? y ? bx . ,a

一.选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项是符合 题目要求的,请将正确答案填在答题卷的答题卡内)
2 1. 若集合 A ? {1,3, x}, B ? {1, x }, A ? B ? {1,3, x}, 则满足条件的实数 x 的个数有(



A.

1个
?
3 2 5

B. 2 个

C.3 个 ). B.
24 25

D. 4 个

2.已知 sin( ? ? ) ? ,则 cos(? ? 2? ) ? ( A. D. ?
24 25

7 25

C. ?

7 25

3.函数 f ( x) ? ax3 ? bx 在 x ?

1 a

处有极值,则 ab 的值为(

).

A. 3 B. ?3 C. 0 D. 1 2 4.已知命题 p : 函数 f ( x) ? 2ax ? x ? 1(a ? 0) 在 (0,1) 内恰有一个零点; 命题 q : 函数 y ? x2?a 在 (0, ??) 上是减函数.若 p 且 ?q 为真命题,则实数 a 的取值范围是( ).

A. a ? 1 a?2

B. a ? 2

C. 1 ? a ? 2 ).

D. a ? 1 或

5.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是(

A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 6.已知 ?ABC 的三顶点坐标为 A(3,0) , B(0, 4) , C (0,0) , D 点的坐标为 (2,0) ,向 ?ABC 内部 投一点 P ,那么点 P 落在 ?ABD 内的概率为( ). A. D.
1 6 1 3

B.

1 2

C.

1 4

7.已知正项数列 {an } 的各项均不相等,且 2an ? an?1 ? an?1 (n ? N *, n ? 2) ,则下列各不等式中 一定成立的是(
2 A. a2 a4 ? a3

).
2 B. a2 a4 ? a3 2 C. a2 a4 ? a3 2 D. a2 a4 ? a3

8.已知 F1 、 F2 分别是双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 为双曲线上的一点,若
). D. 5

?F1PF2 ? 90? ,且 ?F1 PF2 的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是(
A. 2 9.经过椭圆
x
2

B. 3
2

C. 4

? y 2 ? 1 的一个焦点作倾斜角为 45 ? 的直线 l ,交椭圆于 A 、 B 两点.设 O 为坐
). B. ?
1 3

标原点,则 OA ? OB 等于( A. ?3

C. ? 或 ?3
3

1

D. ?

1 3

10. 设 f ( x) 和 g ( x) 是 定 义 在 同 一 区 间 [a ,b ] 上 的 两 个 函 数 , 若 对 任意 的 x ?[a, b] , 都 有 | f ( x )? g ( x )? | 1 ,则称 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 上是“密切函数”, [a, b] 称为“密切区间”,设

f ( x) ? x2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? 3 在 [a, b] 上是“密切函数”, 则它的“密切区间”可以是 ( ). A. [1, 4] B. [2,3] C. [3,4] D. [2, 4]
第Ⅱ卷

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷中对应题号后的横线 上) 11.如图是某赛季甲、 乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、 乙两人这几场比赛得 分的中位数之和是 _________ .

? x ? 2 y ? 1 ? 0, 12. 已知实数 x,y 满足 ? 且 z ? ?3x ? y 的最大值是 ?| x | ? y ? 1 ? 0


53
1
2


45 26378 57



368 479 1

3
4

13. 已知 a 为如图所示的程序框图中输出的结果,则 a 为 14. 已知 a0 ? 0 , ①设方程 a0 x ? a1 ? 0 的 1 个根是 x1 , 则



x1 ? ?

a1 a0

;②设方程 a0 x2 ? a1 x ? a2 ? 0 的 2 个根
a2 a0

是 x1 、 x 2 , 则 x1 x2 ?

; ③ 设 方 程

a0 x3 ? a1 x2 ? a2 x ? a3 ? 0 的 3 个 根 是 x1 、 x 2 、 x3 , 则
x1 x2 x3 ? ?
a3 a0



④设方程 a0 x4 ? a1 x3 ? a2 x2 ? a3 x ? a4 ? 0 的 4 个根是

x1 、 x 2 、 x3 、 x 4 ,则 x1 x2 x3 x4 ?
n

a4 a0





由以上结论,推测出一般的结论:设方程 a0 x ? a1 xn?1 ? a2 xn?2 ? ? an?1 x ? an ? 0 的 n 个根是 x1 、

x2 、
、 xn ,则 x1 x2 15. 若 不 等 式 | x ?
__________ .
1 x

xn ? __________ .

|? |a ? 2? | 对 1 一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 12 分)如图所示,已知 ? 的终边所在直线上的一点 P 的坐标为 (?3, 4) , ? 的终 边在第一象限且与单位圆的交点 Q 的纵坐标为 ⑴求 tan(2? ? ? ) 的值; ⑵若
?
2
2 10

.

