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3年高考2年模拟之第五章 数列

时间:2017-10-27


第五章





19.等差数列

1. (2017· 全国Ⅲ)等差数列{an}的首项为 1, 公差不为 0.若 a2, a3, a6 成等比数列, 则{an}前 6 项的和为( A.-24 B.-3 )

C.3 D.8

2.(2017· 全国Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a4+a5=24,S6=48,则 {an}的公差为( ) D.8

A.1 B.2 C.4

3.(2017· 北京)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1=b1=-1,a4=b4=8,则 a2 b2=________. 4.(2017· 全国Ⅰ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.已知 S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式; (2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2 是否成等差数列.

5.(2017· 江苏)对于给定的正整数 k,若数列{an}满足 an-k+an-k+1+?+an-1+an
+1

+?+an+k-1+an+k=2kan 对任意正整数 n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)

数列”.

(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”; (2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.

考点 1

等差数列的概念及判定

1. (2016· 天津)已知{an}是各项均为正数的等差数列, 公差为 d, 对任意的 n∈N*, bn 是 an 和 an+1 的等比中项.
2 2 * (1)设 cn=bn +1-bn,n∈N ,求证:数列{cn}是等差数列;

考点 2

等差数列的通项公式与前 n 项和公式 )

2.(2016· 全国Ⅰ)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=( A.100 B.99 C.98 D.97 3.(2015· 重庆)在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6=( )

A.-1

B.0 C.1

D.6

4.(2015· 新课标全国Ⅱ)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a3+a5=3,则 S5=( ) D.11

A.5 B.7 C.9

5. (2015· 新课标全国Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等差数列, Sn 为{an}的前 n 项和. 若 S8=4S4,则 a10=( 17 A. 2 19 B. 2 )

C.10 D.12

6. (2016· 江苏)已知{an}是等差数列, Sn 是其前 n 项和. 若 a1+a2 S5=10, 2=-3, 则 a9 的值是________. 7.(2015· 陕西)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列,其末项为 2 015,则该数 列的首项为________. 1 8.(2015· 安徽)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+2(n≥2),则数列{an}的前 9 项和等于________. 9.(2016· 全国卷Ⅱ)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=[an], 求数列{bn}的前 10 项和, 其中[x]表示不超过 x 的最大整数, 如[0.9] =0,[2.6]=2.

10.(2015· 北京)已知等差数列{an}满足 a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b2=a3,b3=a7,问:b6 与数列{an}的第几项相等?

考点 3

等差数列的性质

11.(2016· 北京)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 a1=6,a3+a5=0, 则 S6=________. 12. (2015· 浙江)已知{an}是等差数列, 公差 d 不为零. 若 a2, a3, a7 成等比数列, 且 2a1+a2=1,则 a1=________,d=________. 13. (2015· 广东 )在等差数列 {an}中,若 a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = 25,则 a2 +a8 = ________.

1. (2017· 兰州市诊断)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=2, a8+a10=28, 则 S9=( A.36 ) B.72 C.144 D.288

2.(2017· 西安八校联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2+a7+a12=24, 则 S13=( )

A.52 B.78 C.104 D.208 3. (2017· 贵阳市监测)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a3+a9=16, 则 S11=( A.88 B.48 C.96 D.176
? n?

)

?1? 4.(2017· 合肥市质检二)已知?a ?是等差数列,且 a1=1,a4=4,则 a10=(

)

4 A.-5

5 B.-4

4 C.13

13 D. 4

5.(2017· 安徽名校联考)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a2+S3=4,a3 +S5=12,则 a4+S7 的值是( A.20 B.36 C.24 D.72 )

6. (2017· 湖南五市十校联考)已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和, 且 Sn+1=Sn+an+3, a4+a5=23,则 S8=( A.72 B.88 C.92 ) D.98

7. (2017· 陕西省质检一)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn(a, b∈R)且 a2=3, a6=11,则 S7 等于( A.13 B.49 C.35 ) D.63

