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黑龙江省大庆铁人中学2014届高三考前模拟冲刺 数学理

时间:2014-05-14


考场座位号

大庆铁人中学高三学年考前模拟训练

班级

数学试题(理科) 2014.5 9. 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个 考试时间:120 分钟 总分:150 分 没有重复数字的三位数,则这个数能被 3 整除 一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共计 60 分,在每题给出的四个选项中,只有 的概率为 ( ) 一个是正确的)
1.已知集合 M ? { y | y ? x 2 } , N ? { y | x 2 ? y 2 ? 2} ,则 M ? N =( )

A. 16 ? C. 8 ?

B. 4 ? D. 2 ?

姓名

A. {(1, 1), (?1, 1)} B. {1} C. [0, 1] D. [0, 2 ] 1? i 2.复数 在复平面内对应的点位于( ) 2 ? 3i A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 3.已知 p:a>3,q: ? x∈R,使 x +ax+1<0 是真命题,则 p 是 q 的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设 l , m , n 表示不同的直线, ?,?,? 表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ∥ l , 且 m ? ?. 则 l ? ? ; ②若 m ∥ l , 且 m ∥ ? .则 l ∥ ? ; ③若 ? ? ? l , ? ? ? m, ? ? ? n ,则 l ∥m∥n; ④若 ? ? ? m, ? ? ? l , ? ? ? n, 且 n∥ ? ,则 l ∥m.
[学优]

19 38 B. 54 54 41 35 C. D. 60 54 10.函数 y ? f ( x) 为定义在 R 上的减函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称, x, y 满足不等式 f ( x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 , M (1,2) , N ( x, y) , O 为坐标原点,
A.
则当 1 ? x ? 4 时, OM ? ON 的取值范围为 ( )

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

A. ?12,???

B. ?0,3?

C. ?3,12?

D. ?0,12?

其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? an ? n ,若利用如图 所示的程序框图计算该数列的第 10 项,则判断框内的条 件是( )

y2 ? x 2 ? 1 与抛物线 x 2 ? ay 有相同的焦点 F ,O 为原点,点 P 是抛物 11.已知双曲线 3 线准线上一动点,点 A 在抛物线上,且 AF ? 4 ,则 PA ? PO 的最小值为( )
A. 2 13 B. 4 2 C. 3 13 D. 4 6 f (m ? m 2 )

' 12.已知定义在 R 上的可导函数 f ( x) 满足: f ( x) ? f ( x) ? 0 ,则

em

2

? m ?1

与 f (1)

( e 是自然对数的底数)的大小关系是(



A. n ? 8 ? C. n ? 10 ? A. 2 3 B. 12

B. n ? 9 ? D. n ? 11?


A. C.

f (m ? m )
2

6.已知向量 a ? ( x ? 1,2), b ? (4, y) ,若 a ? b ,则 9 x ? 3 y 的最小值为(

e m ?m?1 f (m ? m 2 )
em
2

2

> f (1)

B.

f (m ? m 2 ) em
2

? m ?1

< f (1)

C. 6

D. 3 2

? m ?1

? f (1)

D. 不确定

?? ? 7.已知函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? ,其中 0 ? ? ? 2? ,若 f ? x ? ? f ? ? 对x ? R 恒成立, 13 . 在 边 长 为 1 的 等 边 ?ABC 中 , D 为 BC 边 上 一 动 点 , 则 AB ? AD 的 取 值 范 围 ?6? 是 . ?? ? 2 且 f ? ? ? f ?? ? ,则 ? 等于 ( ) 14. ( ? x ) (1 ? x ) 6 的展开式中 x 的系数是 2 ? ? x 2 ? 5? 15.抛物线 y ? ? x ? 4 x ? 3 及其在点 A(1,0) 和点 B(3,0) 处的切线所围成图形的面积为 A. B. 6 6 16.函数 f ( x) 的定义域为 D,若存在闭区间 [ a, b] ? D ,使得函数 f ( x) 满足: 7? 11? C. D. (1) f ( x) 在 [ a, b] 内是单调函数; (2) f ( x) 在 [ a, b] 上的值域为 [2a,2b] ,则称区间 [ a, b] 6 6 8.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为( ) 为函数 y ? f ( x) 的“和谐区间” 。下列函数中存在“和谐区间”的是
高三下学期 考前周测数学(理科)试卷 第 1 页( 共 8 页) 高三下学期 考前周测数学(理科)试卷 第 2 页( 共 8 页)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)

