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2016年浙江省高考数学试卷(文科)

时间:2016-06-17


2016 年浙江省高考数学试卷(文科)
一、选择题 1. (5 分) (2016?浙江)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 P={1,3,5},Q={1,2, 4},则(?UP)∪Q=( ) A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5} 2. (5 分) (2016?浙江) 已知互相垂直的平面 α, β 交于直线 l, 若直线 m, n 满足 m∥α, n⊥β, 则( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 3. (5 分) (2016?浙江)函数 y=sinx 的图象是(
2



A.

B.

C.

D.

4. (5 分) (2016?浙江)若平面区域

,夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,

则这两条平行直线间的距离的最小值是( A. B. C. D.



5. (5 分) (2016?浙江)已知 a,b>0 且 a≠1,b≠1,若 logab>1,则( ) A. (a﹣1) (b﹣1)<0 B. (a﹣1) (a﹣b)>0 C. (b﹣1) (b﹣a)<0 D. (b﹣ 1) (b﹣a)>0 2 6. (5 分) (2016?浙江)已知函数 f(x)=x +bx,则“b<0”是“f(f(x) )的最小值与 f(x) 的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 x 7. (5 分) (2016?浙江)已知函数 f(x)满足:f(x)≥|x|且 f(x)≥2 ,x∈R. ( ) b A.若 f(a)≤|b|,则 a≤b B.若 f(a)≤2 ,则 a≤b b C.若 f(a)≥|b|,则 a≥b D.若 f(a)≥2 ,则 a≥b 8. (5 分) (2016?浙江) 如图, 点列{An}、 {Bn}分别在某锐角的两边上, 且|AnAn+1|=|An+1An+2|, * * An≠An+1, n∈N , |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|, Bn≠Bn+1, n∈N , (P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合) 若 dn=|AnBn|, Sn 为△ AnBnBn+1 的面积,则( )
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A.{Sn}是等差数列 C.{dn}是等差数列

B.{Sn }是等差数列 2 D.{dn }是等差数列

2

二、填空题 9. (6 分) (2016?浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是 cm ,体积是
2

cm .

3

10. (6 分) (2016?浙江)已知 a∈R,方程 a x +(a+2)y +4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐 标是 ,半径是 . 2 11. (6 分) (2016?浙江)已知 2cos x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0) ,则 A= , b= . 12. (6 分) (2016?浙江)设函数 f(x)=x +3x +1,已知 a≠0,且 f(x)﹣f(a)=(x﹣b) 2 (x﹣a) ,x∈R,则实数 a= ,b= . 13. (4 分) (2016?浙江)设双曲线 x ﹣
2 3 2

2 2

2

=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,若点 P 在双曲

线上,且△ F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 . 14. (4 分) (2016?浙江)如图,已知平面四边形 ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD= , ∠ADC=90°,沿直线 AC 将△ ACD 翻折成△ ACD′,直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值 是 .

15. (4 分) (2016?浙江)已知平面向量 , ,| |=1,| |=2, 则| |+| |的最大值是 .
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=1,若 为平面单位向量,

三、解答题 16. (14 分) (2016?浙江) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 b+c=2acosB. (1)证明:A=2B; (2)若 cosB= ,求 cosC 的值. 17. (15 分) (2016?浙江)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N . (Ⅰ)求通项公式 an; (Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前 n 项和. 18. (15 分) (2016?浙江) 如图, 在三棱台 ABC﹣DEF 中, 平面 BCFE⊥平面 ABC, ∠ACB=90°, BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (Ⅰ)求证:BF⊥平面 ACFD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值.
*

19. (15 分) (2016?浙江)如图,设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|﹣1, (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交 于点 N,AN 与 x 轴交于点 M,求 M 的横坐标的取值范围.

2

20. (15 分) (2016?浙江)设函数 f(x)=x + (Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x
2

3

,x∈[0,1],证明:

(Ⅱ) <f(x)≤ .

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2016 年浙江省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1. (5 分) (2016?浙江)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 P={1,3,5},Q={1,2, 4},则(?UP)∪Q=( ) A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5} 【解答】解:?UP={2,4,6}, (?UP)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}. 故选 C. 2. (5 分) (2016?浙江) 已知互相垂直的平面 α, β 交于直线 l, 若直线 m, n 满足 m∥α, n⊥β, 则( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【解答】解:∵互相垂直的平面 α,β 交于直线 l,直线 m,n 满足 m∥α, ∴m∥β 或 m?β 或 m⊥β,l?β, ∵n⊥β, ∴n⊥l. 故选:C. 3. (5 分) (2016?浙江)函数 y=sinx 的图象是(
2



A.