8.(2017· 长沙市一模)《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了 246 个问题及其解法, 其中一个问题为“现有一根九节的竹子, 自上而下各节的容积 成等差数列,上面四节容积之和为 3 升,下面三节的容积之和为 4 升,求中间两 节的容积各为多少?”该问题中第 2 节, 第 3 节, 第 8 节竹子的容积之和为( 17 A. 6 升 7 B.2升 113 C. 6 升 109 D. 33 升 )

9.(2017· 湘中名校联考)若{an}是等差数列,首项 a1>0,a2 016+a2 017>0,a2 016·a2

017<0,则使前

n 项和 Sn>0 成立的最大正整数 n 是( C.4 032 D.4 033

)

A.2 016 B.2 017

10.(2017· 北京西城区二模)数列{an}为等差数列,满足 a2+a4+?+a20=10,则 数列{an}前 21 项的和等于( 21 A. 2 B.21 C.42 D.84 )

11.(2016· 惠州市三调)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a1=4,则公差 d 等于( A.1 B. 5 3 ) C.-2 D.3

12.(2016· 西安八校联考)在等差数列{an}中,a1=0,公差 d≠0,若 am=a1+a2 +?+a9,则 m 的值为( A.37 B.36 C.20 ) D.19

13.(2016· 邯郸市质检)已知在等差数列{an}中,a1=1,前 10 项的和等于前 5 项 的和,若 am+a6=0,则 m=( A.10 B.9 C.8 D.2 )

14.(2016· 赣州十二县高三联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=3,S6 =15,则 S9=( ) D.54

A.27 B.36 C.44

15.(2016· 北京海淀区期末)数列{an}是首项为-41,公差为 2 的等差数列,所给 程序框图中输出的 S 是数列{an}前 n 项和的最小值,则①处可填写( A.S>0 B.S<0 )

C.a>0 D.a=0

16.(2016· 长春调研)已知数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 S4=20,S6 -S2=36,则该等差数列的公差 d=( A.-2 B.2 C.-4 D.4 )

17.(2016· 安徽六校联考)在等差数列{an}中, “a1<a3”是“数列{an}是单调递增 数列”的( ) B.必要不充分条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

18. (2016· 巴蜀中学一模)在等差数列{an}中, an>0, 且 a1+a2+a3+?+a8=40, 则 a4·a5 的最大值是( A.5 B.10 C.25 ) D.50

19.(2016· 河北五市一中监测)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a2=10,S4 =36,则过点 P(n,an)和 Q(n+2,an+2)(n∈N*)的直线的一个方向向量是( ? 1 ? A.?-2,-2? ? ? ? 1 ? C.?-2,-1? ? ? B.(-1,-1) 1? ? D.?2,2? ? ? )

20. (2016· 广州市综合测试二)设 P(x, y)是函数 y=f(x)的图象上一点, 向量 a=(1, (x-2)5), b=(1, y-2x), 且满足 a∥b.数列{an}是公差不为 0 的等差数列, 若 f(a1) +f(a2)+?+f(a9)=36,则 a1+a2+?+a9=( A.0 B.9 C.18 D.36 )

21. (2017· 合肥市质检二)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就. 北宋沈括在 《梦 溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创“隙积术” , “隙积术”意即:将木桶一层层堆 放成坛状,最上一层长有 a 个,宽有 b 个,共计 ab 个木桶,每一层长宽各比上 一层多一个,共堆放 n 层,设最底层长有 c 个,宽有 d 个,则共计有木桶 n[(2a+c)b+(2c+a)d+(d-b)] 个.假设最上层有长 2 宽 1 共 2 个木桶, 6 每一层的长宽各比上一层多一个,共堆放 15 层,则木桶的个数为________. a1+2a2+?+2n-1an 22.(2017· 湘中名校联考)对于数列{an},定义 Hn= 为{an}的 n “优值”,现在已知某数列{an}的“优值”Hn=2n+1,记数列{an-kn}的前 n 项 和为 Sn,若 Sn≤S5 对任意的 n∈N*恒成立,则实数 k 的取值范围为________.

