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高中数学人教A版必修一 《对数的运算性质》教学课件_图文

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指数指数式与 对数式的关系为: ax=N ? x=logaN 从指数与对数的关系以 及指数运算性质,你能得出 相应的对数运算性质吗? 对数的运算性质: 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(M· N) = logaM + logaN (2)Loga M = log M + log N a a N (3)logaMn = nlogaM 证明:(1)设M=am,N=an, 于是MN=am+n 由对数的定义得到: logaM =m,logaN =n loga(M· N) = m+n loga(M· N) = logaM + logaN 对数的运算性质: 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(M· N) = logaM + logaN (2)Loga M = log M + log N a a N (3)logaMn = nlogaM 证明:(2)设logaM=p,logaN=q, p 设M=ap,N=aq, 于是 M = aq = ap-q N a 由对数的定义得到: loga M = logaM – logaN N 对数的运算性质: 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(M· N) = logaM + logaN (2)Loga M = log M + log N a a N (3)logaMn = nlogaM 证明:(3)设M=am, 于是Mn = amn 由对数的定义得到: logaMn = mn = nlogaM 用logax,logay,logaz表示下列各式: 2 y x xy (2)loga 3 (1)loga z z 解: (1)loga xy = loga(xy)-logax z = logax+logay-logaz 2 y x (2)loga 3 = loga( x2 y ) - loga 3 z z = logax2 +loga y - loga 3 z = 2logax + 1 logay - 1 logaz 2 3 求下列各式的值: (1)log2 (47×25) (2)lg 100 5 解: (1)log2(47×25) = log247+log225 = 7log24+5log22 = 7 × 2 + 5× 1 = 19 (2)lg 100 = lg10 2 = 5 5 2 5 探究:你能根据对数的定义推导出下面的换底 公式吗? logea logab= logeb (a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) logea 设logab=p, 因为 logab= logeb ? plogea=logeb ? logeap=logeb ? ap=b 又ap=b成立,所以 logea logab= logeb (a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) 截至到1999年底,我国人口约13亿,如果 今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经 过x年我国人口数为y亿的表达式为: y=13(1+1%)x=13×1.01x 18 求达到18亿的年份,就是求x=log101 13 哪一年的人口 数可达到18亿? 18 利用换底公式求 x=log101 13 ; 18 lg 18 13 = lg18-lg13 x=log101 13 = lg1.01 lg1.01 1.2553-1.1139 ≈ =32.8837 ≈33年 0.0043 大约经过33年,即到2032年底,我国人口 总数将达到18亿。 20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制定 了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测 震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测 震仪纪录的地震曲线的振幅就越大,这就是我 们常说的里氏震级M,其计算公式为: M=lgA-lgA0 其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地 震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震 仪距实际震中的距离造成的偏差)。 M=lgA-lgA0 其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地 震”的振幅。 假设在一次地震中,一个距离震中100千米 的测震仪纪录的地震最大振幅是20,此时标准地 震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到 0.1) 解: M=lg20-lg0.001 20 =lg 0.001 =lg20000 =lg2+lg104 ≈4.3 因此,这是一次约为里氏4.3级的地震。 5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6 级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少 倍(精确到1)。 由M=lgA-lgA0可得: 解: A A M=lg A ? A =10M ? A=A0· 10M 0 0 所以,两次地震的最大振幅之比是: A 0· 107.6 7.6-5 =102.6 = 10 ≈398 5 A 0· 10 答:7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大 振幅的398倍。 科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生 放射性碳14,碳14的衰变极有规律,其精确性可 以称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程 中衰变的碳14,可以通过与大气的相互作用得到 补充,所以活着的动植物每克组织中的碳14含量 保持不变。死亡后的动植物,停止了与外界环境 的相互作用,机体中原有的碳14按确定的规律衰 减,我们知道其“半衰期”为5730年。 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残 余量约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古 墓的年代。 解:设生物体死亡时,体内每克组织中的碳14 的含量为1,1年后的残余量为x,由于死 亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减, 所以有下表中的关系: 死亡年数t 1 x 2 x2 3 x3 … … t xt 碳14含量p 因此死亡t年后体内碳14的含量P=xt 因为每过5730年,死亡生物体的碳14的含 量衰减为原来的一半 所以 1 =x5730,于是x=5730 1 = 2 2 1

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