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甘肃省会宁县第二中学高中数学选修2-2同步练习 1章 导数及其应用 综合检测 (新人教A版选修2-2)]

时间:2015-07-05


第一章 导数及其应用综合检测
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2010·全国Ⅱ文,7)若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0, 则( ) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 [答案] A [解析] y′=2x+a,∴y′|x=0=(2x+a)|x=0=a=1, 将(0,b)代入切线方程得 b=1. 2.一物体的运动方程为 s=2tsint+t,则它的速度方程为( A.v=2sint+2tcost+1 B.v=2sint+2tcost C.v=2sint D.v=2sint+2cost+1 [答案] A [解析] 因为变速运动在 t0 的瞬时速度就是路程函数 y=s(t)在 t0 的导数,S′=2sint +2tcost+1,故选 A. 3.曲线 y=x +3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率是( A.4 B.5 C.6 D.7 [答案] D [解析] 由导数的几何意义知,曲线 y=x +3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率就是函数 y =x +3x 在 x=2 时的导数,y′|x=2=7,故选 D. 4.函数 y=x|x(x-3)|+1( )
2 2 2 2

)

)

A.极大值为 f(2)=5,极小值为 f(0)=1

B.极大值为 f(2)=5,极小值为 f(3)=1 C.极大值为 f(2)=5,极小值为 f(0)=f(3)=1 D.极大值为 f(2)=5,极小值为 f(3)=1,f(-1)=-3 [答案] B [解析] y=x|x(x-3)|+1
? ?x -3x +1 (x<0或x>3) =? 3 2 ?-x +3x +1 (0≤x≤3) ? ?3x -6x (x<0或x>3) ? ∴y′=? 2 ?-3x +6x (0≤x≤3) ?
2 3 2

x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表: x f′(x) f(x)
(-∞,0) + 0 0 无极值 (0,2) + 2 0 极大值 5 (2,3) - 3 0 极小值 1 (3,+∞) +

∴f(x)极大=f(2)=5,f(x)极小=f(3)=1 故应选 B. 5.(2009·安徽理,9)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x +8x-8,则曲线 y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3 [答案] A [解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式. ∵f(x)=2f(2-x)-x +8x-8, ∴f(2-x)=2f(x)-x -4x+4, ∴f(x)=x ,∴f′(x)=2x, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 2,切线方程为 y-1=2(x-1),∴y=2x -1. 6.函数 f(x)=x +ax +3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于( A.2 B.3 C.4 D.5
3 2 2 2 2 2

)

)

[答案] D [解析] f′(x)=3x +2ax+3, ∵f(x)在 x=-3 时取得极值, ∴x=-3 是方程 3x +2ax+3=0 的根, ∴a=5,故选 D. 7 .设 f(x) , g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数.当 x<0 时, f′(x)g(x) +
2 2

f(x)g′(x)>0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是(
A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) [答案] D [ 解析 ]

)

令 F(x) = f(x)·g(x) ,易知 F(x) 为奇函数,又当 x<0 时, f′(x)g(x) +

f(x)g′(x)>0,即 F′(x)>0,知 F(x)在(-∞,0)内单调递增,又 F(x)为奇函数,所以 F(x)
在(0,+∞)内也单调递增,且由奇函数知 f(0)=0,∴F(0)=0. 又由 g(-3)=0,知 g(3)=0 ∴F(-3)=0,进而 F(3)=0 于是 F(x)=f(x)g(x)的大致图象如图所示

∴F(x)=f(x)·g(x)<0 的解集为(-∞,-3)∪(0,3),故应选 D. 8.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是 ( )

A.①② B.③④ C.①③ D.①④ [答案] B [解析] ③不正确;导函数过原点,但三次函数在 x=0 不存在极值;④不正确;三次函 数先增后减再增,而导函数先负后正再负.故应选 B. 1 9.(2010·湖南理,5)?4 dx 等于(

?2 x

)

A.-2ln2 B.2ln2 C.-ln2 D.ln2 [答案] D 1 [解析] 因为(lnx)′= ,

x

1 4 所以 ?4 dx=lnx|2=ln4-ln2=ln2. x ?
2

1 3 2 2 10.已知三次函数 f(x)= x -(4m-1)x +(15m -2m-7)x+2 在 x∈(-∞,+∞)是增 3 函数,则 m 的取值范围是( A.m<2 或 m>4 B.-4<m<-2 )

C.2<m<4 D.以上皆不正确 [答案] D [解析] f′(x)=x -2(4m-1)x+15m -2m-7, 由题意得 x -2(4m-1)x+15m -2m-7≥0 恒成立,∴Δ =4(4m-1) -4(15m -2m-7) =64m -32m+4-60m +8m+28 =4(m -6m+8)≤0, ∴2≤m≤4,故选 D. 11.已知 f(x)=x +bx +cx+d 在区间[-1,2]上是减函数,那么 b+c( 15 A.有最大值 2 15 B.有最大值- 2 15 C.有最小值 2 15 D.有最小值- 2 [答案] B [解析] 由题意 f′(x)=3x +2bx+c 在[-1,2]上,f′(x)≤0 恒成立. 所以?
?f′(-1)≤0 ? ? ?f′(2)≤0
2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

? ?2b-c-3≥0 即? ?4b+c+12≤0 ?