23.(2016· 深圳二调)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=15,S9=153, 则 S6=________. 3 24. (2016· 杭州质检一)设实数 a1, d 为等差数列{an}的首项和公差. 若 a6=-a ,
5

则 d 的取值范围是________. 25.(2017· 洛阳市统考一)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,an≠0,a1=1,且 2anan
+1

=4Sn-3(n∈N*).

(1)求 a2 的值并证明:an+2-an=2; (2)求数列{an}的通项公式.

26.(2017· 广西三市一联)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n-1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log4an+1,求{bn}的前 n 项和 Tn.

27.(2016· 宝鸡市质检)已知等差数列{an}的公差不为零,a3=5,且 a1,a7,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 a1+a3+a5+?+a2n-1.

28.(2016· 南昌一模)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S3=6,正项数 列{bn}满足 b1·b2·b3·?·bn=2Sn. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 λbn>an 对 n∈N*均成立,求实数 λ 的取值范围.

20.等比数列

1.(2017· 全国Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔 七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的 顶层共有灯( A.1 盏 ) C.5 盏 D.9 盏

B.3 盏

2. (2017· 全国Ⅲ)设等比数列{an}满足 a1+a2=-1, a1-a3=-3, 则 a4=________. 7 3.(2017· 江苏)等比数列{an}的各项均为实数,其前 n 项和为 Sn,已知 S3=4,S6 63 = 4 ,则 a8=________. 4.(2017· 全国Ⅱ)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的前 n 项和 为 Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若 a3+b3=5,求{bn}的通项公式; (2)若 T3=21,求 S3.

5.(2017· 北京)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1=b1=1,a2+a4=10, b2b4=a5. (1)求{an}的通项公式; (2)求和:b1+b3+b5+?+b2n-1.

考点 1

等比数列的概念及判定

1.(2016· 全国Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1+λan,其中 λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; 31 (2)若 S5=32,求 λ.

2. (2016· 全国Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足 a1=1, a2 n-(2an+1-1)an-2an
+1

=0.

(1)求 a2,a3; (2)求{an}的通项公式.

考点 2

等比数列的通项公式与前 n 项和公式

3.(2015· 新课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+ a5+a7=( ) D.84

A.21 B.42 C.63

1 4.(2015· 新课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1=4,a3a5=4(a4-1),则 a2= ( ) 1 D.8 1 A.2 B.1 C.2

5.(2016· 浙江)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则

a1=________,S5=________. 6.(2016· 全国Ⅰ)设等比数列满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2?an 的最大值 为__________. 7. (2015· 新课标全国Ⅰ)在数列{an}中, a1=2, an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和. 若 Sn=126,则 n=________. 8.(2015· 湖南)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等 差数列,则 an=________. 1 9.(2016· 全国Ⅰ)已知{an}是公差为 3 的等差数列,数列{bn}满足 b1=1,b2=3, anbn+1+bn+1=nbn. (1)求{an}的通项公式; (2)求{bn}的前 n 项和.

9 10.(2015· 重庆)已知等差数列{an}满足 a3=2,前 3 项和 S3=2. (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a15,求{bn}的前 n 项和 Tn.

11.(2015· 四川)设数列{an}(n=1,2,3,?)的前 n 项和 Sn 满足 Sn=2an-a1,且 a1,a2+1,a3 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式;
?1? (2)设数列?a ?的前 n 项和为 Tn,求 Tn. ? n?

考点 3

等比数列的性质

12. (2015· 广东)若三个正数 a, b,c 成等比数列,其中 a=5+2 6, c=5-2 6, 则 b=________. 13. (2015· 安徽)已知数列{an}是递增的等比数列, a1+a4=9, a2a3=8, 则数列{an}

的前 n 项和等于________.