P?

y

?? ?? , 0 ? ? ?

?
2

,求 ? ? ? .
O

?

?

Q ?
x

图(2-1)

17.(本小题满分 12 分)为适应新课程改革的需要,调动学生学习的兴趣,拓宽学生学习的视 野,某中学对高二年级理科、文科分别开设了三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响,经 过高二理科、文科各随机抽取 50 人进行问卷调查,获得数据如下:选修 1 门:理科 15 人、文 科 10 人;选修 2 门:理科 15 人、文科 25 人;选修 3 门:理科 20 人、文科 15 人.若总体按此 规律分布: ⑴求理科所选门数 x 不少于文科所选门数 y 的概率; ⑵求事件“ x ? y ? 4 ”的概率.

18.(本小题满分 12 分)在三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC ? 平面 ABC , SA ? SC ? 2 3 , M 、 N 分别为 AB 、 SB 的中点. ⑴ 证明: AC ? SB ; ⑵求几何体 SAMNC 的体积.

19.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 已 知 A( 0 , 1) 、 B(0, ?1) , 、 BC 两边所 在的直线分别与 x 轴交于 E 、 F 两点,且 OE ? OF ? 4 . ⑴求点 C 的轨迹方程; ⑵若 BC ? ?8CF , ①试确定点 F 的坐标; ②设 P 是点 C 的轨迹上的动点 , 猜想 ?PBF 的周长 最大时点 P 的位置,并证明你的猜想.

20.(本小题满分 13 分)对于定义在集合 D 上的函数 y ? f ( x) ,若 f ( x) 在 D 上具有单调性,且 存在区间 [ a, b] ? D (其中 a ? b ),使得当 x ?[a, b] 时, f ( x) 的值域是 [a, b] ,则称函数 f ( x) 是 “正函数”,区间 [a, b] 称为函数 f ( x) 的“等域区间”. ⑴已知函数 f ( x) ? x 是 [0, ??) 上的正函数,试求 f ( x) 的等域区间; ⑵试探究是否存在实数 k ,使得函数 g ( x) ? x 2 ? k 是 (??,0) 上的正函数?若存在,求 k 的 取值范围;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分)已知数列 {an } 是首项为 a1 ? a ,公差为 2 的等差数列,数列 {bn } 满足

2bn ? an ? nan .
⑴若 a1 、 a 3 、 a4 成等比数列,求数列 {an } 的通项公式; ⑵当 ?22 ? a ? ?18 时,不等式 bn ? b5 能否对于一切 n ? N * 恒成立?请说明理由. ⑶ 数 列 {cn } 满 足 cn?1 ? cn ? ( )n (n ? N*) , 其 中 c1 ? 1 , f (n) ? bn ? cn , 当 a ? ?20 时 , 求
2 1

f (n) 的最小值.

2012 年新课程数学高考模拟试卷(文二)参考答案与评分标准 一.选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.【答案】C 【解析】 x2 ? 3, 则x ? ? 3 , 或x2 ? x, 则x ? 0或1? 舍去? ,∴ x可取 ? 3, 0 ,选 C. 2.【答案】A 【解析】由 sin( ? ? ) ? ,得 cos ? ? , cos(? ? 2? ) ? ? cos2? ? 1 ? 2cos2 ? ?
2 5 5

?

3

3

7 25

,故选 A.

3.【答案】B 【解析】由 f ?( ) ? 3a( )2 ? b ? 0 ,可得 ab ? ?3 ,故选 B.
a a 1 1

4.【答案】C

?? ? 1 ? 8a ? 0 【解析】命题 p : ? 得 a ? 1 .命题 q : 2 ? a ? 0 ,得 a ? 2 ,∴ ? f (0) ? f (1) ? (?1) ? (2a ? 2) ? 0 ?q : a ? 2 .故由 p 且 ?q 为真命题,得 1 ? a ? 2 ,选 C.

8.【答案】D 【 解 析 】 ∵ 直 角

?F1 PF2 的 三 边 成 等 差 数 列 , ∴ 可 设

| PF1 |? t , | PF2 |? t ? d , | F1F2 |? t ? 2d (t , d ? 0) , 且 | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?| F1F2 |2 , 代 入 得
t 2 ? 2td ? 3d 2 ? 0 ,∴ t ? 3d ,∴ | PF1 |? 3d , | PF2 |? 4d , | F1 F2 |? 5d ,
∴e ?
| F1 F2 | | PF2 | ? | PF1 |

?