2 1 f ( x) ? x , x ? [0,??) ○

x 2 f ( x) ? e , x ? R ○

1 3 f ( x) ? ○ , x ? (0,??) x

4x 4 f ( x) ? ○ , x ? [0,??) 2 x ?1

(1) 求椭圆方程 (2) 过 椭 圆的 左顶 点 A 作两 条 弦 AM 、 AN 分 别 交椭 圆 于 M 、 N 两 点, 满足

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AM ? AN ? 0 ,当点 M 在椭圆上运动时,直线 MN 是否经过 x 轴上的一定点,若 过定点,请给出证明,并求出定点坐标;若不过定点,请说明理由。

班级

三、解答题(本大题共 6 小题,其中 17-21 每题各 12 分,三选一(22-24)10 分,共 70 分) 21. (本题满分 12 分) 17.(本题满分 12 分) 1? x 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 , 已知函数 f ( x) ? ln x ? ,其中 a 为大于零的常数 公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ?

S2 . b2
1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n . Sn

ax (1)若函数 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 内单调递增,求 a 的取值范围;
(2)求函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上的最小值;
?

姓名

(1)求 an 与 b n ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

(3)求证:对于任意的 n ? N , 且n >1 时,都有 ln n >

1 1 1 ? ? ?????? ? 成立。 2 3 n

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

18.(本题满分 12 分) 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上 游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有 5 发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二 次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是

2 . 3

(1)求油罐被引爆的概率; (2) 如果引爆或子弹打光则停止射击, 设射击次数为ξ . 求ξ 的分布列及数学期望 E (ξ ) . ( 结果用最简分数表示) 19.(本题满分 12 分) 四棱锥 P ? ABCD 底面是平行四边形,面 PAB ? 面 ABCD ,

22.<选修 4—1:几何证明选讲> 如下图,AB、CD 是圆的两条平行弦,BE//AC,BE 交 CD 于 E、交圆于 F,过 A 点的 切线交 DC 的延长线于 P,PC=ED=1,PA=2. (I)求 AC 的长; (II)求证:BE = EF.

1 AD , ?BAD ? 600 , E , F 分别为 AD, PC 的中点. 2 (1)求证: EF ? 面PBD (2)求二面角 D ? PA ? B 的余弦值 PA ? PB ? AB ?
P F B

23.<选修 4—4:坐标系与参数方程> 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 经过点 P (-1,0) ,其倾斜角为 ? ,以原点 O 为极点,以 x 轴 非负半轴为极轴, 与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位, 建立极坐标系.设曲线 C 的极坐标 方程为 ? ? 6? cos? ? 5 ? 0.
2

C

(1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 ? 的取值范围; (2)设 M ?x , y ? 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

A

E

D

20.(本题满分 12 分)

24.<选修 4—5:不等式选讲> 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ?a.

x2 y2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,左右焦点分别为 F1 、 F2 ,抛 2 2 a b 物线 y 2 ? 4 3x 的焦点 F 恰好是该椭圆的一个焦点。
已知椭圆 C:
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时, 求函数f ( x) 的最小值; (1)当 a ? 1
(2)若 f ( x ) ?

4 ? 1 对任意的实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. a
考前周测数学(理科)试卷 第 4 页( 共 8 页)

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2014 年 5 月考前模拟检测数学(理科)试题答案 一、选择题

ξ P

2

3

4

5

D C A B B
二、填空题 班级 13. [ ,1]

C C B A D
14. 31

A A
15.