1.(2017· 成都市二诊)在等比数列{an}中,已知 a3=6,a3+a5+a7=78,则 a5= ( ) D.36

A.12 B.18 C.24

2.(2017· 广东五校一联)正项等比数列{an}中,a5=6,则数列{log6an}的前 9 项和 等于( ) D.16

A.6 B.9 C.12

3.(2017· 武汉市武昌区调研)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 a1=( A.-2 B.-1 1 C.2 2 D.3 )

a10-a12 4.(2017· 张掖市一诊)已知等比数列{an}中,a3=2,a4a6=16,则 的值为 a6-a8 ( ) D.16

A.2 B.4 C.8

5.(2017· 云南十一校调研)已知数列{an}是等比数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1+ a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则 S12=( A.40 B.60 C.32 D.50 )

6 . (2017· 西安八校联考 ) 已知数列 {an} 是等比数列,数列 {bn} 是等差数列,若 b3+b9 a1·a6·a11=-3 3,b1+b6+b11=7π ,则 tan 的值是( 1-a4·a8 A.- 3 B.-1 3 C.- 3 D. 3 )

7.(2017· 贵阳市监测)正项等比数列{an}中,存在两项 am,an,使得 aman=4a1, 1 4 且 a6=a5+2a4,则m+n的最小值是( 3 A.2 7 B.2 C.3 25 D. 6 )

8. (2017· 宝鸡市质检一)正项等比数列{an}中, a2 016=a2 015+2a2 014, 若 aman=16a2 1,

4 1 则m+n的最小值等于( 3 A.1 B.2 5 C.3 13 D. 6

)

9. (2016· 北京东城区综合练习二)已知{an}为各项都是正数的等比数列, 若 a4·a8 =4,则 a5·a6·a7=( A.4 B.8 C.16 ) D.64

10.(2016· 东北三省四市一联)等比数列{an}中,a4=2,a7=5,则数列{lg an}的 前 10 项和等于( )

A.2 B.lg 50 C.10 D.5 a1 a2 2 2 a3 a4 11.(2016· 青岛质检)设等比数列{an}的各项均为正数,若 2 + 2 =a +a , 4 + 4
1 2

4 4 =a +a ,则 a1a5=( 3 4 A.24 2

) D.16

B.8 C.8 2

12.(2016· 赤峰市高三统考)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1 +a10=( ) D.-7
3 6

A.7 B.5 C.-5

S6 S9 13.(2016· 沈阳市四校联考)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若S =3,则S = ( ) 8 C.3 D.3 7 A.2 B.3

14.(2016· 湖北八校一联)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则下列结论一定成 立的是( ) B.若 a4>0,则 a2 014<0 D.若 a4>0,则 S2 014>0

A.若 a3>0,则 a2 013<0 C.若 a3>0,则 S2 013>0

15.(2016· 山西省三诊)在等比数列{an}中,已知 a1=1,a4=8.设 S3n 为该数列的 前 3n 项和,Tn 为数列{a3 n}的前 n 项和.若 S3n=tTn,则实数 t 的值为( A.7 B.9 C.12 D.15
013=2S2 014+6,

)

16.(2016· 山西省二诊)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2 3a2 014=2S2 015+6,则数列{an}的公比 q 等于( )

1 A.2

1 B.-2或 1 D.2 )

1 C.2或 1

a20 17. (2016· 贵州贵阳模拟)在等比数列{an}中, a7a11=6, a4+a14=5, 则a =(
10

2 3 A.3或2 2 C.3 3 D.2

1 1 B.3或-2

18.(2016· 安徽两市联考)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2·a3=2a1, 1 5 且2a4 与 a7 的等差中项为8,则 S4=( A.32 B.31 C.30 D.29 )

19. (2017· 石家庄市二模)在等比数列{an}中, 若 a1=-2, a5=-4, 则 a3=________. 20.(2017· 长沙市一模)等比数列{an}的公比为- 2,则 ln(a2 ________. 21.(2016· 晋冀豫三省二调)设{an}是等比数列,公比 q= 2,Sn 为{an}的前 n 项 17Sn-S2n 和,记 Tn= ,n∈N*,设 Tn0 为数列{Tn}的最大项,则 n0=________. an+1 3 22.(2017· 长春市二监)已知数列{an}满足 a1=2,an+1=3an-1(n∈N*). 1 (1)若数列{bn}满足 bn=an-2,求证:{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
2 2 017) -ln(a2 016) =

23.(2017· 成都市一诊)在等比数列{an}中,已知 a4=8a1,且 a1,a2+1,a3 成等 差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{|an-4|}的前 n 项和 Sn.