5d 4d ? 3d

? 5 ,故选 D.

9.【答案】B 【解析】不妨设直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,则 A(0,1) , B(? , ? ) ,∴ OA ? OB ? 0 ? ,故选
3 3 3 4 1 1

B. 10.【答案】B 【解析】由 | f ( x) ? g ( x) |? 1 可知 | x2 ? 3x ? 4 ? 2 x ? 3|? 1 ,解得 2 ? x ? 3 ,故选 B.

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 54 解:甲、乙两人得分的中位数之和是 28 ? 26 ? 54 . 12.【答案】 (?

1 ,?? ) 2

【解析】作出不等式组 ?

? x ? 2 y ? 1 ? 0, 的平面区域, 由线性规划知识得最优解 (3, 2) ,故 ?| x | ? y ? 1 ? 0

z ? ?3 x ? y 的最大值为 ?7
13.【答案】2 【解析】根据循环语句及程序运行和数列知识可知输出结果为 2. 14.【答案】 (?1) n
an a0 an a0

【解析】观察归纳可得 x1 x2 15.【答案】 (1,3)

xn ? (?1)n

.

【解析】∵ | x ? |? 2 ,∴ | a ? 2 | ?1 ? 2 ,即 | a ? 2 |? 1 ,解得 1 ? a ? 3 .
x

1

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分. 其中 16~19 每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分.解 答应写出文字说明,正明过程和演算步骤) 16. 解:⑴由三角函数的定义知 tan ? ? ? , ∴ tan 2? ?
3 4
2 ? (? 4 3) 2 4 1 ? ( 3)

?

24 7

. 又由三角函数线知

sin ? ?

2 10

,
1

∵ ? 为第一象限角,∴ tan ? ? ,∴ tan(2? ? ? ) ?
7

24 ? 1 7 7 1 1 ? 24 7 ?7

?

161 73

.
2 10

…………6 分
?
2

⑵ ∵ c o? s ??

3 5

,
7 2 10

?
2

? ? ? ? , ∴ sin ? ?

4 5

. 又 sin ? ?

, 0?? ?

, ∴

cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

. ……8 分
4 7 2 10

∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?
5

? ?
5

3

2 10

?

2 2

.由

?
2

?? ?? , 0 ? ? ?

?
2

,得

?
2

?? ? ? ?

3? 2

,∴ ? ? ? ?

3? 4

.

…………12 分 理科(人) 15 15 20 文科(人) 10 25 15

17.解:⑴由题意列表如右: 则 p( x ? 1) ? 0.3 , p( x ? 2) ? 0.3 , p( x ? 3) ? 0.4 . p( y ? 1) ? 0.2 , p( y ? 2) ? 0.5 , p( y ? 3) ? 0.3 . …… 3

分 ∴ P( x ? y) ? P( x ? 3, y ? 3) ? P( x ? 2, y ? 2) ? P( x ? 1, y ? 1) ? 0.4 ? 0.3 ? (0.5 ? 0.2) ? 0.3 ? 0.2 ? 0.67 .……6 分 ⑵∵ P( x ? y ? 5) ? P( x ? 2, y ? 3) ? P( x ? 3, y ? 2) ? 0.3 ? 0.3 ? 0.4 ?0.5 ? 0.29 ,

选修 1 门 选修 2 门 选修 3 门

P( x ? y ? 6) ? P( x ? 3, y ? 3) ? 0.4 ? 0.3 ? 0.12 ∴ P( x ? y ? 4) ? 1 ? P( x ? y ? 5) ? P( x ? y ? 6) ? 1 ? 0.29 ? 0.12 ? 0.59 .

……10 分 ……12 分

C 、E 三点共线,得 AC 与 AE 19.解: ⑴如图,设点 C ( x, y)( x ? 0) , E ( xE ,0) , F ( xF ,0) ,由 A 、

共线.又

AC ? ( x, y ? 1) , AE ? ( xE , ?1) , x(?1) ? ( y ? 1) xE ? 0 ,得 xE ?
共线可得

x 1? y

.同理,由 B 、 C 、 F 三点

xF ?
x
2

x 1? y

.∵ OE ? OF ? 4 ,∴ xE ? xF ?

x

1? y 1? y

·

x

?4 , 化 简 得 点 C 的 轨 迹 方 程 为

4

? y2 ? 1 ( x ? 0.…… ) 6分
⑵若 BC ? ?8CF , ①设 F ( xF ,0) , C ( xC , yC ) , 则 BC ? ( xC , yC ? 1) , CF ? ( xF ? xC , ? yC ) . 由 BC ? ?8CF ,

得 ( xC , yC ? 1) ?