令 b+c=z,b=-c+z,如图 3? ? 过 A?-6,- ?得 z 最大, 2? ? 3 15 最大值为 b+c=-6- =- .故应选 B. 2 2 12.设 f(x)、g(x)是定义域为 R 的恒大于 0 的可导函数,且 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0, 则当 a<x<b 时有( )

A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(x) [答案] C

[解析] 令 F(x)= 则 F′(x)=

f(x) g(x)

f′(x)g(x)-f(x)g′(x) <0 g2(x)

f(x)、g(x)是定义域为 R 恒大于零的实数
∴F(x)在 R 上为递减函数, 当 x∈(a,b)时,

f(x) f(b) > g(x) g(b)

∴f(x)g(b)>f(b)g(x).故应选 C. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在题中横线上) 13.?-1 [答案] dx 3=________. (11 + 5x) ?-2 7 72

1 [解析] 取 F(x)=- 2, 10(5x+11) 1 从而 F′(x)= 3 (11+5x) dx 则?-1 3=F(-1)-F(-2) ? (11+5x)
-2

1 1 1 1 7 =- - = . 2+ 2= 10×6 10×1 10 360 72 14.若函数 f(x)= [答案] a≥0 1? 1 ? [解析] f′(x)=?ax- ?′=a+ 2,

ax2-1 的单调增区间为(0,+∞),则实数 a 的取值范围是________. x

?

x?

x

1 由题意得,a+ 2≥0,对 x∈(0,+∞)恒成立,

x

1 ∴a≥- 2,x∈(0,+∞)恒成立,∴a≥0.

x

15.(2009·陕西理,16)设曲线 y=x

n+1

(n∈N )在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐

*

标为 xn,令 an=lgxn,则 a1+a2+…+a99 的值为________. [答案] -2 [解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质.

k=y′|x=1=n+1,
∴切线 l:y-1=(n+1)(x-1),

令 y=0,x=

,∴an=lg , n+1 n+1

n

n

1 2 99 ∴原式=lg +lg +…+lg 2 3 100 1 2 99 1 =lg × ×…× =lg =-2. 2 3 100 100 1 2 16.如图阴影部分是由曲线 y= ,y =x 与直线 x=2,y=0 围成,则其面积为________.

x

[答案]

2 +ln2 3
2

y =x, ? ? [解析] 由? 1 y= ? ? x x=2 ? ? 由? 1 y= ? ? x

,得交点 A(1,1)

? 1? 得交点 B?2, ?. ? 2?

1 故所求面积 S=?1 xdx+?2 dx

?0

?1x

2 3 1 2 2 = x |0 +lnx|1 = +ln2. 3 2 3 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)(2010·江西理,19)设函数 f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0). (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在(0,1]上 的最大值为 ,求 a 的值. 2 [解析] 函数 f(x)的定义域为(0,2),

f ′(x)= - +a, x 2-x
(1)当 a=1 时,f ′(x)= 间为( 2,2); (2)当 x∈(0,1]时,f ′(x)= 2-2x +a>0, x(2-x) -x +2 ,所以 f(x)的单调递增区间为(0, 2),单调递减区 x(2-x)
2

1

1

1 即 f(x)在(0,1]上单调递增,故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=a,因此 a= . 2 18.(本题满分 12 分)求曲线 y=2x-x ,y=2x -4x 所围成图形的面积. [解析]
? ?y=2x-x , 由? 2 ?y=2x -4x ?
2 2 2

得 x1=0,x2=2.
2 2 2

由图可知,所求图形的面积为 S=?2(2x-x )dx+|?2(2x -4x)dx|=?2(2x-x )dx-?2

?0

?0

?0

?0

(2x -4x)dx.

2

? 2 1 3? 2 因为?x - x ?′=2x-x , 3 ? ?

?2x3-2x2?′=2x2-4x, ?3 ? ? ? ? 2 1 3?? 所以 S=?x - x ?? 3 ??0 ?
2 2?? ?2 3 -? x -2x ?? 3 ? ??0 3 2

=4.