24.(2016· 杭州市一模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n-an(n∈N*). (1)求证:数列{an-1}为等比数列,并写出{an}的通项公式; (2)设 bn=a(an-1)-(2n+1)(a 为常数).若 b3>0,当且仅当 n=3 时,{bn}取到最 小值,求 a 的取值范围.

25. (2016· 北京朝阳区高三期末)已知公比为 q 的等比数列{an}(n∈N*)中, a2=2, 前三项的和为 7. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 0<q<1,设数列{bn}满足 bn=a1·a2·?·an,n∈N*,求使 0<bn<1 的 n 的最小值.

21.数列求和

n 1 1. (2017· 全国Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a3=3, S4=10, 则 ? S =________. k=1 k

2.(2017· 全国Ⅲ)设数列{an}满足 a1+3a2+?+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通项公式;
? an ? ? ? (2)求数列?2n+1?的前 n 项和. ? ? ? ?

3.(2017· 山东)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求数列{an}的通项公式;
?bn? (2){bn}为各项非零的等差数列, 其前 n 项和为 Sn, 已知 S2n+1=bnbn+1, 求数列?a ? ? n?

的前 n 项和 Tn.

考点 1

公式法、分组法求和

1. (2016· 北京)已知{an}是等差数列, {bn}是等比数列, 且 b2=3, b3=9, a1=b1, a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)设 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和.

2.(2015· 福建)在等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an-2+n,求 b1+b2+b3+?+b10 的值.

考点 2

错位相减法求和

3.(2016· 山东)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且 an= bn+bn+1. (1)求数列{bn}的通项公式; (an+1)n+1 (2)令 cn= .求数列{cn}的前 n 项和 Tn. (bn+2)n

? ? 1 ? ? 4.(2015· 山东)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列?a ·a ?的前 n 项 ? n+1? ? n ?

n 和为 . 2n+1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(an+1)· 2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点 3

裂项法求和与并项求和
1 2 3

1 1 2 5.(2016· 天津)已知{an}是等比数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*),且a -a =a ,S6 =63. (1)求{an}的通项公式; (2)若对任意的 n∈N*,bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项,求数列{(-1)nb2 n}的前 2n 项和.

6.(2015· 全国Ⅰ)Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0,a2 n+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 1 ,求数列{bn}的前 n 项和. anan+1

考点 4

讨论法求和与分段求和

7.(2016· 浙江)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通项公式 an; (2)求数列{|an-n-2|}的前 n 项和.

8. (2016· 全国Ⅱ)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, 且 a1=1, S7=28.记 bn=[lg an], 其中[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求 b1,b11,b101; (2)求数列{bn}的前 1 000 项和.

1. (2017· 石家庄市质检一)已知等差数列{an}的公差为 5,前 n 项和为 Sn,且 a1, a2,a5 成等比数列,则 S6=( A.80 B.85 C.90 D.95 2. (2017· 云南十一校调研)已知数列{an}中, a1=1, an+1=an+2n+1, 则 a5=( A.16 B.25 C.24 D.26 1 3.(2017· 广东五校一联)数列{an}满足 a1=1,且 an+1=a1+an+n(n∈N*),则a +
1

)

)

1 1 a2+?+a2 016等于( 4 032 A.2 017 2 015 C. 2 016 4 028 B.2 015 D. 2 014 2 015

)

4.(2017· 郑州市三预)已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范 围是( ) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

A.(-∞,-1]