?8( xF ? xC , ? yC ) ,∴ xC ? xF , yC ?
7

8

1 7

.代入

x

2

4

? y 2 ? 1 ,得 xF ? ? 3 .∴ F (? 3,0) ,即 F 为

椭圆的焦点. ……9 分 ②猜想:取椭圆的左焦点 F1 (? 3,0) ,则当 P 点位于直线 BF1 与椭圆的交点处时, ?PBF 周长最大为 8 . 证 明 如 下 : ∵ | PF2 | ? | PB |? 4? | PF1 | ? | PB |? 4? | BF1 | ,∴ ?PBF 的 周 长

l ? 4? | BF1 | ? | BF2 |? 8 .…12 分

20.解:⑴∵函数 f ( x) ? x 在 [0, ??) 上是增函数,∴当 [a, b] ? [0, ??) , x ?[a, b] 时, f ( x) 的

? a ?a ? f (a) ? a ? ? 值域是 [ f (a ), f (b )]. 又 f ( x) ? x 是 [0, ??) 上的正函数 ,∴ ? f (b) ? b , 即 ? b ? b , 解得 ? ?b ? a ? 0 ?b ? a ? 0 ?
a ? 0 , b ? 1 .故函数 f ( x) 的等域区间为 [0,1] .……6 分

⑵∵函数 g ( x) ? x 2 ? k 在 (??,0) 上是减函数 ,∴当 [a, b] ? (??,0) , x ?[a, b] 时 , g ( x) 的

? g (a) ? a 2 ? k ? b 值域是 [ g (b ), g (a )]. 如果 g ( x) ? x 2 ? k 是 (??,0) 上的正函数 , 则 ? , 两式相 2 ? g (b) ? b ? k ? a
减 得 a 2 ? b 2 ? b ? a , ∵ a ? b ,∴ a ? b ? ?1 , b ? ?1 ? a . ∵ a ? b ? 0 ,∴ a ? ? a ? 1 ? 0 , 得
1

?1 ? a ? ? . ……9 分
2


1


1

2bn ?

?

an
a

,

n

n

an ?a a ? 2n ? 2
a

,



bn ? (n ? 1)an ? (n ? 1)(a ? 2n ? 2) ? n2 ? n ?
2 2 2

a?2 2

? (n ? ) 2
4 a 4

?(
9 2

a?4 4 a 4

)2 . ∵ f ( x) ? ( x ? )2 ? (
4 11 2

a

a?4 4 a 4

)2 的 图 象 的 对 称 轴 为 x ? ?

, ?22 ? a ? ?18 , ∴

?? ?

,又 x ? N * ,∴当 x ? ? ? 5 ,即 a ? ?20 时, f ( x) 取最小值.

故当 ?22 ? a ? ?18 时,不等式 bn ? b5 对一切 n ? N * 恒成立. ……9 分 ⑶ ∵

cn?1 ? cn ? ( )n
2

1

,



cn ? c1 ? (c2 ? c1 ) ? (c3 ? c2 ) ? ? 2 ? ( )n?1
2 1

? (cn ? cn?1 ) ? 1 ? ? ( )2 ?
2 2

1

1

? ( )n?2 ? ( )n?1
2 2

1

1

.



a ? ?20

时, bn ? n2 ? n ?
2

a

a?2 2

? n2 ? 10n ? 11 , f (n) ? bn ? cn ? n2 ? 10n ? 9 ? ( )n?1 ,
2 1 1 1

1



f (n ? 1) ? (n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 9 ? ( )n ? n2 ? 8n ? 18 ? ( )n , f (n ? 1) ? f (n) ? 2n ? ( )n ? 9 .
2 2 2

∴当 n ? 5 时, f (n ? 1) ? f (n) ? 0 ,即 f (5) ? f (6) ?
1 2

? f ( n) ?

;当 1 ? n ? 4 时,

f (n ? 1) ? f (n) ? 2n ? ( )n ? 9 ? 0 ,即 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) .
故 f (n) 的最小值为 f (5) ? ?
545 16

.

……14 分


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