1 2

2 3

1 ○ 3 ○ 4 16. ○

∴期望为 Eξ=2×

+3×

+4×

+5×

=

.

姓名

三、解答题 17、 【答案】解:(1)设 ?an ? 的公差为 d .

19. (1)

?PAB是等边三角形,AG ? PB
0

① 所以 BD ? AB

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? 2, ? ? q b2 ? ? 解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) , d ? 3.
故 an ? 3 ? 3? n ?1? ? 3n , bn ? 3n?1 . (2)由(1)可知, Sn ?

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 60 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2
0

n ? 3 ? 3n ? , 2 1 2 2?1 1 ? 所以 cn ? ? ? ? ? ?. Sn n ? 3 ? 3n ? 3 ? n n ? 1 ?
故 Tn ?

??ABD ? 90 DB ? AG 面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB ② 由 ①②可知, AG ? PB, AG ? BD ? AG ? 面PBD 又EF / / AG,? EF ? 面PBD (2)取 PA 的中点 N , 连BN , DN ?PAB是等边三角形? BN ? PA Rt?PBD~Rt?ABD ? PD ? AD ? AN ? PB ?ANB ? ? 是二面角 D ? PA ? B 的平面角 由 (2)知 BD ? 面PAB, BD ? BN 在Rt?DBN中,BD ? 3AB ? 2BN
tan ? ? BD 5 5 即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 ? 2, cos ? ? BN 5 5

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2n ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? ? 3 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 1?

解法二 (1) 18.解析: 建系 {BA, BD, z} 令 AB ? 2

A ? 2, 0, 0 ? , D 0, 2 3, 0 , P 1, 0, 3 ,
× +( × )× +[ ( )1× ( )2]× +[ ( )1× ( )3]× = .

(1)解法一:P=

C ?2, 2

?

? 3, 0 ?

? ?

?

z
P F B

EF ?
解法二:P=1( )× (
1

)-

4

(

)× (

0

) =1-

5

=

.

1 1 3 AP ? DC ? ?3, 0, 3 ? ? 3, 0,1 2 2 2

?

? ?

?

?

?
E D

C

BD ? 0, 2 3, 0 , BP ? 1, 0, 3
(2)∵P(ξ=2)= × = , P(ξ=3)=( · × )× = ,

?

?

?

?

x

A

y

EF ? BD ? 0, EF ? BP ? 0
)3= ,

EF ? BD, EF ? BP ? EF ? 面PBD
AP ? ?1, 0, 3 , AD ? ?2, 2 3, 0

P(ξ=4)=[ ∴分布列为

· × (

)2]×

=

,

P(ξ=5)=



)4+

· × (

(2) 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ?

?

?

?

?

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考前周测数学(理科)试卷

第 5 页( 共 8 页)

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第 6 页( 共 8 页)

? ? n1 ? AP ? ? x ? 3z ? 0 ? ? ?n1 ? AD ? ?2 x ? 2 3 y ? 0

令 x ? 3 所以 n1 ?

?

3,1,1

?

21 题答案:

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平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1,0 ?

班级

cos ? n1 , n2 ??
20 题解析:

1 5 ,即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 5 5

姓名

x2 c 3 ? y2 ? 1 , c ? 3 ,可得 ? 4 a 2 x2 ? y 2 ? 1 即 x?+4y?=4 (2)椭圆方程: 4 a?=4,a=2,点 A(-2,0)
(1)由

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

当直线 AM 的斜率变化时,设 AM 的斜率为 k,则 AN 的斜率为 ?

