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2第二章平面向量(含答案)(考试试题)

时间:2017-11-27


平面向量试题(二)
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. 2. 已知 A、B、C 的坐标分别为(2,-4)、(0,6)、(-8,10),则 =________. 若 a=(1,-1),b=(-1,3),c=(3,5),使 c=xa+yb 成立的实数 x,y 的取值分别是 +2 =________,

________. 3. 平面上有 A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点 C 在直线 AB 上,且 |= | |,则点 E 的坐标为________. = ,连接 DC

并延长至 E,使| 4. 5. 已知 a=(

,-1),则与 a 方向相同的单位向量的坐标为________.

如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=2CD.动点 P

从点 A 出发,沿正方形 ABCD 的边按逆时针方向运动一周回到 A 点, =λ +μ .则 λ-μ 的取值范围为________.

6. 7. 8. 9. 10.

在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 =2 , =3

· =________. ,则 · =________. · =________.

在正三角形 ABC 中,D 是边 BC 上的点.若 AB=3,BD=1,则

已知平面向量 α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是________. 已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α,且 cos α= ,向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 的夹

角为 β,则 cos β=________. 11. 12. 若非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则 a,b 的夹角为____. 已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且 a=± b,那么 a+b 与 a-b 的夹角的大
1

小为________. 13. 14. 设向量 a 与 b 的夹角为 α,且 a=(3,3),2b-a=(-1,1),则 cos α=________. 已知 a=(3,2),b=(-1,2),(a+λb)⊥b,则实数 λ=________.

二、解答题(每小题 10 分,共 80 分) 15. 如下图,在平行四边形 ABCD 中,点 M 是 AB 的中点,点 N 在 BD 上,且

BN= BD,求证:M、N、C 三点共线.

16.

如下图,在?OACB 中,BD= BC,OD 与 BA 相交于 E,用向量方法证

明:BE= BA.

2

17.

已知三个向量 a=-e1+3e2+2e3,b=4e1-6e2+2e3,c=-3e1+12e2+11e3.问 a 能否表示 成 a=λ1b+λ2c 的形式?若能,写出表达式;若不能,说明理由.

18.

已知向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,且|a|=5,|b|=7,|c|=10,求 a,b 的夹角的余弦值.

19.

已知 a=(1,1),b=(0,-2),当 k 为何值时,

(1)ka-b 与 a+b 共线? (2)ka-b 与 a+b 的夹角为 120° ?

3

20. (1)若

如图所示, ∥

=(6,1),

=(x,y),

=(-2,-3).

,求 x 与 y 之间的关系式; ⊥ ,求 x,y 的值.

(2)在(1)条件下,若

21.

已知向量 a=(cos(-θ),sin(π+θ)),b=

.

(1)求证 a⊥b; (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t,使 x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb 满足 x⊥y,试求此时 的最小值.

22. (1)求

已知 · ,

=(4,0), 在

=(2,2 上的投影;

),

=(1-λ)



(λ2≠λ).

(2)证明 A,B,C 三点共线,并在 (3)求| |的最小值.

=

时,求 λ 的值;

4

平面向量试题(二)
答案:
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分)
1.[答案] (-18,18);(-3,-3) [解析] ∵A(2,-4),B(0,6),C(-8,10), ∴ =(-2,10), =(-8,4), =(-10,14), ∴ +2 =(-18,18), =(-3,-3).

2.[答案] 7,4 [解析] ∵a=(1,-1),b=(-1,3), ∴xa+yb=(x-y,-x+3y), 又 c=xa+yb,c=(3,5), ∴ 3.[答案] [解析] ∵ 上,∴ =解得 ,-7 = ,∴A 为 BC 的中点,∴C 点的坐标为(3,-6),又| |= | (4-x,-3-y), |,且 E 在 DC 的延长线

,设 E(x,y),则(x-3,y+6)=-

得 故点 E 的坐标为 4.[答案]

解得 .

[解析] 与 a 方向相同的单位向量为 e= 5.[答案] [0,2] [解析] 建立如图所示的直角坐标系,

=

( ,-1)=

.

则 B(1,0),E(-2,1),所以





=λ(1,0)+μ(-2,1)=(λ-2μ,μ).
5

当 P∈AB 时, 当 P∈BC 时, 当 P∈CD 时, 当 P∈DA 时,

?λ-μ∈[0,1]; ?λ-μ∈[1,2]; ?λ-μ∈[1,2]; ?λ-μ∈[0,1].

综上得 λ-μ 的取值范围为[0,2]. 6.[答案] -16 [解析] = =-16. 7.[答案] [解析] ∵ s = = , = = ,∴ · = · · + + · + · = + +1 · co = , = + = + ,∴ · = · + = - · =9- × 100

+ =- .

8.[答案] [解析] · = · ( + )= + · =9+3× 1· cos 120° = .

9.[答案] [解析] 由 α⊥(α-2β)得 α2-2α·β=0,即 α·β= ,∴(2α+β)2=4α2+4α·β+β2=4+4× +4=10,∴|2α+β|= 10.[答案] [解析] a· b=(3e1-2e2)· (3e1-e2)=9+2-9× 1× 1× =8. ∵|a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12× 1× 1× =9,∴|a|=3. ∵|b|2=(3e1-e2)2=9+1-6× 1× 1× =8, ∴|b|=2 11.[答案] [解析] ∵|a+b|=|a-b|, ∴(a+b)2=(a-b)2, ∴a2+2a· b+b2=a2-2a· b+b2,
6

.