B.

C.

D. 【解答】解:∵sin(﹣x) =sinx , 2 ∴函数 y=sinx 是偶函数,即函数的图象关于 y 轴对称,排除 A,C; 2 由 y=sinx =0, 2 则 x =kπ,k≥0, 则 x=± ,k≥0, 故函数有无穷多个零点,排除 B, 故选:D
2 2

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4. (5 分) (2016?浙江)若平面区域

,夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,

则这两条平行直线间的距离的最小值是( A. B. C. D.



【解答】解:作出平面区域如图所示:

∴当直线 y=x+b 分别经过 A,B 时,平行线间的距离相等. 联立方程组 ,解得 A(2,1) ,

联立方程组

,解得 B(1,2) .

两条平行线分别为 y=x﹣1,y=x+1,即 x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0. ∴平行线间的距离为 d= 故选:B. 5. (5 分) (2016?浙江)已知 a,b>0 且 a≠1,b≠1,若 logab>1,则( ) A. (a﹣1) (b﹣1)<0 B. (a﹣1) (a﹣b)>0 C. (b﹣1) (b﹣a)<0 D. (b﹣ 1) (b﹣a)>0 【解答】解:若 a>1,则由 logab>1 得 logab>logaa,即 b>a>1,此时 b﹣a>0,b>1, 即(b﹣1) (b﹣a)>0, 若 0<a<1,则由 logab>1 得 logab>logaa,即 b<a<1,此时 b﹣a<0,b<1,即(b﹣1) (b﹣a)>0, 综上(b﹣1) (b﹣a)>0, 故选:D. = ,

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6. (5 分) (2016?浙江)已知函数 f(x)=x +bx,则“b<0”是“f(f(x) )的最小值与 f(x) 的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解答】解:f(x)的对称轴为 x=﹣ ,fmin(x)=﹣ (1)若 b<0,则﹣ >﹣ . ,

2

,∴当 f(x)=﹣ 时,f(f(x) )取得最小值 f(﹣ )=﹣

即 f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等. ∴“b<0”是“f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等”的充分条件. (2)若 f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等, 则 fmin(x)≤﹣ ,即﹣ ≤﹣ ,解得 b≤0 或 b≥2.

∴“b<0”不是“f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等”的必要条件. 故选 A. 7. (5 分) (2016?浙江)已知函数 f(x)满足:f(x)≥|x|且 f(x)≥2 ,x∈R. ( ) b A.若 f(a)≤|b|,则 a≤b B.若 f(a)≤2 ,则 a≤b b C.若 f(a)≥|b|,则 a≥b D.若 f(a)≥2 ,则 a≥b 【解答】解:A.若 f(a)≤|b|,则由条件 f(x)≥|x|得 f(a)≥|a|, 即|a|≤|b|,则 a≤b 不一定成立,故 A 错误, b B.若 f(a)≤2 , x 则由条件知 f(x)≥2 , a a b 即 f(a)≥2 ,则 2 ≤f(a)≤2 , 则 a≤b,故 B 正确, C.若 f(a)≥|b|,则由条件 f(x)≥|x|得 f(a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故 C 错误, b x a a b D.若 f(a)≥2 ,则由条件 f(x)≥2 ,得 f(a)≥2 ,则 2 ≥2 ,不一定成立,即 a≥b 不一 定成立,故 D 错误, 故选:B 8. (5 分) (2016?浙江) 如图, 点列{An}、 {Bn}分别在某锐角的两边上, 且|AnAn+1|=|An+1An+2|, * * An≠An+1, n∈N , |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|, Bn≠Bn+1, n∈N , (P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合) 若 dn=|AnBn|, Sn 为△ AnBnBn+1 的面积,则( )
x

A.{Sn}是等差数列 B.{Sn }是等差数列 2 C.{dn}是等差数列 D.{dn }是等差数列 【解答】解:设锐角的顶点为 O,|OA1|=a,|OB1|=b, |AnAn+1|=|An+1An+2|=b,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d, 由于 a,b 不确定,则{dn}不一定是等差数列,
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2

{dn }不一定是等差数列, 设△ AnBnBn+1 的底边 BnBn+1 上的高为 hn, 由三角形的相似可得 = = ,

2

=

=



两式相加可得, 即有 hn+hn+2=2hn+1,

=

=2,

由 Sn= d?hn,可得 Sn+Sn+2=2Sn+1, 即为 Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn, 则数列{Sn}为等差数列. 故选:A.