1 k

直线 AM 方程:y=k(x+2) 1 直线 AN 方程:y= ? (x+2) k 将 AM 方程代入椭圆,整理:(4k?+1)x?+16k?x+16k?-4=0 4k 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 韦达定理: x1 ? x 2 ? 则点 M 横坐标 x M = 2 ,纵坐标 y M = 2 2 4k ? 1 4k ? 1 4k ? 1 将 AN 方程代入椭圆,整理:(k?+4)x?+16x+16-4k?=0 4k 16 ? 4k 2 2k 2 ? 8 韦达定理: x1 ? x 2 ? 2 点 N 的横坐标 x N = 2 ,纵坐标 y N = ? 2 k ?4 k ?4 k ?4 4k 4k ? 2 2 5k 直线 MN 的斜率 k MN = 4k ?21 k 2? 4 = 2 ? 8k 2k ? 8 4(1 ? k 2 ) ? 4k 2 ? 1 k 2 ? 4 4k 2 ? 8k 2 5k ? 直线 MN 方程:y ? 2 = ( x ) 4k ? 1 4(1 ? k 2 ) 4k 2 ? 1 6 5k 化简:y= (x+ ) 2 5 4(1 ? k ) 6 由此,可知,过定点( ? ,0) 5

22【答案】解: (I)? PA2 ? PC ? PD, PA ? 2, PC ? 1 ,? PD ? 4 ,?(2 分) 又? PC ? ED ? 1,? CE ? 2 ,? ?PAC ? ?CBA, ?PCA ? ?CAB ,

? ?PAC ∽ ?CBA,?
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PC AC ,????(4 分) ? AC AB
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班级

? AC 2 ? PC ? AB ? 2 ,? AC ? 2 ????(5 分) (II)? BE ? AC ? 2 , CE ? 2 ,而 CE ? ED ? BE ? EF , 2 ?1 ? EF ? ? 2 ,? EF ? BE . 2

????(8 分) ????(10 分)

(2) f ? x ? ? 成立

4 4 ? 1 对任意的实数 x 恒成立 ? x ? 1 ? x ? 4 ? 1 ? a ? 对任意的实数 x 恒 a a 4 ?4 a
-------6 分 ----7 分

? a?

当 a ? 0 时,上式成立; 姓名 当 a ? 0 时, a ? 当且仅当 a ? 23【答案】解: (1)将曲线 C 的极坐标方程 ? 2 -6? cos? ? 5 ? 0 化为直角坐标方程为

4 4 ? 2 a? ? 4 a a
-----9 分 ----10 分

x ? y ? 6x ? 5 ? 0
2 2

综上,实数 a 的取值范围为 ? ?? , 0? ??2?

4 4 即 a ? 2 时上式取等号,此时 a ? ? 4 成立. a a

( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

-----------1 分 ----------2 分

直线 l 的参数方程为 ? 将?

? x ? ?1 ? t cos ? 2 代入 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 整理得 t ? 8t cos ? ? 12 ? 0 -----3 分 ? y ? t sin ?
3 3 或 cos ? ? ? 2 2

? x ? ?1 ? t cos ? ( t 为参数) ? y ? t sin ?

直线 l 与曲线 C 有公共点,?? ? 64cos2 ? ? 48 ? 0

? cos ? ?

----4 分 ------5 分

? ? ? 5? ? ? ??0 , ? ? , ?? 的取值范围是 ? 0, ??? ,? ? ? ? 6? ? 6 ?
2

2 2 2 (2)曲线 C 的方程 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 可化为 ? x ? 3? ? y ? 4 ,其参数方程为

? x ? 3 ? 2cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2sin ?

---6 分

M ? x , y ? 为曲线 C 上任意一点,

?? ? ? x ? y ? 3 ? 2cos ? ? 2sin ? ? 3 ? 2 2 sin ?? ? ? ---8 分 4? ? ? ? x ? y 的取值范围是 ? ?3 ? 2 2 , 3 ? 2 2 ?

----10 分

??2 x ? 2 , x ? ?1, ? ?1 ? x ? 4 , 24【答案】解: (1)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 4 ? 1 ? ?4 , ?2 x ? 4 , x ? 4 . ?


--3

? f ? x ?min ? 4
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------5 分
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