,∴cos β=

=

=

.

即 a· b=0,∴a⊥b, ∴a,b 的夹角为 . 12.[答案] [解析] ∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β), ∴a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β), a-b=(cos α-cos β,sin α-sin β), ∴(a+b)· (a-b)=(cos α+cos β)(cos α-cos β)+(sin α+sin β)(sin α-sin β) =cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=1-1=0, ∴(a+b)⊥(a-b),∴它们的夹角为 . 13.[答案] [解析] 设 b=(x,y),则 2b-a=2(x,y)-(3,3)=(2x-3,2y-3)=(-1,1), ∴ 即 b=(1,2), ∴cos α= 14.[答案] [解析] a=(3,2),b=(-1,2),则 a+λb=(3-λ,2+2λ),又∵(a+λb)⊥b, ∴(a+λb)·b=0,即(3-λ)×(-1)+2×(2+2λ)=0,解得 λ=- . = = . 解得

二、解答题(每小题 10 分,共 80 分)
15. [解析] ∵ 又 = = , = = = = ,② . ( , + ),∴ = + = ,①

由①、②可知 =3 ,即 ∥ 又∵MC、MN 有公共点 M, ∴M、N、C 三点共线. 16.[解析] 设 =a, =b,则

= a,

=b+ a,

=a-b. (λ,k∈R),

在△ BOE 中,根据向量加法的三角形法则,有 = + . ∵ , 为共线向量, , 为共线向量,∴设 =λ , =k ∴ = +λ =b+λ(a-b) =λa+(1-λ)b, =k =k b+ a ,

∴λa+(1-λ)b=kb+ a,
7

∴ λ-

a=(k-1+λ)b.

∵a 与 b 为不共线的非零向量, ∴λ- =0,且 k-1+λ=0. 解得 λ= ,∴ 即 BE= BA. 17. [解析] 若 a 能表示成 a=λ1b+λ2c 的形式,则有 -e1+3e2+2e3=(4λ1-3λ2)e1+(-6λ1+12λ2)e2+(2λ1+11λ2)e3.令 4λ1-3λ2=-1,-6λ1+12λ2=3,可得 λ1=,λ2= ,而此时恰好能保证 2λ1+11λ2=2. b+ c. = ,

所以 a=-

18. [解析] 由 a+b+c=0 知,a+b=-c, ∴|a+b|=|c|,(a+b)2=c2,即 a2+2a· b+b2=c2, ∴a· b= = = =13,

设 θ 为 a 与 b 的夹角, 则 cos θ= = . .

故 a,b 的夹角的余弦值为

19. [解析] ∵a=(1,1),b=(0,-2),∴ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1). (1)∵ka-b 与 a+b 共线, ∴k+2-(-k)=0.∴k=-1. 即当 k=-1 时,ka-b 与 a+b 共线. (2)∵|ka-b|= , |a+b|= = , ∴(ka-b)· (a+b)=(k,k+2)· (1,-1)=k-k-2=-2,而 ka-b 与 a+b 的夹角为 120° ,∴cos 120° = ,

即- =

,化简整理,得 k2+2k-2=0,解之得 k=-1± .

即当 k=-1± 时,ka-b 与 a+b 的夹角为 120° . 20. [解析] (1)∵ = + + =(x+4,y-2), ∴ =- =(-x-4,2-y). 又 ∥ 且 =(x,y), ∴x(2-y)-y(-x-4)=0, 整理得 x+2y=0.① 故 x 与 y 之间的关系式为 x+2y=0.
8

(2)由于 = + =(x+6,y+1), = + =(x-2,y-3),又 ⊥ , ∴(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,② 联立①②整理,得(y+1)(y-3)=0, 解得 y=3 或 y=-1. 当 y=3 时,x=-6; 当 y=-1 时,x=2. ∴x=-6,y=3 或 x=2,y=-1. 21. [解析] (1)∵a· b=cos(-θ)·cos +sin(π+θ)sin =cos θsin θ-sin θcos θ=0,∴a⊥b.

(2)由 x⊥y 得 x· y=0,即[a+(t2+3)b]· (-ka+tb)=0, 2 3 2 2 ∴-ka +(t +3t)b +[t-k(t +3)]a· b=0, 2 3 2 ∴-k|a| +(t +3t)|b| =0, 又∵|a|2=1,|b|2=1, ∴-k+t3+3t=0,∴k=t3+3t, ∴ = =t2+t+3= · =8,设 与 + ,故当 t=- 时, 取得最小值,最小值为 = = , .

22. [解析] (1) ∴ 在

的夹角为 θ,则 cos θ=

上的投影为|

|cos θ=4× =2. -(1-λ) =(λ-1) ,所以 A,B,C 三点共线.

(2) = - =(-2,2 ), = - =(1-λ) 当 = 时,λ-1=1,所以 λ=2. (3)| |2=(1-λ)2 +2λ(1-λ) · +λ2 =16λ2-16λ+16=16 ∴当 λ= 时,| +12,

|取到最小值,为 2 .

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