二、填空题 9. (6 分) (2016?浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是 2 3 80 cm ,体积是 40 cm .

【解答】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是下部为长方体,其长和宽都为 4,高为 2, 2 2 2 3 表面积为 2×4×4+2×4 =64cm ,体积为 2×4 =32cm ; 上部为正方体,其棱长为 2, 2 2 3 3 表面积是 6×2 =24 cm ,体积为 2 =8cm ; 2 2 所以几何体的表面积为 64+24﹣2×2 =80cm , 3 体积为 32+8=40cm . 故答案为:80;40.
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10. (6 分) (2016?浙江)已知 a∈R,方程 a x +(a+2)y +4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐 标是 (﹣2,﹣4) ,半径是 5 . 2 2 2 【解答】解:∵方程 a x +(a+2)y +4x+8y+5a=0 表示圆, 2 ∴a =a+2≠0,解得 a=﹣1 或 a=2. 2 2 当 a=﹣1 时,方程化为 x +y +4x+8y﹣5=0, 2 2 配方得(x+2) +(y+4) =25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4) ,半径为 5; 当 a=2 时,方程化为 此时 故答案为: (﹣2,﹣4) ,5. 11. (6 分) (2016?浙江)已知 2cos x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0) ,则 A= 1 . 2 【解答】解:∵2cos x+sin2x=1+cos2x+sin2x =1+ = ( cos2x+ sin2x)+1
2

2 2

2

, ,方程不表示圆,

,b=

sin(2x+

)+1,

∴A= ,b=1, 故答案为: ;1. 12. (6 分) (2016?浙江)设函数 f(x)=x +3x +1,已知 a≠0,且 f(x)﹣f(a)=(x﹣b) 2 (x﹣a) ,x∈R,则实数 a= ﹣2 ,b= 1 . 3 2 【解答】解:∵f(x)=x +3x +1, 3 2 3 2 ∴f(x)﹣f(a)=x +3x +1﹣(a +3a +1) 3 2 3 2 =x +3x ﹣(a +3a ) 2 2 2 3 2 2 2 ∵(x﹣b) (x﹣a) =(x﹣b) (x ﹣2ax+a )=x ﹣(2a+b)x +(a +2ab)x﹣a b, 2 且 f(x)﹣f(a)=(x﹣b) (x﹣a) ,
3 2



,解得



(舍去) ,

故答案为:﹣2;1.

13. (4 分) (2016?浙江)设双曲线 x ﹣

2

=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,若点 P 在双曲 .

线上,且△ F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 【解答】解:如图, 由双曲线 x ﹣
2

=1,得 a =1,b =3,

2

2

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不妨以 P 在双曲线右支为例,当 PF2⊥x 轴时, 把 x=2 代入 x ﹣
2

=1,得 y=±3,即|PF2|=3,

此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8; 由 PF1⊥PF2,得 又|PF1|﹣|PF2|=2,① 两边平方得: ∴|PF1||PF2|=6,② 联立①②解得: 此时|PF1|+|PF2|= . ) . , , ,

∴使△ F1PF2 为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是( 故答案为: ( ) .

14. (4 分) (2016?浙江)如图,已知平面四边形 ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD= , ∠ADC=90°,沿直线 AC 将△ ACD 翻折成△ ACD′,直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值 是 .

【解答】解:如图所示,取 AC 的中点 O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC, 在 Rt△ ACD′中, 作 D′E⊥AC,垂足为 E,D′E= = = . .

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CO=

,CE=

=

=



∴EO=CO﹣CE=



过点 B 作 BF∥BO,作 FE∥BO 交 BF 于点 F,则 EF⊥AC.连接 D′F.∠FBD′为直线 AC 与 BD′所成的角. 则四边形 BOEF 为矩形,∴BF=EO= EF=BO= = . .

则∠FED′为二面角 D′﹣CA﹣B 的平面角,设为 θ. 则 D′F = ∴D′B 的最小值=
2

+

﹣2× =2.

cosθ=

﹣5cosθ≥

,cosθ=1 时取等号.

∴直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值= 故答案为: .

=

=



15. (4 分) (2016?浙江)已知平面向量 , ,| |=1,| |=2, 则| |+| |的最大值是 |+| |= . ,

=1,若 为平面单位向量,

【解答】解:|

其几何意义为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和, 当 与 ∴ 故答案为: . 共线时,取得最大值. = .