C.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞) 1 5.(2016· 天津十二县(区)二联)已知数列{an}满足 a1=1,|an-an-1|=3n(n∈N*,n ≥2),且{a2n-1}是递减数列,{a2n}是递增数列,则 12a10=( 1 1 A.6-310 B.6-39 1 1 C.11-310 D.11-39 6.(2016· 石家庄质检二)已知等差数列{an}中,a1 007=4,S2 014=2 014,则 S2 015 =( ) B.2 015 D.4 030 )

A.-2 015 C.-4 030

7.(2016· 青岛模拟)已知 Sn= =10,则 m=( A.11 B.99 C.120 D.121 )

1 1 1 1 + + +?+ ,若 Sm 2+1 3+ 2 2+ 3 n+1+ n

1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 8. (2016· 重庆模拟)已知数列{an}: ?, ?, 2, 3+3, 4+4+4, 10+10+10+?+10,
? 1 ? ? ? 那么数列{bn}=?a a ?的前 n 项和 Sn 为( ? n n+1? ? ?

)

n A. n+1 3n C. n+1

B. D.

4n n+1 5n n+1

9.(2016· 福州市质检)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,当 n≥2 时,an+2Sn
-1

=n,则 S2 015 的值为(

)

A.2 015 B.2 013 C.1 008 D.1 007 10.(2016· 北京昌平区高三期末)已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1,n∈N*), 1 且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|<40成立的 n 的最小值是 ( ) D.4

A.7 B.6 C.5

11.(2016· 广州模拟)数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}前 12 项和 等于( ) D.82

A.76 B.78 C.80

n(n+1) 12.(2016· 安徽皖西模拟)若数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N*,则数列 2 {2nan}的前 n 项和为( A.2+(n-1)2n+1 C.n·2n+1-2 )

B.2+(n-1)2n

D.2+(2n-1)2n

a2 n+1 13.(2017· 合肥市质检二)已知数列{an}中,a1=2,且 a =4(an+1-an)(n∈N*), n 则其前 9 项和 S9=________.

14.(2017· 武汉市武昌区调研)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=9,a2
? 1 ? ? ? 为整数,且 Sn≤S5,则数列?a a ?的前 9 项和为________. ? n n+1? ? ?

1 15.(2017· 兰州市诊断)已知数列{an},{bn},若 b1=0,an= ,当 n≥2 n(n+1) 时,有 bn=bn-1+an-1,则 b2 017=________. 1 1 2 16.(2017· 石家庄市质检一)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{an}为2,3,3, n-1 1 2 3 1 2 3 4 1 2 , , , , , , ,?, , ,?, 4 4 4 5 5 5 5 n n n ,?,若 Sk=14,则 ak=________. 17.(2016· 海口市调研三)在数列{an}中,已知 a1=1,an+1-an=sin 记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 S2 014=________. 18 . (2016· 兰 州 市 实 战 考 试 ) 已 知 数 列 {an} 中 , a1 = 2 , a2 = 1 , an + 2 = 2an 1 ? ? an ,an 1≥2, (n∈N*),Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S2 015=________. ?4 ? ?an,an 1<2
+ + +

(n+1)π , 2

19.(2017· 长沙市一模)已知数列{an}为等差数列,其中 a2+a3=8,a5=3a2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn= 2 2 016 ,设{bn}的前 n 项和为 Sn.求最小的正整数 n,使得 Sn>2 017. anan+1

2 2 20.(2016· 合肥市质检二)已知数列{an}满足 an>0,a1=2,且 an +1=2an+anan+1.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=log
2an-1,cn=an·bn,求数列{cn}的前

n 项和 Sn.

21.(2016· 广州市综合测试二)已知点 Pn(an,bn)(n∈N*)在直线 l:y=3x+1 上, P1 是直线 l 与 y 轴的交点,数列{an}是公差为 1 的等差数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 1 1 1 1 (2)求证:|P P |2+|P P |2+?+ 2< . |P1Pn+1| 6 1 2 1 3

22.数列的综合问题

1.(2017· 天津)已知{an}为等差数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*),{bn}是首项为 2 的 等比数列,且公比大于 0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{a2nbn}的前 n 项和(n∈N*).