19.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=x -3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点. [分析] 考查利用导数研究函数的单调性,极值点的性质,以及分类讨论思想. [解析] (1)f′(x)=3x -3a. 因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切, 所以?
?f′(2)=0, ? ? ?f(2)=8. ?3(4-a)=0, ? 即? ? ?8-6a+b=8.
2

解得 a=4,b=24. (2)f′(x)=3(x -a)(a≠0).
2

当 a<0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数 f(x)没有极值点. 当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x=± a. 当 x∈(-∞,- a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(- a, a)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈( a,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点. 1 2 20.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)= x +lnx. 2 (1)求函数 f(x)的单调区间; 1 2 2 3 (2)求证:当 x>1 时, x +lnx< x . 2 3 [解析] (1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}, 1 ∵f′(x)=x+ ,故 f′(x)>0,

x

∴f(x)的单调增区间为(0,+∞). 2 3 1 2 (2)设 g(x)= x - x -lnx, 3 2 1 2 ∴g′(x)=2x -x- ,

x

(x-1)(2x +x+1) ∵当 x>1 时,g′(x)= >0,

2

x

∴g(x)在(1,+∞)上为增函数, 1 ∴g(x)>g(1)= >0, 6 1 2 2 3 ∴当 x>1 时, x +lnx< x . 2 3 9 2 3 21.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=x - x +6x-a. 2 (1)对于任意实数 x, f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. [分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想,以及求参数的范围问题. [解析] (1)f′(x)=3x -9x+6=3(x-1)(x-2). 因为 x∈(-∞,+∞).f′(x)≥m,即 3x -9x+(6-m)≥0 恒成立. 3 3 所以 Δ =81-12(6-m)≤0,得 m≤- ,即 m 的最大值为- . 4 4 (2)因为当 x<1 时,f′(x)>0;当 1<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时 f′(x)>0.
2 2

5 所以当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)= -a, 2 当 x=2 时,f(x)取极小值 f(2)=2-a. 5 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时,方程 f(x)=0 仅有一个实根,解得 a<2 或 a> . 2 22.(本题满分 14 分)已知函数 f(x)=-x +ax +1(a∈R).
3 2

? 2? ?2 ? (1)若函数 y=f(x)在区间?0, ?上递增,在区间? ,+∞?上递减,求 a 的值; 3 3 ? ? ? ?
(2)当 x∈[0,1]时,设函数 y=f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为 θ ,若给定常数

? ? a∈? ,+∞?,求 θ 的取值范围;
3

?2

?

(3)在(1)的条件下,是否存在实数 m,使得函数 g(x)=x -5x +(2-m)x +1(m∈R)的图 象与函数 y=f(x)的图象恰有三个交点.若存在, 请求出实数 m 的值; 若不存在,试说明理由.

4

3

2

?2? [解析] (1)依题意 f′? ?=0, ?3?
2 ?2?2 2 由 f′(x)=-3x +2ax,得-3? ? +2a· =0,即 a=1. 3 ?3? (2)当 x∈[0,1]时,tanθ =f′(x)=-3x +2ax=-3?x- ? + . ? 3? 3
2

?

a?2 a2

a ?1 ?3 ? ? 由 a∈? ,+∞?,得 ∈? ,+∞?. 3 ?2 ?2 ? ? a ?1 ? a2 ?3 ? ①当 ∈? ,1?,即 a∈? ,3?时,f′(x)max= , 3 ?2 ? 3 ?2 ? f(x)min=f′(0)=0.
此时 0≤tanθ ≤ . 3 ②当 ∈(1,+∞),即 a∈(3,+∞)时,f′(x)max=f′(1)=2a-3,f′(x)min=f′(0) 3 =0, 此时,0≤tanθ ≤2a-3.

a2

a

a? 3 ? 又∵θ ∈[0,π ),∴当 <a≤3 时,θ ∈?0,arctan ?, 3? 2 ?
当 a>3 时,θ ∈[0,arctan(2a-3)]. (3)函数 y=f(x)与 g(x)=x -5x +(2-m)x +1(m∈R)的图象恰有 3 个交点, 等价于方程 -x +x +1=x -5x +(2-m)x +1 恰有 3 个不等实根, ∴x -4x +(1-m)x =0, 显然 x=0 是其中一个根(二重根),
4 3 2 3 2 4 3 2 4 3 2

2

方程 x -4x+(1-m)=0 有两个非零不等实根,则
?Δ =16-4(1-m)>0 ? ? ?1-m≠0 ?

2

∴m>-3 且 m≠1 故当 m>-3 且 m≠1 时,函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象恰有 3 个交点.


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