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高三数学二轮复习教案:专题六 第一讲 排列与组合、二项式定理(1)

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专题六 概率与统计 第 1 讲 排列与组合、二项式定理 自主学习导引 真题感悟 ?1 ? 1.(2012· 安徽)(x2+2)?x2-1?5 的展开式的常数项是 ? ? A.-3 解析 B.-2 C.2 D.3 1 4 第一个因式取 x2,第二个因式取x2得:1×C1 5(-1) =5,第一个因式 取 2,第二个因式取(-1)5 得:2×(-1)5=-2 展开式的常数项是 5+(-2)=3. 2.(2012·大纲全国卷)6 名选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一 个演讲,则不同的演讲次序共有 A.240 种 B.360 种 C.480 种 解析 解法一 D.720 种 甲先安排在除开始与结尾的位置有 C1 4个选择,剩余的元素 5 1 5 与位置进行全排列有 A5 种,故不同的演讲次序共有 C4 A5=480 种. 解法二 6 若不考虑元素甲的特殊性,共有 A6 中演讲次序,其中甲在第一个 5 6 演讲的有 A5 种,甲在最后一个演讲的也有 A5 5种,故不同的演讲次序共有 A6- 5 A5 -A5 5=480(种). 考题分析 考查排列与组合的题目高考中多以小题的形式出现,与两个计数原理综合应用; 二项式定理的问题常涉及展开式中项的系数,特定项的求法,也可与其他知识交 汇命题,如定积分计算,数列知识,方程根的个数等. 网络构建 高频考点突破 考点一:两个原理及其应用 【例 1】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的 4 个小方格内,每格 涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同 的涂色方法? [审题导引] 颜色可以反复使用,即说明在不相邻的小方格内可以使用同一种颜 色,首先确定第一个小方格的涂法,再考虑其相邻的两个小方格的涂法. [规范解答] 如图所示,将 4 个小方格依次编号为 1,2,3,4,第 1 个小方格可以从 5 种颜色中任取一种颜色涂上,有 5 种不同的涂法. 2 ①当第 2、第 3 个小方格涂不同颜色时,有 A4 =12(种)不同的涂法,第 4 个 小方格有 3 种不同的涂法.由分步计数原理可知,有 5×12×3= 180(种)不同的涂法; ②当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时,有 4 种涂法,由于 相邻两格不同色,因此,第 4 个小方格也有 4 种不同的涂法,由分步计数原理可 知,有 5×4×4=80(种)不同涂法. 由分类加法计数原理可得,共有 180+80=260(种)不同的涂法. 【规律总结】 涂色问题的解决方法 (1)涂色问题没有固定的方法可循,只能按照题目的实际情况,结合两个原 理与排列组合的知识灵活处理, 其难点是对相邻区域颜色不同的处理,解决的方 法往往要采用分类讨论的方法,根据“两个原理”计算. (2)本题也可以考虑对使用的颜色的种数进行分类,如果使用 2 种颜色,则 2 只能是第 1,4 涂一种、第 2,3 涂一种,方法数是 C2 5A2=20;若是使用 3 种颜色, 3 若第 1,2,3 方格不同色, 第 4 个方格只能和第 1 个方格相同, 方法数是 C3 5A3=60, 1 3 2 4 如果第 1,2,3 方格只用两种颜色,则第 4 个方格只能用第 3 种颜色,方法数是 C3 5 4 ×3×2=60; 如果使用 4 种颜色, 方法数是 C4 5A4=120.根据加法原理总的涂法种 数是 260. [易错提示] 在涂色问题中一定要看颜色是否可以重复使用,不允许重复使用的 涂色问题实际上就是一般的排列问题,当颜色允许重复使用时,要充分利用“两 个基本原理”分析解决问题. 【变式训练】 1.某次活动中,有 30 个人排成 6 行 5 列,现要从中选出 3 人进行礼仪表演,要 求这 3 人任意 2 人不同行也不同列, 则不同的选法种数为________(用数字作答). 解析 其中最先选出的一个有 30 种方法, 此时这个人所在的行和列不能再选人, 还剩一个 5 行 4 列的队形,选第二个人有 20 种方法,此时该人所在的行和列不 能再选人,还剩一个 4 行 3 列的队形,此时第三个人的选法有 12 种,根据分步 乘法计数原理,总的选法种数是 30×20×12=7 200. 答案 7 200 考点二:排列与组合 【例 2】(1)(2012·海淀一模)从甲、乙等 5 个人中选出 3 人排成一列,则甲不在 排头的排法种数是 A.12 B.24 C.36 D.48 (2)(2012·深圳模拟)值域为{2,5,10},其对应关系为 y=x2+1 的函数的个数为 A.1 [审题导引] B.27 C.39 D.8 (1)分“选甲”与“不选甲”两类进行讨论; (2)根据函数的值域,求出函数定义域中可能包含的元素,分类讨论确定其定义 域. [规范解答] 1 2 (1)若选甲,则有 A2 A4种排法; 3 2 3 若不选甲,则有 A4 种排法,则共有 A1 2A4+A4=48(种). (2)分别由 x2+1=2,x2+1=5,x2+1=10 解得 x=± 1,x=± 2,x=± 3,由 函数的定义,定义域中元素的选取分四种情况: 1 ①取三个元素:有 C1 C1 C2 =8(种); 2· 2· 1 ②取四个元素:先从± 1,± 2,± 3 三组中选取一组 C3 ,再从剩下的两组中选 1 1 1 两个元素 C1 C1 C2· C2=12(种); 2· 2,故共有 C3· ③取五个元素:C5 6=6(种); ④取六个元素:1 种. 由分类计数原理,共有 8+12+6+1=27(种). [答案] (1)D (2)B 【规律总结】 排列、组合问题的解法 解排列组合综合应用题要从“分析” 、 “分辨” 、 “分类” 、 “分步”的角度入手. “分 析”就是找出题目的条件、结论.哪些是“元素” ,哪些是“位置” ; “分辨”就 是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等; “分类”就是对于较

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