2.(2017· 山东)已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且 x1+x2=3,x3-x2=2.

(1)求数列{xn}的通项公式; (2)如上图,在平面直角坐标系 xOy 中,依次连接点 P1(x1,1),P2(x2,2),?, Pn+1(xn+1,n+1)得到折线 P1P2?Pn+1,求由该折线与直线 y=0,x=x1,x=xn+1 所围成的区域的面积 Tn.

类型 1

数列的判定

1.(2016· 浙江)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An
+2

|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q 表示点 P 与 )

Q 不重合).若 dn=|AnBn|,Sn 为△AnBnBn+1 的面积,则(

A.{Sn}是等差数列 C.{dn}是等差数列

2 B.{Sn }是等差数列 2 D.{dn }是等差数列

2.(2016· 全国Ⅲ)定义“规范 01 数列”{an}如下:{an}共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1,且对任意 k≤2m,a1,a2,?,ak 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有( A.18 个 C.14 个 类型 2 B.16 个 D.12 个 )

数列的通项公式与求和
? n?

?1? 3.(2015· 江苏)设数列{an}满足 a1=1,且 an+1-an=n+1(n∈N*),则数列?a ?前

10 项的和为________. 4.(2016· 四川)已知数列{an}的首项为 1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn+1=qSn +1,其中 q>0,n∈N*. (1)若 a2,a3,a2+a3 成等差数列,求数列{an}的通项公式; y2 2 2 (2)设双曲线 x2-a2=1 的离心率为 en,且 e2=2,求 e1 +e2 +?+e2 n.
n

5.(2015· 安徽)已知数列{an}是递增的等比数列,且 a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. SnSn+1

类型 3

数列与不等式

6.(2015· 浙江)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn,若 a3,a4, a8 成等比数列,则( A.a1d>0,dS4>0 C.a1d>0,dS4<0 ) B.a1d<0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0

an+1 7.(2016· 浙江)设数列{an}满足|an- 2 |≤1,n∈N*. (1)证明:|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*; ?3?n (2)若|an|≤?2? ,n∈N*,证明:|an|≤2,n∈N*. ? ?

8.(2015· 安徽)设 n∈N*,xn 是曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2)处的切线与 x 轴交点 的横坐标. (1)求数列{xn}的通项公式; 1 2 2 (2)记 Tn=x2 1x3?x2n-1,证明 Tn≥ . 4n

2 1.(2017· 云南省统检一)已知数列{an}中,an +2an-n2+2n=0.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

2.(2017· 沈阳市一监)已知数列{an}是等差数列,满足 a1=2,a4=8,数列{bn} 是等比数列,满足 b2=4,b5=32. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn.

3.(2017· 安徽名校联考)已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn=an+1·log2an,求数列{bn} 的前 n 项和 Sn.

4.(2017· 惠州市三调)已知数列{an}中,点(an,an+1)在直线 y=x+2 上,且首项 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}中,b1=a1,b2=a2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,请写出适合条件 Tn≤Sn 的所有 n 的值.

5.(2016· 武汉调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3=5,S8=64. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明: 1 Sn-1 + 2 >S (n≥2,n∈N). Sn+1 n 1

an 6.(2016· 长沙一模)已知数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*). an+3
?1 1? (1)求证:?a +2?是等比数列; ? n ?

n ? 1?n (2)数列{bn}满足 bn=(3n-1)· n·an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若不等式?- ? 2 ? 2? n λ <Tn+ n-1对一切 n∈N*恒成立,求 λ 的取值范围. 2

7.(2016· 济南模拟)数列{an}满足 a1=1,an+1=2an(n∈N*),Sn 为其前 n 项和.数 列{bn}为等差数列,且满足 b1=a1,b4=S3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn= 1 1 1 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,证明:3≤Tn<2. bn·log2a2n+2

8.(2016· 广州市综合测试二)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3=5,S8=64. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 1 (2)证明:S +S +S +?+S ≤2-n(n≥1,n∈N).
1 2 3 n


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