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三、解答题 16. (14 分) (2016?浙江) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 b+c=2acosB. (1)证明:A=2B; (2)若 cosB= ,求 cosC 的值. 【解答】 (1)证明:∵b+c=2acosB, ∴sinB+sinC=2sinAcosB, ∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B) ,由 A,B∈(0,π) , ∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或 B=π﹣(A﹣B) ,化为 A=2B,或 A=π(舍去) . ∴A=2B. (II)解:cosB= ,∴sinB= cosA=cos2B=2cos B﹣1=
2

= ,sinA=

. = . + × = .

∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=

17. (15 分) (2016?浙江)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N . (Ⅰ)求通项公式 an; (Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前 n 项和. * 【解答】解: (Ⅰ)∵S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N . ∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1, 解得 a1=1,a2=3, 当 n≥2 时,an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1, 两式相减得 an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an, 即 an+1=3an,当 n=1 时,a1=1,a2=3, 满足 an+1=3an, ∴ =3,则数列{an}是公比 q=3 的等比数列,
n﹣1

*

则通项公式 an=3 . n﹣1 (Ⅱ)an﹣n﹣2=3 ﹣n﹣2, n﹣1 设 bn=|an﹣n﹣2|=|3 ﹣n﹣2|, 0 则 b1=|3 ﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1, n﹣1 当 n≥3 时,3 ﹣n﹣2>0, n﹣1 则 bn=|an﹣n﹣2|=3 ﹣n﹣2, 此时数列{|an﹣n﹣2|}的前 n 项和 Tn=3+ ﹣

=



第 11 页(共 15 页)

则 Tn=

=



18. (15 分) (2016?浙江) 如图, 在三棱台 ABC﹣DEF 中, 平面 BCFE⊥平面 ABC, ∠ACB=90°, BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (Ⅰ)求证:BF⊥平面 ACFD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值.

【解答】解: (Ⅰ)证明:延长 AD,BE,CF 相交于一点 K,如图所示: ∵平面 BCFE⊥平面 ABC,且 AC⊥BC; ∴AC⊥平面 BCK,BF?平面 BCK; ∴BF⊥AC; 又 EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2; ∴△BCK 为等边三角形,且 F 为 CK 的中点; ∴BF⊥CK,且 AC∩CK=C; ∴BF⊥平面 ACFD; (Ⅱ)∵BF⊥平面 ACFD; ∴∠BDF 是直线 BD 和平面 ACFD 所成的角; ∵F 为 CK 中点,且 DF∥AC; ∴DF 为△ ACK 的中位线,且 AC=3; ∴ 又 ; ;

∴在 Rt△ BFD 中,

,cos



即直线 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值为



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19. (15 分) (2016?浙江)如图,设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|﹣1, (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交 于点 N,AN 与 x 轴交于点 M,求 M 的横坐标的取值范围.

2

【解答】解: (Ⅰ)由题意可得,抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于 A 到直线 x=﹣1 的距 离, 由抛物线定义得, ,即 p=2;
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为 y =4x,F(1,0) ,可设(t ,2t) ,t≠0,t≠±1, ∵AF 不垂直 y 轴, ∴设直线 AF:x=sy+1(s≠0) , 联立 y1y2=﹣4, ∴B( ) , ,得 y ﹣4sy﹣4=0.
2

又直线 AB 的斜率为

,故直线 FN 的斜率为



从而得 FN:

,直线 BN:y=﹣ ,

则 N(

) ,
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设 M(m,0) ,由 A、M、N 三点共线,得



于是 m=

=

,得 m<0 或 m>2.

经检验,m<0 或 m>2 满足题意. ∴点 M 的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞) . 20. (15 分) (2016?浙江)设函数 f(x)=x + (Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x
2 3

,x∈[0,1],证明:

(Ⅱ) <f(x)≤ . 【解答】解: (Ⅰ)证明:因为 f(x)=x +
3

,x∈[0,1],

且 1﹣x+x ﹣x =

2

3

=



所以


2


3

所以 1﹣x+x ﹣x ≤
2



即 f(x)≥1﹣x+x ; 3 (Ⅱ)证明:因为 0≤x≤1,所以 x ≤x, 所以 f(x)=x +
3

≤x+

=x+
2

﹣ + = + ≥ ,

+ ≤ ;

由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x = 且 f( )= + = > ,

所以 f(x)> ; 综上, <f(x)≤ .

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参与本试卷答题和审题的老师有:zhczcb;zlzhan;maths;双曲线;742048;sxs123;gongjy; 沂蒙松(排名不分先后) 菁优网 2016 年 6 月 17 日

第 15 页(共 15 页)


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